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伯努利数

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伯努利数B_n（B_n）是一系列有符号有理数，可以由指数的生成函数

x/（e^x-1）=sum_（n=0）^infty（B_nx^n）/（n！）。
(1)

这些数字出现在三角函数的级数展开中，并且是在以下方面极其重要数论和分析.

伯努利数实际上有两种定义。为了区分它们，现代用法中定义的伯努利数（美国国家标准协会和技术约定）B_n（B_n）而伯努利数在旧文献中遇到都是书面的B_n（B_n）^*（Gradshteyn和Ryzhik，2000年）。在每种情况下，伯努利数都是一种特殊情况的伯努利多项式 B_n（x）或B_n^*（x）具有B_n=B_n（0）和B_n^*=B_n^*（0）.

伯努利数和多项式不应与铃声号码和贝尔多项式，它们也是通常表示B_n（B_n）和B_n（x）,分别是。

表示由现代定义定义的伯努利数B_n（B_n）有时称为“even-index”伯努利数。这些是由沃尔夫拉姆语言功能伯努利B[n个].

伯努利数B_n（_n）可以由轮廓积分

B_n=（n！）/（2pii）¼z/（e^z-1）（dz）/（z^（n+1）），
(2)

轮廓包围原点的位置，半径小于2π（避免在+/-2个像素)，并以逆时针方向（Arfken1985年，第413页）。

前几个伯努利数B_n（B_n）是

B_0（B_0）=1
(3)
B_1=-1/2
(4)
B_2号=第1页，共6页
(5)
B_4号机组=-1/(30)
(6)
B_6号机组=1/(42)
(7)
B_8号=-1/(30)
（8）
B_（10）=5/(66)
(9)
B_（12）=-(691)/(2730)
(10)
B_（14）=7/6
(11)
B_（16）=-(3617)/(510)
(12)
B（18）=(43867)/(798)
(13)
B_（20）=-(174611)/(330)
(14)
B_（22）=(854513)/(138)
(15)

（组织环境信息系统A000367号和A002445号),具有

B_（2n+1）=0
（16）

对于n=1,2。。。。

伯努利数字位数

分子中的位数B_n（B_n）对于n=2, 4, ... 是1、1、1，1、3、1、4、5、6、6、9、7、11。。。（组织环境信息系统A068399号)，而位数在相应的分母中是1、2、2、3、3、4、1、3、5、，3, ... （组织环境信息系统A092904号). 两者均在上面绘制。

的分母B_（2n）由提供

denom（B_（2n））=产品，
(17)

产品被质料取代的地方第页（例如，格雷厄姆的6.54等。1994年），结果是与von Staudt-Clausen定理.

分子中的位数B_（10^n）对于n=0, 1, ... 是1、1、83、1779、27691、376772、4767554、57675292、，676752609, 7767525702, ... （组织环境信息系统A103233号),而分母中相应的位数为1、2、5、9、13，16, 24, ... （组织环境信息系统A114471号). 的值分母B_（10^n）对于n=0,1, ... 是66，33330，342999030，2338224387510，9355235774427510。。。（组织环境信息系统A139822号).

denom（B_n）=n1806年，但没有其他n个（Kellner，2005年）。

分母的运行最大值为1、6、30、42、66、2730、14322、1919190。。。（组织环境信息系统A100194号)，发生于n=2，4，6，8，12，14，32，38。。。（组织环境信息系统A100195号).

的分数B_n（B_n）带偶数n个分母为6的严格正数（Jensen 1915），结果类似其他分母（Erdős和Wagstaff 1980，Moreno和Wagsstaff 2005）。

有趣的是，伯努利分母等于6的比例高于任何其他值（Sunseri 1980），以及带有分母的偶数伯努利数的分数6接近1/6（Erdős和Wagstaff 1980）。S.Plouffe（公共通讯社，2月12日，2007）用分母6计算偶数伯努利数的分数B_（5285000）发现它是0.1526。。。但仍在缓慢下降。

伯努利分母直方图

小于或等于1，10，10^2, ... 分母6为0、1、10、87、834。。。（组织环境信息系统A114648号)，接近十进制展开式属于1/12=0.08333....以上内容直方图显示分母的分数为索引指定分母10^4.按频率顺序排列，前几个分母看起来是6、30、42、66、510。。。（组织环境信息系统A114649号).

唯一已知的伯努利数B_n（_n）质数分子出现在n=10、12、14、16、18、36和42（OEISA092132号),对应于5，-691,7,-3617,43867,-26315271553053477373,和1520097643918070802691（OEISA092133号),没有其他素数n≤101000（E.W.Weisstein，2007年2月27日）。Wagstaff维护了一页伯努利数分子的因式分解。

下表总结了n个第th伯努利数B_n（B_n），包括给出分子中的位数。

n个中的数字分子分母日期参考
20000081373414977732474858443510费和普劳夫
50000022332735847115911374938025102002普劳夫（2002）
1×10^647675549361232574111275778185102002年12月16日凯尔纳
2×10^61013714796014801830165249708840202249102月10日，2003凯尔纳
5×10^627332507936123257411275778185102005年10月8日O.帕夫利克（pers.comm.）
1×10^75767529296014801830165249708840202249102008年2月O.Pavlyk（2008）
1×10^86767526093948153327060465420496684288414970018702008年10月D.哈维（2008）

