三角形数字

三角形数字是一个数字可以表示为第一行包含单个元素的三角形网格点的形式并且每个后续行比前一行多包含一个元素。这是如上图所示,, .... 三角形数字是因此1，,,, ..., 所以对于, 2, ..., 前几个是1、3、6、10、15、21。。。（组织环境信息系统A000217号).

更正式地说，三角数是通过将所有小于或等于给定正整数的正整数相加而得到的数即。，

哪里是一个二项式系数。因此在一组人（简单来说)由三角形数给出.

三角形数字因此是阶乘 .

上面显示了以二进制位序列表示的前几个三角形数的图。顶部显示到，底部显示接下来的510个值。

奇数三角形数由1、3、15、21、45、55……给出。。。（组织环境信息系统A014493级),而偶数三角形数是6、10、28、36、66、78。。。（组织环境信息系统A014494号).

给出了四倍体（其中也是保龄球引脚），同时给出了编号和排列中的球台球.三角形数满足递推关系

以及

此外，三角形数可以通过以下方式与正方形数相关联

（Conway和Guy，1996年），如上所示（Wells，1991年，第198页）。

三角数字有普通的生成功能

和指数生成函数

（斯隆和普劳夫，1995年，第9页）。

每隔一个三角形数是一个六边形数,具有

此外，每个五边形数是1/3三角形数的

连续三角数之和为广场数，自

有趣的三角形恒等式，广场,和立方数是

三角数也意外地出现在涉及绝对的价值 表单的

全部即使 完全数是三角形的具有首要的 此外，每个即使 完全数 是表单的

哪里是一个带有（伊顿1995年、1996年）。因此，嵌套表达式

为任何.一个整数 是一个三角形数字若（iff） 是一个平方数 .

数字1、36、1225、41616、1413721、48024900。。。（组织环境信息系统A001110号)是正方形三角形数，即数字同时是三角形和广场（皮埃滕波尔1962). 相应的平方根为1、6、35、204、1189、6930。。。（组织环境信息系统A001109号)，以及相应的三角形数是,8, 49, 288, 1681, ... （组织环境信息系统A001108号).

同时为三角形和四面体的满足二项式系数方程式

唯一的解决方案是

（盖伊1994年，第147页）。

下表给出了三角形数字有质数指标.

两个中最小的整数对于其中是三角形数的四倍1886年，塞萨罗（Le Lionnais，1983年，第56页）。唯一的斐波那契数字三角形的是1、3、21和55（明1989）佩尔数三角形是1（McDaniel 1996）。这个野兽编号666是三角形的，因为

事实上，它是最大的纯位数三角形数（Bellew和Weger，1975-76）。

的正因子都是这样的，属于都是这样的，以及都是这样的; 也就是说，它们以十进制数字1或9结尾。

费马多边形数定理声明每正整数是以下各项的总和在最三个三角形数字，四个广场数字，五个五角数、和 -多边形数.高斯证明了三角案例（Wells 1986，第47页），并在日记中记录了这一事件1796年7月10日

这种情况相当于每个数字表单的 是三的总和古怪的 正方形（杜克大学，1997年）。Dirichlet推导了整数 可以表示为三的总和三角形数字（杜克1997）。对于首要的 表单的 ，在这种情况下是平方数mod减去非平方模数在中间隔从1到（Deligne 1973，Duke 1997）。

唯一的三角形数字是产品连续三次整数是6、120、210、990、185136、，258474216（OEISA001219号; 盖伊1994，第148页）。