A006872-编号：A006872-OEIS

A033632号

对k进行编号，使sigma（phi（k））=phi（sigma））。

+10
38

1, 9, 225, 242, 516, 729, 3872, 13932, 14406, 17672, 18225, 20124, 21780, 29262, 29616, 45996, 65025, 76832, 92778, 95916, 106092, 106308, 114630, 114930, 121872, 125652, 140130, 140625, 145794, 149124, 160986, 179562, 185100, 234876, 248652, 252978, 256860

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

我发现这个序列的最大项是3^9550。此外，如果（1/2）*（3^（k+1）-1）是素数（k+1是A028491号)那么3^k是在序列中，即sigma（phi（3^k））=phi（sigma）（证明很容易）-法里德·菲鲁兹巴赫特2005年2月9日

参考文献

R.K.Guy，《数论中未解决的问题》，第2版，施普林格出版社，1994年，B42节，第99页。

链接

多诺万·约翰逊，n=1..10000时的n，a（n）表（前200个术语来自T.D.Noe）

S.W.Golomb，数论函数之间的等式，未发表的手稿。（带注释的扫描副本）

沃尔特·尼森，σ（φ（n））=φ（σ（n），数一数！

沃尔特·尼森，σ（φ（n））=φ（σ（n），数一数！，2000年11月14日

沃尔特·尼森，sigma（phi（））补遗：从“5”到“5位数”，数一数！，2008年6月8日

沃尔特·尼森，sigma（phi（））的细化：从“5”到“5位数”，数一数！，2010年10月15日

配方奶粉

A062401型（a（n））=A062402型（a（n））-莱因哈德·祖姆凯勒，2013年1月4日

数学

选择[Range[10^6]，DivisorSigma[1，EulerPhi[#]]==EulerPhi[Divisor西格玛[1，#]]&]

黄体脂酮素

（哈斯克尔）

a033632 n=a033632_列表！！（n-1）

a033632_list=过滤器（\x->a062401 x==a062402 x）[1..]

--莱因哈德·祖姆凯勒，2013年1月4日

（PARI）是（n）=σ\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年5月9日

（Python）

从sympy导入除数sigma表示sigma，totiten表示phi

定义确定（n）：返回σ（φ（n））==φ（σ（n）

定义aupto（nn）：返回[m代表范围（1，nn+1）中的m，如果正常（m）]

打印（aupto（10**4））#迈克尔·布拉尼基2021年1月9日

交叉参考

囊性纤维变性。A000203号,A000010号,A028491号,A078148号.

关键词

非n,美好的

作者

贾德·麦克拉尼

状态

经核准的

A033631号

数字k，使sigma（phi（k））=sigma，其中sigma是除数函数之和A000203号phi是Euler totiten函数A000010号.

+10
15

1, 87, 362, 1257, 1798, 5002, 9374, 21982, 22436, 25978, 35306, 38372, 41559, 50398, 51706, 53098, 53314, 56679, 65307, 68037, 89067, 108946, 116619, 124677, 131882, 136551, 136762, 138975, 144014, 160629, 165554, 170037, 186231, 192394, 197806

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

有关φ（k）和sigma（k）的相应值，请参见A115619号和A115620号.

这个序列是无限的，因为对于每个正整数k，序列中有3^k*7*1979和3^k*7*2699（证明很容易）。A108510号给出了1979和2699这样的素数p，对于每个正整数k，3k*7*p都在这个序列中-法里德·菲鲁兹巴赫特2005年6月7日

还有另一类[推测]无限子集连接到A005385号（安全底漆）。示例：设s，t是安全素数，s<>t，然后3^2*5*251*s，2^2*61*71*s，2*61*s*t和2*19*311*s在这个序列中。3*s也是*A108510号（m）。（小s，t有一些明显的例外。）-维姆·温德斯2006年12月27日

参考文献

J.-M.De Konink，《法定法西斯》，第87条，第29页，《椭圆》，巴黎，2008年。

R.K.Guy，《数论中未解决的问题》，B42。

D.Wells，《企鹅奇趣数字词典》，企鹅图书1997年。

大卫·威尔斯，《好奇和有趣的数字（修订版）》，企鹅出版社，第114页。

链接

T.D.Noe，n=1..1000时的n，a（n）表

J.-M.De Konink、F.Luca、，正整数n，使得sigma（phi（n））=sigma，JIS 11（2008）08.1.5。

S.W.Golomb，数论函数之间的等式，未发表的手稿。（带注释的扫描副本）

数学

Do[If[DivisorSigma[1，EulerPhi[n]]==Divisor西格玛[1，n]，打印[n]]，{n，1，10^5}]

黄体脂酮素

（PARI）是（n）=σ（eulerphi（n））==σ\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年2月13日

（岩浆）[1..200000]|DivisorSigma（1，EulerPhi（k））eq Divisor西格玛（1，k）]中的k:k//马吕斯·A·伯蒂2020年2月9日

交叉参考

囊性纤维变性。A000203号,A000010号,A006872号,A115619号,A115620号.