这个分母属于B_（2公里）（mod 1）由冯Staudt-Clausen定理，这也意味着分母属于B_（2公里）是无平方的（哈迪和赖特，1979年）。另一个好奇者属性是小数部分属于B_n（B_n）有一个十进制展开划分的时段n个,而在此之前只有一个数字（Conway 1996）。特别是期间压裂（B_n）对于n=2,4, ... 是1、1、6、1、2、6、一、16、18、2、22。。。（组织环境信息系统A112828号),和相应的值n/压裂（B_n）是2、4、1、8、5、2、14、1、1、10。。。（组织环境信息系统A112829号).

考虑生成函数

F（x，t）=sum_（n=0）^infty（B_n（x）t^n）/（n！），
(18)

其一致收敛于|t|<2pi以及所有x个（卡斯特拉诺斯，1988年）。求偏导数得到

（部分F（x，t））/（部分x）=sum_（n=0）^（infty）（B_（n-1）（x）t^n）/（n-1！）
(19)
=tsum_（n=0）^（infty）（B_n（x）t^n）/（n！）
(20)
=tF（x，t）。
(21)

这个微分方程的解可以用分离的变量作为

F（x，t）=t（t）e^（xt），
(22)

所以积分可以给出

整数_0^1F（x，t）dx=T（T）int_0^1e^（xt）dx
(23)
=T（T）（e^T-1）/T。
(24)

但整合(24)明确给出

整数_0^1F（x，t）dx=sum_（n=0）^（infty）（t^n）/（n！）int_0^1B_n（x）dx
(25)
=1+sum_（n=1）^（infty）（t^n）/（n！）int_0^1B_n（x）dx
(26)
=1,
(27)

所以

T（T）（e^T-1）/T=1。
(28)

解决T（吨）然后重新插入(◇) 然后给出

（te^（xt））/（e^t-1）=sum_（n=0）^infty（B_n（x）t^n）/（n！）
(29)

（卡斯特拉诺斯，1988年）。设置x=0并添加吨/2然后给双方

1/2tcoth（1/2t）=sum_（n=0）^infty（B_（2n）t^（2n。
(30)

出租t=2ix然后给出

xcotx=sum_（n=0）^infty（-1）^nB_（2n）（（2x）^（2n））/（2n！）
(31)

对于x in[-pi，pi].

伯努利数也可以根据

B_n=lim_（x->0）（d^n）/（dx^n）x/（e^x-1）。
(32)

伯努利数是由双和给出的

B_n=总和_（k=0）^n1/（k+1）总和_（r=0.）^k（-1）^r（k；r）r^n，
(33)

哪里（n；k）是一个二项式系数.他们也很满意总数

总和_（k=0）^（n-1）（n；k）B_k=0，
(34)

这可以解决B_（n-1）给出一个重现关系用于计算B_n（B_n）。通过添加B_n（_n）到的两侧(34)，它可以写简单地说

（B+1）^（[n]）=B^（[n]），
(35)

其中记数法 B^（[k]）是指将问题数量提高到适当的权力 k和所有条款形式的 亿替换为相应的伯努利数mm（_m）.

以及有趣的总和

总和_（k=0）^（n）（6n+3；6k）B_（6k）=2n+1
(36)
总和_（k=0）^（n）（6n+5；6k+2）B_（6k+2）=1/3（6n+5）
(37)
求和_（k=1）^（n）（6n+1；6k-2）B_（6k-2）=-1/6（6n+1）
(38)

（莱默1935年，卡利茨1968年，什托夫卡2014年），以及尼斯和身份

求和（i=0）^n（（1-2^（1-i））！i！）=（1-n）B_n）/（n！）
(39)

（高斯珀）。

安渐近级数对于均匀的伯努利数字是

B_（2n）～（-1）^（n-1）4sqrt（pin）（n/（pie））^。
(40)

伯努利数出现在表达式中形式的 sum_（k=1）^（n）k^p，其中p=1，2。。。。伯努利数也出现在级数展开中涉及的函数黑褐色,胶辊,cscx公司,ln|sinx公司|,ln|cosx公司|,黑褐色|,棕褐色,科思（cothx）、和cschx公司.

