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变量的分离

分离变量是求解常微分方程和偏微分方程的一种方法。

对于常微分方程

（dy）/（dx）=g（x）f（y），
（1）

哪里f（y）是在初始值的邻域中非零，则隐式给出解通过

int（dy）/（f（y））=整数（x）dx。
（2）

如果积分可以以闭合形式进行，并且所得方程可以求解年（这是两个相当大的“如果”），那么问题的完整解决方案已获得。应用此技术的最重要方程式是y^'=是,的方程式指数增长和衰退（斯图尔特2001）。

对于偏微分方程在函数中功率因数（x，y，…）和变量x个,年,…，可以通过进行替换来分离变量属于表格

Phi（x，y，…）=x（x）y（y）。。。，
(3)

将得到的方程分解为一组独立的常微分方程，求解这些方程X（X）,Y（Y）, ..., 然后将它们插入原始方程。

这种技术之所以有效，是因为如果自变量函数的乘积是常数，那么每个函数都必须是常数。成功需要选择一个合适的坐标系，根据方程式。1750年，L'Hospital首次使用变量分离。它是特别适用于求解数学物理中出现的方程，例如拉普拉斯方程，的亥姆霍兹微分方程和薛定谔方程。

另请参阅

亥姆霍兹微分方程,拉普拉斯方程,部分微分方程,Stäckel行列式 探索这个数学世界课堂上的主题

本条目的部分内容由约翰伦泽

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Arfken，G.《变量分离》和《变量分离——常微分方程》中的§2.6和§8.3数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第111-117页和448-4511985年。H.贝特曼。部分数学物理微分方程。纽约：多佛，1944年。布朗，J·W·。和R.V.丘吉尔。傅里叶级数和边值问题，第5版。纽约：McGraw-Hill，1993年。再见，西弗吉尼亚州。安傅里叶级数、球面、圆柱和椭球面初论谐波，及其在数学物理问题中的应用。纽约：多佛，1959年。库兰特，R.和希尔伯特，D。方法《数学物理》第1卷。纽约：威利出版社，1989年。库兰特，R.和Hilbert，D。方法《数学物理》第2卷。纽约：威利出版社，1989年。艾森哈特，L.P.公司。“欧几里德3空间中的可分离系统。”物理审查 45,427-428, 1934.艾森哈特，L.P。“Stäckel的可分离系统。”安。数学。 35, 284-305, 1934.艾森哈特，L.P。“潜力其中Schroedinger方程是可分离的。"物理。版次。 74,87-89, 1948.Frank，P.和Mises，R.冯。模具微分与积分力学与物理学，第8版，原数学泰尔。德国布伦瑞克：Vieweg，1930年。Frank、P.和Mises，R.冯。模具微分与积分力学与物理学，第8版，zweiter physicalischer泰尔。德国布伦瑞克：Vieweg，1930年。希尔德布兰德，F.B。高级工程师微积分。新泽西州恩格尔伍德克利夫斯：普伦蒂斯·霍尔，1949年。杰弗里斯，S.H.公司。和杰弗里斯，B.S。方法数学物理第三版。英国剑桥：剑桥大学出版社，1988年。O.D.凯洛格。基础势能理论。纽约：多佛，1953年。Lense，J。雷亨·威克伦根（Reihenentwicklungen）在物理数学中。柏林：德格鲁伊特，1933年。麦克斯韦，J.C.公司。A类《电磁学专论》，第一卷，第三版。新建约克：多佛，1954年。J.C.麦克斯韦。A类《电磁学论文》，第2卷，未删节的第3版。新建约克：多佛，1954年。小米勒。对称性和变量分离。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1977年。月亮，P.和Spencer，D.E。“拉普拉斯和亥姆霍兹的可分性条件方程。"J.富兰克林研究所。 253, 585-600, 1952.月亮，P.和Spencer，D.E。“黎曼可分性定理n个-空间."程序。阿默尔。数学。索克。 三,635-642, 1952.Moon，P.和Spencer，D.E。“最近的调查拉普拉斯方程的分离。"程序。阿默尔。数学。索克。 4,302-307, 1953.Moon，P.和Spencer，D.E。“可分性一类坐标系。"J.富兰克林研究所。 254, 227-242,1952Moon，P.和Spencer，D.E。字段工程师理论。新泽西州普林斯顿：Van Nostrand，1961年。月亮，P.和Spencer，D.E。《十一坐标系》§1字段理论手册，包括坐标系、微分方程及其解决方案，第2版。纽约：Springer-Verlag，第1-48页，1988年。莫尔斯，下午。和Feshbach，H.“可分离坐标”和“表三维可分离坐标。“§5.1方法理论物理第一部分。纽约：McGraw-Hill，第464-523页和655-666, 1953.F.D.穆尔纳根。介绍应用数学。纽约：威利出版社，1948年。斯迈思，W.R。静态和《动态电力》，第三版，修订版。纽约：半球，1989年。索末菲，答：。部分物理学中的微分方程。纽约：学术出版社，1964年。斯图尔特，J。微积分：概念和背景，第二版。布鲁克斯/科尔，2001年。E.韦伯。电磁领域：理论与应用。纽约：威利出版社，1950年。韦伯斯特，A.G.公司。部分数学物理微分方程，第二修正版。纽约：多佛，1955

参考Wolfram | Alpha

变量的分离

引用如下：

约翰·伦泽和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“变量分离”数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SeparationofVariables.html

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