A032279-OEIS公司

抵消

5,3

发件人弗拉基米尔·舍维列夫，2011年4月23日：（开始）

还有5个珠子的非等效项链的数量，每个珠子涂有n种颜色中的一种。

该序列解决了k=5时关于凸k-gons的所谓Reis问题。全解由H.Gupta（1979）给出；我对古普塔的结果给出了一个简短的证明，并展示了这个问题与以下每个问题的等价性：列举了由两种颜色的n个珠子组成的手镯，其中k个是黑色的，以及列举了由n种颜色中的一种绘制的k个珠子的项链。

a（n）是n阶（0,1）-循环中每行有五个1的恒量的不同值个数的基本上不可改进的上限估计。（结束）

a（n+5）是T_1 X h振动微扰矩阵h（Q）的级数展开中n阶对称允许的线性无关项的数目（参见Dunn&Bates）-布拉德利·克莱2015年7月20日

发件人Petros Hadjicostas公司2018年7月17日：（开始）

设（c（n）：n>=1）是一个非负整数序列，c（x）=Sum_{n>=1}c（n）*x^n是它的g.f。设a_k=（a_k（n）：n>=1克里斯蒂安·鲍尔下面是的web链接。可以证明，当k为奇数时，A_k（x）=（（1/k）*Sum_{d|k}phi（d）*C（x^d）^（k/d）+C（x^2）^（（k-1）/2）*C（x））/2。

对于这个序列，k=5，c（n）=1，所有n>=1，c（x）=x/（1-x）。因此，对于所有n>=1，a（n）=a_5（n）。由于对于1<=n<=k-1，a_k（n）=0，因此该序列的偏移量为n=k=5。应用（c（n）：n>=1）的DIK[5]的g.f.公式，c（x）=x/（1-x）和k=5，我们得到A（x）=A_5（x）＝x^5*（（1/5）*求和{d|5}φ（d）*（1-x^d）^。

g.f.也是赫伯特·科西姆巴的公式对奇偶k都有效：A_k（x）=x^k*（（1/k）*Sum_{d|k}φ（d）*（1-x^d）^（-k/d）+（1+x）/（1-x ^2）^Floor[（k+2）/2]）/2。

这里，a（n）被定义为两种颜色的n珠子手镯的数量，带有5个黑色珠子和n-5个白色珠子。但它也是带有5个正部分的n的二面体组成数。（此声明相当于弗拉基米尔·舍维列夫上面的说法是，a（n）是“由5颗珠子组成的非等效项链的数量，每颗珠子都由n种颜色中的一种颜色绘制。”他所说的“项链”是指“翻转项链”。见他2004年在《印度纯粹与应用数学杂志》上发表的论文第2节第（2）段。）

n的两个循环组成（k=5部分）属于与n的二面体组成相对应的相同等价类，当且仅当其中一个可以通过旋转或颠倒顺序从另一个获得时。（结束）

参考文献

N.Zagaglia Salvi，《自行车和项链的有序分区和着色》，公牛。仪表组合应用。，27 (1999), 37-40.

链接

文森佐·利班迪，n=5..1000时的n，a（n）表

内斯琳·本亚希亚·塔尼（Nesrine Benyahia-Tani）、扎赫拉·亚希（Zahra Yahi）和萨德克·布鲁比（Sadek Bouroubi）内接在正n边上的有序和无序非相接凸四边形。罗斯托克数学。科洛克。68、71-79（2013），定理1。

N.Benyahia Tani、Z.Yahi和S.Bouroubi，内接在正n边上的有序和无序非等距凸四边形《Liforce实验室公报》，01（2014）1-9。

C.G.Bower，变换（2）

S.J.Cyvin、B.N.Cyvin、J.Brunvoll、I.Gutman、Chen Rong-si、S.El Basil和Zhang Fuji，包含珊瑚烯和珊瑚烯同系物的多边形系统：Pólya定理的新应用、Z.Naturforsch.、。，52a（1997），867-873。

J.L.Dunn和C.A.Bates，T1u（x）hg体系作为C60分子模型的分析，物理。版本B 52，59961995年8月15日。

H.古普塔，不一致循环k-gon的计数印度J.Pure和Appl。数学。，第10卷，第8期（1979年），964-999。

E.Kirkman、J.Kuzmanovich和J.J.Zhang，置换表示下（-1）-斜多项式环的不变量，arXiv预印本arXiv:1305.39732013。参见示例5.5。

理查德·赖斯（Richard H.Reis），古普塔论文中C（T）的一个公式印度J.Pure和Appl。数学。，第10卷，第8期（1979年），1000-1001。

F.Ruskey，项链、林登文字、De Bruijn序列等。

F.Ruskey，项链、林登文字、De Bruijn序列等。[缓存副本，经许可，仅限pdf格式]