关键词

非n

作者

贾德·麦克拉尼

扩展

条目修订人N.J.A.斯隆2006年4月10日

状态

经核准的

A353636型

φ（sigma（n））和φ（n）之间的差异。

+10
14

0, 1, 0, 4, -2, 2, -2, 4, 6, 2, -6, 8, -6, 2, 0, 22, -10, 18, -10, 4, 4, 2, -14, 8, 10, 0, -2, 12, -20, 16, -14, 20, -4, 2, -8, 60, -18, -2, 0, 8, -28, 20, -22, 4, 0, 2, -30, 44, -6, 40, -8, 18, -34, 14, -16, 8, -4, -4, -42, 32, -30, 2, 12, 94, -24, 28, -34, 4, -12, 24, -46, 72, -36, 0, 20, 12, -28, 24, -46, 28, 56

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,4

链接

安蒂·卡图恩，n=1..10000时的n，a（n）表

安蒂·卡图恩，数据补充：n，a（n）为n=1.65537计算

与sigma（n）相关的序列的索引项

配方奶粉

a（n）=A062401型（n）-A000010号（n）=A000010号(A000203号（n））-A000010号（n） ●●●●。

a（n）=和{d|n}(A353647飞机（d）-A007431号（d））。

数学

a[n_]：=EulerPhi[DivisorSigma[1，n]]-EulerPhi[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年5月6日*）

黄体脂酮素

（PARI）A353636型（n） =（eulerphi（sigma（n））-eulerpchi（n）；

交叉参考

囊性纤维变性。A000010号,A000203号,A007431号,A062401型,A353643型,A353647飞机.

囊性纤维变性。A006872号（零位置），A353637型（其特征功能）。

囊性纤维变性。A353682型（术语位置>=0），A353683型（条款>0），A353685型（术语<=0），A353686型（指否定词）。

另请参阅A351445型.

关键词

签名,容易的

作者

安蒂·卡图恩2022年5月4日

状态

经核准的

A065395号

sigma和phi函数的换向器。

+10
13

0, -1, 1, -3, 5, -1, 8, -1, 0, 1, 14, -5, 22, 4, 7, -15, 25, -12, 31, 3, 12, 6, 28, -1, 12, 16, 23, 4, 48, -9, 56, -5, 26, 13, 44, -44, 73, 23, 36, 7, 78, -4, 76, 18, 36, 12, 56, -29, 60, -18, 39, 18, 80, 7, 66, 28, 59, 32, 74, -17, 138, 40, 43, -63, 100, -6

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,4

Golomb（1993）证明了这些项常常是正的和负的-阿米拉姆·埃尔达尔2024年2月27日

参考文献

Solomon W.Golomb，《数论函数之间的等式》，Abstracts Amer。数学。Soc.，第14卷（1993年），第415-416页。

链接

哈里·史密斯，n=1..1000时的n，a（n）表

Jean-Marie De Koninck和Florian Luca，关于欧拉函数和除数和函数的合成《数学讨论会》，第108卷，第1期（2007年），第31-51页。

Solomon W.Golomb，数论函数之间的等式，未发表的手稿。（带注释的扫描副本）

配方奶粉

a（n）=σ（φ（n））-φ（σ（n）=A000203号(A000010号（n））-A000010号(A000203号（n））。

a（n）=A062402型（n）-A062401型（n） ●●●●-阿米拉姆·埃尔达尔2024年2月27日

例子

n=13：σ（13）=14，φ（14）=6，φ（13）=12，σ（12）=28，a（13）=28-6=22。

MAPLE公司

带有（数字理论）；A065395号：=n->σ（φ（n））-φ（σ（n）；序列(A065395号（n），n=1..100）#韦斯利·伊万·赫特2013年12月26日

数学

表[DivisorSigma[1，EulerPhi[n]]-EulerPhi[1，n]]，{n，100}](*T.D.诺伊2013年11月4日*）

黄体脂酮素

（PARI）{表示（n=11000，a=sigma（eulerphi（n））-eulerphi\\哈里·史密斯2009年10月18日

（岩浆）[DivisorSigma（1，EulerPhi（n）））-EulerSpi（Divisor西格玛（1，n））：[1..70]]中的n//布鲁诺·贝塞利2015年10月20日

交叉参考

囊性纤维变性。A000010号,A000203号,A033632号（0的位置），A062401型,A062402型.

