搜索： a006666-编号：a0066666
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1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 16, 21, 32, 42, 64, 75, 85, 113, 128, 151, 170, 227, 256, 341, 512, 682, 1024, 1365, 2048, 2730, 4096, 5461, 7281, 8192, 10922, 14563, 16384, 21845, 32768, 43690, 65536, 87381, 131072, 174762, 262144, 349525, 466033, 524288, 699050, 932067
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1、2
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评论
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此序列的属性：
{a（n）}=E1联合E2，其中E1={A000079号（n） }并集｛5，10，21，85，170，227，341，682，1365，2730，5461，…｝和E2＝｛75，113，151，7281，…｝。如果E1的元素k生成迭代的Collatz序列k->T_1（k）->T_2（k）->T_3（k）->。。。则任何T_i（k）都是形式为[2^a/3^b]的E1元素，其中a=A006666号（n） ，或A006666号（n） -1，或。。。和b=A006667号（n） ，或A006667号（n） -1，或。。。但如果k是E2的元素，则至少存在一个元素T_i（k），该元素不在序列a（n）中。例如75->226->113->340->。。。和226不在序列中，因为如果[x]=[2^a/3^b]=[x.x0 x1 x2…]，有理数0.x0 x 1 x2…>0.666666….=>[（3x+2）.y0 y1 y2…]形式的[2^a/3^（b-1）]，此整数不同于T_（i+1）（k）=[（3x+1）.y0y1 y1…]=3x+1。
例如：T_2（75）=楼层（2^10/3^2）=113=>楼层（2*10/3^1）=341，而不是T_3（75）=340。
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链接
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例子
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227的Collatz轨迹是227->682->341->1024->512->…->2->1，并且227在子集E1中表示以下Collatz迭代：
227=地板（2^11/3^2）；
682=地板（2^11/3^1）；
341=楼层（2^10/3^1）；
1024=楼层（2^10/3^0）；
512=地板（2^9）/3^0）；
256=地板（2^8/3^0）；
128=地板（2^7/3^0）；
...
2=地板（2^1/3^0）；
1=地板（2^0/3^0）；
利用E1的数量，我们得到了Collatz问题的另一个公式。
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MAPLE公司
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A： =proc（n），如果类型为（n，‘偶数’），则为n/2；其他3*n+1；结束条件：；结束过程：
B： =程序（n）a:=0；x：=n；而x>1做x:=A（x）；a:=a+1；结束do；a；结束过程：
C： =程序（n）a:=0；x：=n；当x>1时，如果类型为（x，‘偶数’），则x:=x/2；否则x:=3*x+1；a:=a+1；结束条件：；结束do；a；结束过程：
D： =程序（n）C（n）；结束过程：
对于从1到1000000的i，do:如果G（i）=i，则打印f（`%d，`，i）：else fi:od：
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数学
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Collatz[n_]：=NestWhileList[If[EvenQ[#]，#/2，3#+1]&，n，#>1&]；nn=30；t＝｛｝；n=0；而[长度[t]<nn，n++；c=Collatz[n]；ev=长度[Select[c，EvenQ]]；od=长度[c]-ev-1；如果[Floor[2^ev/3^od]==n，AppendTo[t，n]]]；t吨(*T.D.诺伊2013年2月13日*）
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 4, 3, 1, 0, 3, 2, 4, 4, 2, 5, 5, 4, 3, 5, 0, 6, 3, 2, 8, 7, 6, 8, 2, 7, 0, 10, 6, 5, 4, 7, 8, 10, 9, 8, 4, 3, 10, 9, 11, 14, 9, 12, 7, 6, 10, 9, 0, 14, 13, 12, 7, 6, 5, 10, 17, 13, 15, 0, 13, 12, 16, 15, 5, 8
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,9
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评论
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此序列的属性：
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例子
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a（9）=3，因为楼层（2^A006666号(19)/3^A006667号（19） ）-19=楼层（2^14/3^6）-19=楼层（22.474622）-19=22-19=3。
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MAPLE公司
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A： =proc（n），如果类型为（n，‘偶数’），则为n/2；其他3*n+1；结束条件：；结束过程：
B： =程序（n）a:=0；x：=n；当x>1时，x:=A（x）；a:=a+1；结束do；a；结束过程：
C： =程序（n）a:=0；x：=n；当x>1时，如果类型为（x，‘偶数’），则x:=x/2；否则x:=3*x+1；a:=a+1；结束条件：；结束do；a；结束过程：
D： =程序（n）C（n）；结束过程：
对于从1到100的i，do:printf（`%d，`，G（i）-i）：od：
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数学
