A290596-OEIS公司

A290596型

按行读取三角形。无符号Lah数的推广，称为L[3,1]。

1, 2, 1, 10, 10, 1, 80, 120, 24, 1, 880, 1760, 528, 44, 1, 12320, 30800, 12320, 1540, 70, 1, 209440, 628320, 314160, 52360, 3570, 102, 1, 4188800, 14660800, 8796480, 1832600, 166600, 7140, 140, 1, 96342400, 385369600, 269758720, 67439680, 7663600, 437920, 12880, 184, 1, 2504902400, 11272060800, 9017648640, 2630147520, 358656480, 25618320, 1004640, 21528, 234, 1, 72642169600, 363210848000, 326889763200, 108963254400, 17335063200, 1485862560, 72836400, 2081040, 33930, 290, 1 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	偏移	`0,2`
	评论	`关于一般L[d，a]三角形，请参见A286724型，也供参考。` `这是广义无符号Lah数三角形L[3,1]，Sheffer三角形（（1-3t）^（-2/3），t/（1-3t））。它被定义为转移矩阵` `risefac[3,1]（x，n）=和{m=0..n}L[3,1]（n，m）fallfac[3,1]（x，m），其中risefac[3]（x，n）：=产品{0..n-1}3,1]（x，0）：=1。` `在矩阵表示法中：L[3,1]=S1phat[3,1]S2hat[3,1]，带有无符号标度Stirling1和标度Stiling2推广A286718型和A111577号（但此处偏移量为0）。` `该Sheffer矩阵的a序列和z序列分别具有f.s Ea（t）=1+3t和（Ez（t）=（1+3t）（1-（1+3t）^（-2/3））/t。也就是说，a={1,3，repeat（0）}和z（n）=A290597型（n）/A038500型（n+1）。有关证据，请参阅第二个W.Lang链接。另请参阅下面的W.Lang链接A006232号Sheffer a序列和z序列的参考（在Riordan情况下）。` `逆矩阵T^（-1）=L^（-1-）[3,1]是Sheffer（（1+3T）^（-2/3），T/（1+3T））。这意味着T^（-1）（n，m）=（-1）^（n-m）T（n，m）。` `fallffac[3,1]（x，n）=Sum_{m=0..n}（-1）^（n-m）T（n，m）*risefac[3,1]（x，m），n>=0。`
	参考文献	`史蒂文·罗曼（Steven Roman），《脑微积分》（The Umbral Calculus），学术出版社，伦敦奥兰多，1984年，第50页。`
	链接	`n，a（n）的表，n=0..65。` `沃尔夫迪特·朗，关于算术级数的幂和以及广义Stirling、Eulerian和Bernoulli数，arXiv:math/1707.04451[math.NT]，2017年7月。` `沃尔夫迪特·朗，关于某些广义Lah数的Sheffer数三角形的a-序列和z序列的注记。`
	配方奶粉	`T（n，m）=L[3,1]（n，m）=和{k=m.n}A286718型（n，k）A111577号（k+1，m+1），0≤m≤n。` `行多项式R（n，x）的示例：=和{m=0..n}T（n，m）x^m：` `（1-3t）^（-2/3）exp（xt/（1-3t））（这是三角形的示例f）。` `m列的示例：（1-3t）^（-2/3）（t/（1-3t））^m/m！，m>=0。` `对于列条目m>=1:T（n，m）=（n/m）T（n-1，m-1）+3nT（n-1，m），T（n、m）=0表示n<m，对于列m=0:T（n）=nSum_{j=0}^（n-1）z（j）T。` `四项递推：T（n，m）=T（n-1，m-1）+2（3n-2）T（n-1,m）-3（n-1）（3n-4）T。` `（一元）行多项式的Meixner型恒等式：（D_x/（1+3D_x））R（n，x）=nR（n-1，x），n>=1，其中R（0，x）=1，D_x=D/dx。也就是说，和{k=0..n-1}（-3）^k（D_x）^（k+1）R（n，x）=nR（n-1，x），n>=1。` `Sheffer行多项式的一般重现性（见罗马参考文献，第50页，推论3.7.2，改写为当前Shefffer符号）：` `R（n，x）=[（2+x）1+6（1+x）D_x+3^2x（D_x）^2]R（n-1，x），n>=1，其中R（0，x）=1。` `m列的Boas-Buck重现性（见A286724型带参考）：T（n，m）=（n！/（n-m））（2+3m）和{p=0...n-1-m}3^p*T（n-1-p，m）/（n-1-p）！，对于n>m>=0，输入T（m，m）=1。`
	例子	`三角形T（n，m）开始于：` `n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8。。。` `0:1` `1: 2 1` `2: 10 10 1` `3: 80 120 24 1` `4: 880 1760 528 44 1` `5: 12320 30800 12320 1540 70 1` `6: 209440 628320 314160 52360 3570 102 1` `7: 4188800 14660800 8796480 1832600 166600 7140 140 1` `8: 96342400 385369600 269758720 67439680 7663600 437920 12880 184 1` `...` `n=9:2504902400 11272060800 9017648640 2630147520 358656480 25618320 1004640 21528 234 1，` `电话：72642169600 363210848000 326889763200 108963254400 17335063200 1485862560 72836400 2081040 33930 290 1。` `...` `a序列的复发：T（4，2）=2T（3，1）+34T（3，2）=2120+1224=528。` `z序列的递归：T（4,0）=4（z（0）T（3,0）+z（1）T。` `四项复发：T（4,2）=T（3,1）+210T（3,2）-338T（2,2）=120+2024-721=528。` `n=2的梅克斯纳类型恒等式：（D_x-3（D_x）^2）（10+10x+x^2）=（10+2x）-32=2（2+x）。` `R（3，x）的Sheffer递归：[（2+x）+6（1+x）D_x+9x（D_x）^2]。` `列m=2且n=4:T（4，2）=（4！8/2）（124/3！+3*1/2！）=528的Boas-Buck递推。`
	交叉参考	`囊性纤维变性。A008544号（列m=0），A038500型,A111577号,A271703型L[1,0]，A286718型,A286724型L[2,1]，A290597型,A290598型L[3,2]。` `上下文中的序列：A279007型 A163914号 1967年A151504号 A151507号 A151363号` `相邻序列：A290593型 A290594型 A290595型209597元 209598元 A290599型`
	关键词	`非n,容易的,表`
	作者	`沃尔夫迪特·朗，2017年9月13日`
	状态	`经核准的`