关键词

签名,容易的

作者

拉博斯·埃利默2001年11月5日

状态

经核准的

A353750型

a（n）=φ（σ（n））*A064989号（σ（n）），其中A064989号将素因式分解向低素数转移一步。

+10
12

1, 4, 2, 30, 4, 8, 4, 48, 132, 24, 8, 60, 30, 16, 16, 870, 24, 528, 24, 120, 16, 48, 16, 96, 870, 120, 48, 120, 48, 96, 16, 720, 32, 144, 32, 3960, 306, 96, 120, 288, 120, 64, 140, 240, 528, 96, 32, 1740, 1224, 3480, 96, 1050, 144, 192, 96, 192, 96, 288, 96, 480, 870, 64, 528, 14238, 240, 192, 416, 720, 64, 192, 96

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

与…对比A353749，这不是乘法运算，除非在给定的位置上A336547.

似乎a（n）=A353749（n）仅在n=1时。这意味着A006872号和A336702型= {1}.

链接

安蒂·卡图恩，n=1..16384时的n，a（n）表

根据素因子分解中的索引计算序列的索引项

与sigma（n）相关的序列的索引项

配方奶粉

a（n）=A353749(A000203号（n））=A062401型（n）*A350073型（n） ●●●●。

a（n）=A353749（n）+A353757型（n） ●●●●。

黄体脂酮素

（PARI）

A064989号（n） ={my（f=因子（n>>估值（n，2））；对于（i=1，#f~，f[i，1]=预素数（f[i、1]-1））；因子回复（f）；}；

A353750型（n） ={my（s=sigma（n））；（eulerphi（s））*A064989号（s））；}；

交叉参考

囊性纤维变性。A000010号,A000203号,A006872号,A062401型,A064989号,A336547,A336548型,A336549型,A336702型,A350073型,A353747飞机,A353748,A353749.

囊性纤维变性。A353757型,A353758型（其中a（n）<A353749（n）），A353759型（其中a（n）>=A353749（n）），A353760型,A353790型[=a(A003961号（n））]。

另请参阅A353792型.

关键词

非n

作者

安蒂·卡图恩2022年5月7日

扩展

可疑评论被删除安蒂·卡图恩2023年1月26日

状态

经核准的

A353637型

如果φ（σ（n））等于φ（n），则a（n）=1，否则为0。

+10
10

1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1

链接

安蒂·卡图恩，n=1..100000时的n，a（n）表

特征函数的索引项

与sigma（n）相关的序列的索引项

配方奶粉

a（n）=1若A353636型（n）为零，否则为0。

a（n）=A353682型（n）-A353681型（n） ●●●●。

a（n）=[A000010号（n）==A062401型（n） ]，其中[]是艾弗森支架。

a（n）=[1==A353644飞机（n） ]*[1==A353646飞机（n） ]。

数学

a[n_]：=布尔[EulerPhi[n]==欧拉Phi[DivisorSigma[1，n]]]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年5月6日*）

黄体脂酮素

（PARI）A353637型（n） =（eulerphi（sigma（n））==eulerpchi（n）；

交叉参考

的特征函数A006872号.

囊性纤维变性。A000010号,A000203号,A062401型,A353636型,A353644飞机,A353646飞机,A353680型,A353681型,A353682型.

关键词

非n

作者

安蒂·卡图恩2022年5月4日

状态

经核准的

A137815号

年份号：数字n，使得φ（n）=2φ（sigma（n））。

+10
8

5, 13, 37, 61, 65, 73, 119, 157, 185, 193, 277, 305, 313, 365, 397, 421, 457, 481, 541, 613, 661, 673, 733, 757, 785, 793, 877, 949, 965, 997, 1093, 1153, 1201, 1213, 1237, 1321, 1381, 1385, 1453, 1547, 1565, 1615, 1621, 1657, 1753, 1873, 1933, 1985, 1993