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Collatz[n_]：=NestWhileList[If[EvenQ[#]，#/2，3#+1]&，n，#>1&]；nn=100；t＝｛｝；n=0；而[长度[t]<nn，n++；c=Collatz[n]；ev=长度[Select[c，EvenQ]]；od=长度[c]-ev-1；附加到[t，楼层[2^ev/3^od]-n]]；t吨
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1，1
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链接
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<0，0，s=n；c=0；而（s>1，s=（s%2）*（3*s+1）/2+（1-s%2）*s/2；c++）；c） %2
（方案）
（定义(A014682号n） （如果（偶数？n）（/n 2）（/（+n n n 1）2））
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 28, 3, 14, 57, 1896, 7, 7586, 29, 948, 115, 118, 3793, 3824, 15, 474, 15173, 15180, 59, 62, 1897, 1912, 231, 60722, 237, 1102691417057682138372, 7587, 7590, 7649, 137836427132210267296, 31, 242890, 949, 956, 30347, 30350, 30361, 7772616, 119
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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换言之，当a（n）>=0时，a（n。
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配方奶粉
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a（2^k）=2^k-1，对于任何k>=0。
a（2*n）=2*a（n）+1。
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例子
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第一项，以及a（n）的二进制表示和a（n
n（n）箱（a（n））转速（traj（n）
-- ---- --------- ------------
1 0 0 (1)
2 1 1 (1, 2)
3 28 11100 (1, 2, 4, 8, 5, 3)
4 3 11 (1, 2, 4)
5 14 1110 (1, 2, 4, 8, 5)
6 57 111001 (1, 2, 4, 8, 5, 3, 6)
7 1896 11101101000 (1, 2, 4, 8, 5, 10, 20, 13, 26, 17, 11, 7)
8 7 111 (1, 2, 4, 8)
9 7586 1110110100010 (1, 2, 4, 8, 5, 10, 20, 13, 26, 17, 11, 7, 14, 9)
10 29 11101 (1, 2, 4, 8, 5, 10)
11 948 1110110100 (1, 2, 4, 8, 5, 10, 20, 13, 26, 17, 11)
12 115 1110011 (1, 2, 4, 8, 5, 3, 6, 12)
13 118 1110110 (1, 2, 4, 8, 5, 10, 20, 13)
14 3793 111011010001（1、2、4、8、5、10、20、13、26、17、11、7、14）
15 3824 111011110000 (1, 2, 4, 8, 5, 10, 20, 40, 80, 53, 35, 23, 15)
16 15 1111 (1, 2, 4, 8, 16)
17 474 111011010 (1, 2, 4, 8, 5, 10, 20, 13, 26, 17)
18 15173 11101101000101 (1, 2, 4, 8, 5, 10, 20, 13, 26, 17, 11, 7, 14, 9, 18)
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=我的（v=0）；对于（k=0，oo，如果（n==1，返回（v），n%2，n=（3*n+1）/2，n=n/2；v+=2^k））
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 4, 2, 3, 0, 6, 5, 8, 4, 5, 7, 7, 8, 8, 3, 9, 9, 9, 1, 1, 6, 6, 6, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 11, 4, 10, 5, 5, 9, 9, 9, 7, 7, 7, 7, 2, 8, 8, 8, 11, 9, 10, 10, 10, 9, 9, 12, 12, 9, 7, 9, 7, 9, 9, 7, 7, 1, 10, 10, 10, 6, 6, 6, 11, 4, 0, 4, 6, 4, 4, 7, 7, 6, 4, 7, 7, 6, 6, 2, 2, 8, 2, 8, 8, 8, 8, 11, 11, 5, 7, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 5, 7, 5, 2, 5, 5, 5, 9, 9, 5, 7, 7, 9, 9, 7, 7, 9
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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3x+1或Collatz问题如下：从任何数字n开始。如果n是偶数，则将其除以2，否则将其乘以3并加1。由于乘3再加1总是得到一个偶数，所以下一步总是除以2。所以已经有了Collatz问题的一个简化版本：如果n是偶数，将其乘以三，加上一，然后将结果除以二，否则将其除以二。A006666号（n） ，这是“3x+1”问题中达到1的减半步骤数，也是缩短形式达到1的所有步骤数。如果你把这个函数映射到它本身，你会得到一个以1或6（代表6、20、21、43、64、86…）或73（代表73、216、218…）结尾的序列。
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链接
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例子
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对于n=3，缩短的Collatz序列的映射为[3，5，4，2，1]，其步长为4。对于n=6，序列为[6]，步骤数为0。
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黄体脂酮素
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（Python）
#!/usr/bin/env-python
.