存在的分析解决方案即使订单，

B_（2n）=（（-1）^（n-1）2（2n）！）/（2pi）^（2n））sum_（p=1）^（infty）p^（-2n）
(41)
=（（-1）^（n-1）2（2n）！）/（2pi）^（2n））zeta（2n
（42）

对于n=1,2, ..., 哪里泽塔（2n）是黎曼-泽塔函数.又一次亲密接触与的连接黎曼-泽塔函数由身份提供

B_n=（-1）^（n+1）nzeta（1-n）。
(43)

一个积分欧拉多项式由提供

B_n=（n（n-1））/（4（2^n-1），
(44)

哪里E_n（x）是一个欧拉多项式（J.Crepps，个人。comm.，2002年4月）。

伯努利首先在计算时使用伯努利数sum_（k=1）^（n）k^p他使用了塑造形象数字三角形那个

总和（i=0）^na（ij）=（（n+1）a（nj））/（j+1），
(45)

以及的表单a（nj）他通过归纳得出，计算出n=10（博伊尔1968年，第85页）。对于Z中的p>0，总和为

sum_（k=1）^nk^p=（（B+n+1）^（[p+1]）-B^（[p+1]））/（p+1），
(46)

又在哪里记数法 B^（[k]）是指将问题数量提高到适当的权力 k和所有条款形式的 B^米替换为相应的伯努利数mm（_m）.请注意，简单地写是很常见的（例如Carlitz 1965）（B+a）^n了解到扩张后，B^k公司被替换为_k（_k）.

用总和明确写成权力,

sum_（k=1）^（n）k^p=n^p+1/（p+1）和_（k=0）^（p）（p+1；k）B_kn^（p-k+1）
(47)
=1/（p+1）和_（k=1）^（p+1）（p+1；k）（-1）^
(48)
=sum_（k=1）^（p+1）b_（pk）n^k，
(49)

哪里

b（pk）=（（-1）^（p-k+1）b_（p-k/1））/（p+1）（p+1；k）。
(50)

拿n=1给出了伯努利的观察结果系数条款的b（pk）总和为1，

总和（k=1）^（p+1）b_（pk）=1。
(51)

Ramanujan给出了许多涉及伯努利数的奇异无穷和恒等式（Berndt 1994）。

伯努利数普劳菲不等式

Plouffe（pers.comm.，2004年6月21日）推测分数部分形式的正伯努利数B_（4n+2）满足任一条件压裂（B_（4n+2））<1/6或压裂（B_（4n+2））>2/3然而，有许多反例，前几次发生在n=2072070（普劳夫也于2004年6月21日发现），6216210，8128890, 10360350, 13548150, ... （组织环境信息系统A155125型).有趣的是，所有这些数字都有大量因素素数分解，如下表所示。这些指标递增最小值为的数字压裂（B_n）由2072070、6216210、10360350、18648630给出，31081050, 35225190, 93243150, ... （组织环境信息系统A155126号),这似乎倾向于出现在原始列表中的位置，这些位置是2 (1, 2, 4, 8, 16, 18, 64, ...).

n个因子分解n个压裂（B_n）
20720702·3^2·5·7·11·13·230.6664435068
62162102^1·3^3·5^1·7^1·11^1·13^1·23^10.6588649656
81288902^1·3^3·5^1·7^1·11^1·17^1·23^10.6648723198
103603502^1·3^2·5^2·7^1·11^1·13^1·23^10.6564013890

伯努利数的旧定义不再广泛使用，它定义了B_n（B_n）^*使用方程式

x/（e^x-1）+x/2-1=sum_（n=1）^（infty）（（-1）^（n-1）B_n^*x^（2n））/（2n！）
(52)
=（B_1^**x^2）/（2！）-（B_2^*x^4）/（4！）+（B_3^*x^6）/（6！）+。。。
(53)

或

1-x/2杯（x/2）=sum_（n=1）^（infty）（B_n^*x^（2n））/（2n！）
(54)
=（B_1^*x^2）/（2！）+（B_2^*x^4）/（4！）+。。。
(55)

对于|x |小于2π（Whittaker和Watson，1990年，第125页）。这个B_n（B_n）^*伯努利数可以从积分中计算出来

B_n^*=4nint_0^infty（t^（2n-1）dt）/（e^（2坑）-1），
(56)

并从中进行分析

B_n^*=（2（2n）！）/（2pi）^（2n））sum_（p=1）^inftyp^（-2n）=（2（2n！）/（2pi）^（2n））zeta（2n
(57)

对于n=1,2。。。，哪里ζ（z）是黎曼-泽塔函数.

伯努利数B_n（B_n）是古代的超集B_n（B_n）^*自从

B_n={1表示n=0；-1/2表示n=1；（-1）^（（n/2）-1）B_（n/2”^*表示n偶数；0表示n奇数。
(58)

前几个伯努利数B_n（B_n）^*是

B_1^*=第1页，共6页
(59)
B_2号^*=1/(30)
(60)
B_3号^*=1/(42)
（61）
B_4号机组^*=1/(30)
(62)
B_5号机组^*=5/(66)
(63)
B_6号机组^*=(691)/(2730)
（64）
B_7^*=7/6
(65)
B_8号^*=(3617)/(510)
(66)
B_9号^*=(43867)/(798)
(67)
B_（10）^*=（174611）/（330）
(68)
B_（11）^*=(854513)/(138).
(69)

另请参见

阿戈猜想,第二类伯努利数,伯努利多项式,德拜函数,欧拉-马克拉林积分公式,欧拉数,Figurate公司数字三角形,Genocchi编号,整数序列素数,不规则素数,被改进的伯努利数,黎曼-泽塔函数,von Staudt-Clausen定理 在数学世界课堂上探索这个主题

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参考Wolfram | Alpha

伯努利数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“伯努利数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/伯努利数字.html

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