A091042-OEIS公司

A091042号

帕斯卡三角形奇数行的偶数条目的三角形A007318号.

1, 1, 3, 1, 10, 5, 1, 21, 35, 7, 1, 36, 126, 84, 9, 1, 55, 330, 462, 165, 11, 1, 78, 715, 1716, 1287, 286, 13, 1, 105, 1365, 5005, 6435, 3003, 455, 15, 1, 136, 2380, 12376, 24310, 19448, 6188, 680, 17, 1, 171, 3876, 27132, 75582, 92378, 50388, 11628, 969, 19, 1, 210, 5985, 54264, 203490, 352716, 293930, 116280, 20349, 1330, 21

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,3

行多项式Pe（n，x）：=和{m=0..n}a（n，m）*x^m作为偶数列序列的生成函数的分子出现A034870号.

元素具有与Pascal三角形相同的奇偶性。

多项式Pe（n，x）的所有零点都是负数。它们是-tan ^2（Pi/2*n+1），-tan ^ 2（2*Pi/2*n+1）-tan ^2（n*Pi/2*n+1）。此外，对于m>=1，Pe（m，-x^2）是区间[0，（2*m）^n）中以2*m为基数的偶数和和与2*m的倍数之差的常系数线性差分方程的特征多项式-弗拉基米尔·舍维列夫和彼得·J·C·摩西2012年5月22日

的行反转A103327号. -彼得·巴拉2013年7月29日

行多项式Pe（d，x）乘以（2*d）/d=A001813号（d），给出了Sheffer三角形Lah[4,1]对角线d序列的o.g.f.的分子多项式，当d>=0时A048854号. -沃尔夫迪特·朗2017年10月12日

参考文献

A.M.Yaglom和I.M.Yaglom，圆周率的Wallis、Leibniz和Euler公式的初等证明。乌斯佩基·马特姆。Nauk，VIII（1953），181-187（俄语）。

链接

英德拉尼尔·戈什，三角形的第0..120行，扁平

沃尔夫迪特·朗，前9行.

V.Shevelev，关于基底2m中（2m+1）-倍数上Newman样现象的单调强化，arXiv:0710.3177[math.NT]，2007年。

V.Shevelev和P.Moses，正切幂和及其应用，arXiv:1207.0404[math.NT]，2012-2014年。

配方奶粉

T（n，m）=二项式（2*n+1，2*m）=A007318号（2*n+1，2*m），n>=m>=0，否则为0。

发件人彼得·巴拉2013年7月29日：（开始）

例如：sinh（t）*cosh（sqrt（x）*t）=t+（1+3*x）*t^3/3！+（1+10*x+5*x^2）*t^5/5！+（1+21*x+35*x^2+7*x^3）*t^7/7！+。。。。

O.g.f.：A（x，t）=（1+（x-1）*t）/（（1+，x-1）*t）^2-4*t*x）=1+（1+3*x）*t+（1+10*x+5*x^2）*t^2+。。。

函数A（x/（x+4），t*（x+4）/4）=1+（1+x）*t+（1+3*x+x^2）*t^2+。。。是o.g.fA085478号.

第n对角线的O.g.f.：（和{k=0..n}二项式（2*n，2*k）*x^k）/（1-x）^（2*n）。

第n行多项式R（n，x）=（1/2）*（（1+sqrt（x））^（2*n+1）-（sqrt。

行总和A000302号.（结束）

T（n，k）=2*T（n-1，k）+2*T（n-1，k-1）+2*T-菲利普·德尔汉姆，2013年11月26日

发件人彼得·巴拉，2022年1月31日：（开始）

定义S（r，N）=Sum_{j=1..N}j^r，然后当N>=0时，下列恒等式成立：（1/2）*（N^2+N）^（2*N+1）=T（N，0）*ST（n，n）*S（4*n+1，n）。下面给出了一些示例。（结束）

例子

三角形a（n，m）开始于：

n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。

0: 1

1: 1 3

2: 1 10 5

3: 1 21 35 7

4: 1 36 126 84 9

5: 1 55 330 462 165 11

6: 1 78 715 1716 1287 286 13

7: 1 105 1365 5005 6435 3003 455 15

8: 1 136 2380 12376 24310 19448 6188 680 17

9: 1 171 3876 27132 75582 92378 50388 11628 969 19

10: 1 210 5985 54264 203490 352716 293930 116280 20349 1330 21

…重新格式化并扩展-沃尔夫迪特·朗2017年10月12日

发件人彼得·巴拉，2022年1月30日：（开始）

（1/2）*（N^2+N）=和{j=1..N}j。

（1/2）*（N^2+N）^3=和{j=1..N}j^3+3*和{j=1..N}j^5。

（1/2）*（N^2+N）^5=Sum_{j=1.N}j^5+10*Sum_{j=1.N}j^7+5*Sum_{j=1.N}j^9。

（1/2）*（N^2+N）^7=和{j=1..N}j^7+21*和{j=1。（结束）

MAPLE公司

f:=（x，t）->cosh（sqrt（x）*t）*sinh（t）；seq（seq（系数（（2*n+1）*系数（级数（f（x，t），t，2*n+2），t、2*n+1）），x，k），k=0..n），n=0..9）#彼得·卢什尼2013年7月29日

数学

温度[n_，k_]/；0<=k<=n:=T[n，k]=2T[n-1，k]+2T[n-1，k-1]+2T[n-2，k-1]-T[n-2，k]-T[n-2，k-2]；T[0,0]=T[1,0]=1；T[1,1]=3；T[_，_]=0；

表[T[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2018年7月29日之后菲利普·德尔汉姆*)

表[二项式[2*n+1，2*k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2019年8月1日*）

黄体脂酮素

（PARI）T（n，k）=二项式（2*n+1，2*k）\\G.C.格鲁贝尔2019年8月1日

（岩浆）[[二项式（2*n+1，2*k）：k in[0..n]]：n in[0..12]]//G.C.格鲁贝尔2019年8月1日

（Sage）[[二项式（2*n+1，2*k）用于k in（0..n）]用于n in（0..12）]#G.C.格鲁贝尔2019年8月1日

（GAP）平面（列表（[0..12]，n->List（[0..n]，k->二项式（2*n+1，2*k）））#G.C.格鲁贝尔2019年8月1日

交叉参考

囊性纤维变性。A212500型,A038754号.A000302号（行总和），A085478号,A103327号（倒排），A048854号,A103328号.

上下文中的序列：A107870号 A078817号 A316193型*A111418号 A113187号 A340554型

相邻序列：A091039号 A091040型 A091041号*A091043号 A091044号 A091045型

关键字

非n,容易的,表

作者

沃尔夫迪特·朗，2004年1月23日

状态

经核准的