#输出到
outputStr=“b232462.txt”
.
#最大索引
最大指数=10000
.
#糖果
sep=“”
eol=“\n”
.
.
#collatz序列子程序；经典和缩短
定义坐标（n，k）：
.
….#将起始编号放入列表
….列表=[n]
.
….#collatz假设用作结束标准
….当（n>1）：
.
……..#科拉茨公式
……..如果（n%2==0）：
…………n=n//2
……..其他：
…………n=（3*n+1）//k#，如果k==2-->缩短
.
……..#将新编号放入列表
……..列表.附录（n）；
.
….#返回完整列表
….返回列表
.
.
#collatz合成子程序；经典和缩短
#成分：collatz（collatz）
定义成分（n，k）：
.
….#将起始编号放入列表
….列表=[n]
.
….#计算collatz（起始编号）
….l=长度（坐标（n，k））-1
.
….#而我们没有循环
….while（（l>=1）and（not l in list））（当（（l>=1）和（列表中没有l）时）：
.
……..#将新编号放入列表
……..列表.附录（l）
.
……..#获取下一个学院编号
……..l=长度（collatz（l，k））-1
.
….#返回完整列表
….返回列表
.
.
#开放式输出
output=打开（outputStr，'w'）
.
#对于索引1到maxIndex
对于范围（1，maxIndex+1）中的i：
.
….#计算完整的合成序列
….列表=组成（i，2）
.
….#获取步骤数
……l=长度（列表）-1
.
….#写入文件
….输出.写入（str（i）+sep+str（l）+eol）
.
#闭合输出
输出.关闭（）
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 6, 9, 19, 18, 27, 33, 37, 36, 50, 43, 56, 59, 66, 57, 74, 78, 72, 97, 87, 86, 98, 112, 119, 118, 134, 123, 115, 114, 130, 149, 148, 157, 135, 179, 144, 153, 187, 220, 174, 173, 172, 197, 196, 255, 224, 238, 219, 236, 203, 249, 268, 247, 246, 230, 229, 228
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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推测：k对所有n都存在。
换句话说，给定一个整数n，在3x+1问题中，始终存在至少一个整数k和一对整数（a，b），使得n+k=2^a/3^b，其中a是达到1的减半步骤数，b是达到1所需的三倍步骤数。
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链接
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例子
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数学
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lst={}；Do[Colatz[k_]：=NestWhileList[If[EvenQ[#]，#/2，3#+1]&，k，#>1&]；nn=500；t={}；k=0；而[长度[t]<nn，k++；c=Collatz[k]；ev=长度[Select[c，EvenQ]]；od=长度[c]-ev-1；如果[Floor[2^ev/3^od]-k==n，则附加到[lst，k]；中断[]]]，{n，0，60}]；第一次
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 4, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 10, 10, 1, 1, 3, 3
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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链接
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配方奶粉
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a（2^m）=米。
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例子
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MAPLE公司
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nn：=100：
对于从1到nn的n，do：
m： =n:it0:=0:it1:=0:
对于从1到1000的j，而（m<>1）则：
如果irem（m，2）=0
然后
m： =m/2:it0:=it0+1：
其他的
m： =3*m+1:it1:=it1+1：
图1：
日期：
q： =gcd（it0，it1）：打印f（`%d，`，q）：
日期：
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数学
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表[GCD[Count[NestWhileList[If[OddQ@#，3#+1，#/2]&，n，#>1&]，_？EvenQ]，Count[Differences[NestWhileList[If[EvenQ@#，#/2，3#+1]&，n，#>1&]]，_？正]]，｛n，87｝](*迈克尔·德弗利格2016年10月13日之后哈维·P·戴尔在A006666号和A006667号*)
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）={my（se=0）；my（so=0））；while（n！=1，if（n%2，so++；n=3*n+1，se++；n=n/2）；）；gcd（se，so）；}\\米歇尔·马库斯2016年10月13日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 82, 129, 4096, 327, 16384, 32768, 1249, 35655, 159, 4926, 283, 377, 502, 603, 799, 1063, 1417, 1889, 2518, 3356, 4472, 5960, 7944, 10594, 14124, 18833, 25110, 33481, 44641, 59521, 79361, 105814, 141084, 188113, 250817, 334422
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1，1
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评论
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a（n）=2^n，对于n=1、2、3、3、4、5、6、7、8、9、12、14、15。
序列中的素数是2283106312491889444641。。。
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链接
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例子
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MAPLE公司
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对于从1到45的n，do：
ii:=0：
对于从2到10^7的k，当（ii=0）do时：
m： =k:s1:=0:s2:=0:
对于i从1到nn，而（m<>1）则：
如果irem（m，2）=0
然后
s2:=s2+1:m:=m/2:
其他的
s1:=s1+1:m:=3*m+1：
图1：
