A013610-OEIS公司

A013610号

（1+3*x）^n展开式中的系数三角形。

1, 1, 3, 1, 6, 9, 1, 9, 27, 27, 1, 12, 54, 108, 81, 1, 15, 90, 270, 405, 243, 1, 18, 135, 540, 1215, 1458, 729, 1, 21, 189, 945, 2835, 5103, 5103, 2187, 1, 24, 252, 1512, 5670, 13608, 20412, 17496, 6561, 1, 27, 324, 2268, 10206, 30618, 61236, 78732, 59049, 19683

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,3

T（n，k）是从（0,0）到（n，k）的晶格路径数，具有步骤（1,0）和三种步骤（1,1）。具有步骤（1,0）和s类步骤（1,1）的路径数对应于（1+s*x）^n的展开式-乔格·阿恩特2011年7月1日

第行，共行A027465号反转-迈克尔·索莫斯2002年2月14日

T（n，k）等于{0,1,2,3}上具有n-k个零的n-长度单词的数量-米兰Janjic2015年7月24日

T（n-1，k-1）是n的3个组成部分的数量，其中零具有k个正部分；参见Hopkins&Ouvry参考-布莱恩·霍普金斯2020年8月16日

链接

莱因哈德·祖姆凯勒（Reinhard Zumkeller），三角形n=0..125行，展平

J.Goldman和J.Haglund，广义rook多项式，J.Combin。理论A91（2000），509-530，带k车的3xn板（所有高度为3）上的1车系数

布莱恩·霍普金斯（Brian Hopkins）和斯特凡·欧夫里（Stéphane Ouvry），多成分组合学，arXiv:2008.04937[math.CO]，2020年。

配方奶粉

G.f.：1/（1-x*（1+3*y））。

行总和为4^n-乔格·阿恩特2011年7月1日

T（n，k）=3^k*C（n，k）=Sum_{i=n-k.n}C（i，n-k）*C（n，i）*2^（n-i）-米尔恰·梅卡2012年4月28日

发件人彼得·巴拉2014年12月22日：（开始）

Riordan阵列（1/（1-x），3*x/（1-x”））。

exp（3*x）*例如f.对于行n=例如f.对角线n。例如，对于n=3，我们有exp（3+x）*（1+9*x+27*x^2/2！+27*x^3/3！）=1+12*x+90*x^2！+540*x^3/3！+2835*x^4/4！+。。。。对于形式为（f（x），3*x/（1-x））的Riordan数组，同样的属性更为普遍。（结束）

T（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（n，k）*二项式（k，j）*4^j-科洛索夫石油公司2019年1月28日

例子

三角形开始

1, 3;

1, 6, 9;

1, 9, 27, 27;

1, 12, 54, 108, 81;

1, 15, 90, 270, 405, 243;

1, 18, 135, 540, 1215, 1458, 729;

1, 21, 189, 945, 2835, 5103, 5103, 2187;

MAPLE公司

T： =n->（p->seq（系数（p，x，k），k=0..n））（（1+3*x）^n）：

seq（T（n），n=0..10）#阿洛伊斯·海因茨2015年7月25日

数学

t[n_，k_]：=二项式[n，k]*3^（n-k）；表[t[n，n-k]，{n，0，9}，{k，0，n}]//压扁(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2013年3月5日*）

二项式ROW[n_，k_，t_]：=总和[二项式[n，k]*二项式[k，j]*（-1）^（k-j）*t^j，{j，0，k}]；列[表[二项式ROW[n，k，4]，{n，0，10}，{k，0，n}]，中心](*科洛索夫石油公司2019年1月28日*）

黄体脂酮素

（PARI）{T（n，k）=polceoff（（1+3*x）^n，k）}/*迈克尔·索莫斯2002年2月14日*/

（PARI）/*与中相同A092566号但使用*/

步骤=[1,0]，[1,1]，[1，1]，[1,1]，[1]，1]]；/*注释三[1，1]*/

/*乔格·阿恩特2011年7月1日*/

（哈斯克尔）

a013610 n k=a013610_tabl！！不！！k个

a013610_row n=a01361_tabl！！n个

a013610_tabl=迭代（\row->

zipWith（+）（map（*1）（row++[0]））（map（*3）（[0]++row））[1]

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年5月26日

（岩浆）[3^k*二项式（n，k）：k in[0..n]，n in[0..12]]//G.C.格鲁贝尔2021年5月19日

（Sage）平坦（[[3^k*二项式（n，k）for k in（0..n）]for n in（0..12）]）#G.C.格鲁贝尔，2021年5月19日

交叉参考

囊性纤维变性。A007318号,A013609号,A027465号等。

三角形的对角线：A000244号（k=n），A027471号（k=n-1），A027472号（k=n-2），A036216号（k=n-3），A036217号（k=n-4），A036219号（k=n-5），A036220型（k=n-6），A036221号（k=n-7），A036222号（k=n-8），A036223号（k=n-9），A172362号（k=n-10）。

上下文中的序列：A074475型 A144877号 A049410号*A008573号 A089710号 A065918号

相邻序列：A013607号 A013608号 A013609号*A013611号 2013年0月12日 A013613号

关键词

表,非n,容易的

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的