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,1

在D.Iannucci之后，如果phi（n）/phi（sigma（n））=2，则n称为“年份号”（因此365是年份号，解释了术语）。

艾努奇问：有偶数年的数字吗？有没有不平方的奇数年？

备注：如果n=q_1 q_2。。。qk是奇素数的乘积，因此（qj+1）/2是所有j的奇素数，那么n是年份数。

解决方案：有关非方形年份数字，请参阅A137816号。请参阅A137817号-A137819号用立方体表示年份数字，四次方，五次方。

埃里克·兰奎斯特发现了可以被7^2、7^3和7^4整除的年份数，以及120781449=3^8*41*449。

偶数年份的存在性仍然存在，但埃里克检查了所有200个光滑偶数整数，其中一个大素数最大为10^8，但没有发现年份。

另请参阅中的参考A082897号（完全基数）。

参考文献

R.K.Guy，“Euler的Totient函数”，“φ（m）=σ（n）的解”，“phi和σ的迭代”，“Φ（σ（n））和σ（φ（n））的行为”=A7 B36-B42，《数论中未解决的问题》，第三版，纽约：Springer-Verlag，第138-1512004页。

Doug Iannucci，摘自：Gerry Myerson（编辑），2007年西方数论问题集。

链接

M.F.Hasler，n=1，…，n，a（n）表，。。。，7499.

数学

选择[Range[2000]，EulerPhi[#]==2EulerPhi[DivisorSigma[1，#]]&](*哈维·P·戴尔2011年3月18日*）

黄体脂酮素

（PARI）对于（n=1，10^7，eulerphi（n）==2*eulerpchi（sigma（n））&&print1（n“，”）

交叉参考

囊性纤维变性。A137816号-A137819号,A006872号（φ（σ（n））=φ（n），A067704号（φ（σ（n））=2φ（n），A082897号.

关键词

容易的,非n

作者

R.K.盖伊,R.J.马塔尔和M.F.哈斯勒2008年2月11日

状态

经核准的

A353685型

数字k，其中φ（sigma（k））<=φ（k）。

+10
7

1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 26, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 74, 77, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 95, 97, 99, 101, 103, 104, 107, 109, 111, 113, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 125, 127, 129, 131, 133, 134, 135, 137, 139, 141, 143

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

数字k是这样的A062401型（k）<=A000010号（k） ●●●●。

链接

n=1..75时的n，a（n）表。

与sigma（n）相关的序列的索引项

数学

选择[Range[150]，EulerPhi[DivisorSigma[1，#]]<=EulerPhi[#]&](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年5月6日*）

黄体脂酮素

（PARI）是A353685（n）=（eulerphi（sigma（n））<=eulerpchi（n）；

交叉参考

囊性纤维变性。A000010号,A000203号,A062401型,A353683型（补语）。

零的位置A353681型.术语位置<=0 inA353636型.

不相交的结合A006872号和A353686型.

关键词

非n

作者

安蒂·卡图恩2022年5月6日

状态

经核准的

A137816号

非平方“年数”（数字n使得phi（n）=2 phi（西格玛（n））：A137815号).

+10
6

5491, 8075, 25317, 27455, 71383, 72283, 76131, 104975, 138575, 193041, 203167, 295569, 295947, 298775, 334951, 356915, 361415, 400843, 451535, 492275, 509575, 572975, 589475, 595975, 654493, 683757, 815975, 862087, 876627, 919075, 936729

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,1

这是非方形元素的子序列A137815号。有关更多评论和参考，请参阅此处。

10^6以下只有32个这样的数字，10^7以下有145个，10^8以下有785个。

链接

M.F.Hasler，n=1，…，n，a（n）表，。。。，785.

数学

收获[For[n=1，n<10^6，n++，If[！SquareFreeQ[n]&EulerPhi[n]==2*EulerPhi[DivisorSigma[1，n]]，打印[n]；母猪[n]]][[2,1]](*Jean-François Alcover公司2016年12月12日*）

黄体脂酮素

（PARI）{对于（n=1，10^8，！issquarefree（n）&&eulerphi（n，）==2*eulerpchi（sigma（n））&&print1（n“，”）

交叉参考

囊性纤维变性。A137815号-A137819号,A006872号,A067704号.

关键词

非n

作者

R.K.盖伊,R.J.马塔尔和M.F.哈斯勒2008年2月11日

状态

经核准的

A353684型

数字k，其中φ（sigma（k））>=φ（k）。

+10
6

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 60, 62, 63, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 75, 76, 78, 80, 81, 84, 88, 90, 92, 93, 94, 96, 98, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 122, 124, 126, 128, 130, 132, 136, 138