日期：
如果gcd（s1，s2）=n
然后
ii:=1:printf（`%d%d\n`，n，k）：
其他的
图1：
日期：
日期：
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数学
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函数[w，First/@Lookup[w，函数[k，If[k=={}，#，Take[#，First@k]]@Complement[Range@Max@#，#]]&@Keys@w]@KeySort@PositionIndex@Table[GCD[Count[NestWhileList[If[OddQ[#]，3#+1，#/2]&，n，#>1&]，_？（EvenQ[#]&）]，计数[Differences[NestWhileList[If[EvenQ[#]，#/2，3#+1]&，n，#>1&]]，_？正]]，{n，2^16}](*迈克尔·德弗利格，2017年2月2日，第10版，之后哈维·P·戴尔在A006666号和A006667号*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 27, 1701, 6561, 1760826122505, 115093142840908791, 460166680231540515, 1840049047529878113
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1、2
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评论
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已验证n到10^7。
看起来n*3^A006667号（n） 第页，共2页^A006666号（n） =c表示n=993*2^k，k=0，1，2。。。在这种情况下，c=993*2^k*3^32/2^（61+k），其中32=A006667号（993*2^k）和61+k=A006666号（993*2^k）。例如，c=993*3^32/2^61=1986*3^32/2^62=3972*3^ 32/2^63=7944*3^32.2^64=。。。
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链接
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例子
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对于n=1到10，比率是：1，1，27/32，1，15/16，27/33，1701/2048，1，6561/8192，15/18，所以低记录是1，27/3，1701/2048，6561/8192。。。
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数学
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q=1；Collatz[n_]：=NestWhileList[If[EvenQ[#]，#/2，3#+1]&，n，#>1&]；nn=5000；t={}；n＝0；而[长度[t]<nn，n++；c=Collatz[n]；ev=长度[Select[c，EvenQ]]；od=长度[c]-ev-1；如果[n*3^od/2^ev<q，打印[n，“”，od，“”，ev，“”，n*3^od/2^ev]；q=n*3^od/2^ev]]
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黄体脂酮素
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（PARI）ht（n）=我的（h，t）；而（n>1，如果（n%2，n=3*n+1；t++，n>>=1；h++））；返回（[h，t]）；
列表a（nn）={m=2；对于（n=1，nn，v=ht（n）；newm=n*3^v[2]/2^v[1]；如果（newm<m，print1（分子（newm），“，”）；m=newm）；}\\米歇尔·马库斯2018年5月6日
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交叉参考
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关键词
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非n,压裂,更多
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作者
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状态
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经核准的
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A123481号
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| 为序列记录nA006666号（n） /log（n），对于n>1；也就是说，将减半Collatz迭代的步长数除以log（n），再除以1，得到一个新的最大值。 |
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+20
0
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2, 3, 7, 9, 27, 230631, 626331, 837799, 1723519, 3732423, 6649279, 8400511, 63728127, 3743559068799, 100759293214567, 104899295810901231
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1，1
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评论
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这些数字（至少对于n>2）在参考文件中被Dominici称为“Abby-Normal”数字（定义21）；此处包括2，以符合RECORDS转换约定-D.S.麦克尼尔2009年3月26日
另外三个术语已知（参见Roosendaal），但它们可能不是接下来的三个术语-N.J.A.斯隆2012年10月21日
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链接
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D.多米尼克，使用2和3，arXiv:0704.1057
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关键词
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非n
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作者
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Diego Dominici（dominicd（AT）newpaltz.edu），2007年4月16日
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扩展
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Roosendaal表格中的a（14）-a（16）由N.J.A.斯隆2012年10月21日
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状态
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经核准的
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