A139382-OEIS公司

A139382号

按行读取三角形，T（n，k）=（2^k-1）*T（n-1，k）+T（n-l，k-1）。

1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 13, 11, 1, 1, 40, 90, 26, 1, 1, 121, 670, 480, 57, 1, 1, 364, 4811, 7870, 2247, 120, 1, 1, 1093, 34041, 122861, 77527, 9807, 247, 1, 1, 3280, 239380, 1876956, 2526198, 695368, 41176, 502, 1, 1, 9841, 1678940, 28393720, 80189094, 46334382, 5924720, 169186, 1013, 1

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,5

行总和=A135922号从偏移1开始：（1、2、6、26、158、1330…）。

这个三角形是A008277号（第二类斯特林数），q=2（见Cai等人的链接）-沃纳·舒尔特2019年4月4日

链接

G.C.格鲁贝尔，行n=三角形的1..100，展平

Yue Cai、Richard Ehrenborg和Margaret A.Readdy，q-斯特林数重访，arXiv:1706.06623[math.CO]，2017年。

Yue Cai、Richard Ehrenborg和Margaret A.Readdy，q-斯特林数重访《组合数学电子杂志》，第25期，第1期（2018年），论文编号：P1.37。

配方奶粉

按行读取三角形，T（n，k）=（2^k-1）*T（n-1，k）+T（n-l，k-1）。设X=一个主对角线上有（1,3,7,15,31…），次对角线中有（1,1,1，…）的无限双对角矩阵。三角形的第n行=X^n*[1,0,0,0，…]。

发件人沃纳·舒尔特2019年4月2日：（开始）

k列的G.f:col（k，t）=Sum_{n>=k}t（n，k）*t^n=t^k/Product_{i=1..k}（1-（2^i-1）*t）对于k>0。

求和{k>0}列（k，t）*（乘积{i=1..k-1}（1-2^i））=t（空乘积等于1）。

当n>0时，求和{k=1..n}（-1）^k*2^二项式（k，2）*T（n，k）=（-1）*n。

列3的k=3:g.f:col（3，t）=Sum_{n>=3}t（n，3）*t^n=1*t^3+11*t^4+90*t^5+670*t^6+…=t^3*（1+11*t+90*t^2+670*t^3+…）=t^3/产品{i=1..3}。也许下面的递归公式也很有用：col（k，t）=col（k-1，t）*t/（1-（2^k-1）*t），对于初值为col（1，t）=t/（1-t）的k>1。最后：col（k，t）是k列的g.f。

关于第二个公式：我们可以用以下公式替换：求和{k=1..n}T（n，k）*（乘积{i=1..k-1}（1-2^i））=A000007号（n-1）对于n>0且产品为空的情况（情况k=1）。n=5的示例为：1*1+（-1）*40+（-1。（结束）

T（n，k）=（1/（2^二项式（k，2）*A005329号（k））*Sum_{j=0..k}（-1）^（k-j）*2^二项式（k-j，2）*A022166号（k，j）*（2^j-1）^n-费比安·佩雷拉2024年1月27日

T（n，k）=和{j=k.n.n}（-1）^（n-j）*二项式（n，j）*q二项式A022166号（n，k）-费比安·佩雷拉2024年1月31日

例子

三角形的前几行是：

1, 1;

1, 4, 1;

1, 13, 11, 1;

1, 40, 90, 26, 1;

1, 121, 670, 480, 57, 1;

...

a（13）=T（5,3）=90=（2^3-1）*T（4,3）+T（4,12）=7*11+13。

MAPLE公司

A139382号：=proc（n，k）如果k=1，则1 elif k=n，然后1 elif k=1，然后0 else

（2千-1）*139382英镑（n-1，k）+A139382号（n-1，k-1）fi端：

对于从1到8的n，执行以下操作(A139382号（n，k），k=1..n）od#彼得·卢什尼2022年6月28日

数学

T[1，1]：=1；T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[k>n||k<1，0，（2^k-1）*T[n-1，k]+T[n-1，k-1]]；表[T[n，k]，{n，1，12}，{k，1，n}](*G.C.格鲁贝尔，2019年4月2日*）

黄体脂酮素

（PARI）{T（n，k）=if（k<1|k>n，0，if（n==1&k==1，1，（2^k-1）*T（n-1，k）+T（n-l，k-1））}；

对于（n=1，12，对于（k=1，n，print1（T（n，k），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2019年4月2日

（鼠尾草）

@缓存函数

定义T（n，k）：

如果（k==1）：返回1

elif（k==n）：返回1

else：返回（2^k-1）*T（n-1，k）+T（n-1，k-1）

[T（n，k）代表k in（1..n）]代表n in（1..12）]#G.C.格鲁贝尔2019年4月2日

#备选方案：

（鼠尾草）#使用[qStirling2来自A333143型]

seq（seq（qStirling2（n，k，2），k=0..n），n=0..9）#彼得·卢什尼2020年3月10日

交叉参考

囊性纤维变性。A008277号,A135922号,A333143型.

囊性纤维变性。A000295号（第二对角线），A003462号（第2列），A016212年（第3列），A156823号.

上下文中的序列：A247502型 A047874号 A080248号*A157180型 A179086号 A255494型

相邻序列：A139379号 A139380号 A139381号*A139383号 A139384号 A139385号

关键词

非n,表,改变

作者

加里·亚当森2008年4月16日

扩展

来自的更多条款G.C.格鲁贝尔2019年4月2日

状态

经核准的