弗拉基米尔·舍维列夫，项链和凸起的k型边印度J.Pure和Appl。数学。，第35卷，第5期（2004年），629-638。

弗拉基米尔·舍维列夫，项链和凸面k形，印度J.Pure和Appl。数学。，第35卷，第5期（2004年），629-638。

弗拉基米尔·舍维列夫，多变量双色手镯的计数问题，arXiv:0710.1370[math.CO]，2007-2011。

弗拉基米尔·舍维列夫，λ_n^3和λ_n（α、β、γ）中的恒量值及其极值谱，arXiv:1104.4051[math.CO]，2011年。（参见第5节）。

手镯相关序列的索引条目

配方奶粉

“DIK[5]”（项链，模糊，未标记，5部分）变换为1，1，1。。。

通用格式：x^5*（1-x+2*x^3-x^5+x^6）/（（1-x）^2*（1-x ^2）^2x（1-x^5））偏移量5修正为罗伯特·伊斯雷尔2015年7月22日

发件人弗拉基米尔·舍维列夫2011年4月23日：（开始）

如果n==k（mod d），则取s（n，k，d）=1，否则取0。然后

a（n）=（2/5）*s（n，0,5）+（n-1）*（n-3）*（（n-2）*（n-4）+15）/240，如果n是奇数>=5；

a（n）=（2/5）*s（n，0.5）+（n-2）*（n-4）*（（n-1）*（n-3）+15）/240，如果n甚至>=5。（结束）

a（n+5）=楼层（n^4/240+n^3/24+5*n^2/24+25*n/48+1+（-1）^n*n/16）-罗伯特·伊斯雷尔2015年7月22日

a（n）=(A008646号（n-5）+A119963号（n，5））/2=(A008646号（n-5）+C（楼层（n-1）/2，2））/2，对于n>=5-Petros Hadjicostas公司2018年7月17日

例子

发件人Petros Hadjicostas公司2018年7月17日：（开始）

每一个有两种颜色的n珠子手镯（其中5个珠子是黑色的，n-5个是白色的）都可以通过以下方式转化为具有5个阳性部分的n的二面体组合。从一个B珠子开始，朝一个方向（顺时针方向）移动，直到到达下一个B珠。继续此过程，直到回到原来的B珠。

设b_i为从b珠i到b珠i+1（或b珠1）之前的最后一个W珠的珠数。这里，b_i=1，如果b珠i和b珠i+1（或b珠5和b珠1）之间没有W珠。然后b1+b2+b3+b4+b5=n，我们得到了n的二面体组成（当然，b2+b2+b4+B5+b1和b5+b4+5+b3+b2+b1属于二面体构成b1+b2+b2+B3+b4+5的相同等价类）

例如，a（8）=5，我们有以下带有5个B珠子和3个W珠子的手镯。在手镯旁边，我们列出了n的相应二面体组成，k=5部分（必须在圆上查看）：

BBBBB WWW<->1+1+1+4

BBBBWBWW<->1+1+1+2+3

BBWBBBWW<->1+2+1+3

BWBBWBWB<->2+1+2+1

BWBWBBB<->2+2+2+1+1

（结束）

MAPLE公司

seq（楼层（n^4/240+n^3/24+5*n^2/24+25*n/48+1+（-1）^n*n/16），n=0..100）#罗伯特·伊斯雷尔2015年7月22日

数学

k=5；表[（应用[Plus，Map[EulerPhi[#]二项式[n/#，k/#]&，Divisors[GCD[n，k]]]/n+二项式[Cf[OddQ[n]，n-1，n-If[OrdQ[k]，2，0]]/2，If[OddQ[k'，k-1，k]/2]）/2，{n，k，50}](*罗伯特·拉塞尔2004年9月27日*）

系数列表[级数[（1-x+2x^3-x^5+x^6）/（1-x）^2（1-x^2）^2[1-x^5）），{x，0，50}]，x](*文森佐·利班迪2013年9月7日*）

k=5（*手镯问题中的黑色珠子数量*）；系数列表[级数[x^k*（1/k加@@（EulerPhi[#]（1-x^#）^（-（k/#））和/@除数[k]）+（1+x）/（1-x*2）^楼层[（k+2）/2,{x，0,50}]，x](*赫伯特·科西姆巴2016年11月4日*）

黄体脂酮素

（PARI）a（n）=圆形（（n^4-10*n^3+50*n^2-（110+30*（1-n%2））*n）/240+3/5）\\华盛顿Bomfim2008年7月17日

（岩浆）m:=50；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（1-x+2*x^3-x^5+x^6）/（（1-x）^2*（1-x^2）^2*1-x^5））//文森佐·利班迪2013年9月7日

交叉参考

第k列=第5列，共列A052307号.

囊性纤维变性。A005514号,A008805号,A032280号,A032281号,A032282号,2006年2月29日.

上下文中的序列：A350237型 A267151型 A209008型*A070558号 A233758型 A301653型

相邻序列：A032276号 A032277美元 A032278号*A032280号 A032281号 A032282号

关键词

非n,容易的,美好的

作者

克里斯蒂安·鲍尔,N.J.A.斯隆

状态

经核准的