%I#48 2024年3月14日15:31:38

%S 1,1,2,1,8,4,1,26,36,8,1,80232128,16,124213201360400,32,1728，

%电话70841216063201152,64,121863687699228881200253123136128,1，

%电话：65601887527686892937644083291392819225611968295688057880

%N三角形T（N，m）按行读取：让p（N，x）=exp（-x）*Sum_{m>=0}（2*m+1）^N*x^m/m！；则T（n，m）=[x^m]p（n，x）。

%C行总和为A126390。

%C这些数字与第二类斯特林数有关，因为MacMahon数A060187与欧拉数有关。

%C设p和q表示作用于函数f（x）的算子，由pf（x）=x*f（x。设A是反交换算子qp+pq。那么A^n=Sum_{k=0..n}T（n，k）p^kq^k。例如，A^3（f）=f+26*x*df/dx+36*x^2*d^2（f）/dx^2+8*x^3*d^3（f/dx^3。-_Peter Bala，2014年7月24日

%C来自_Peter Bala_，2023年5月21日：（开始）

%比较多项式p（n，x）的定义和Dobiñski的Bell多项式公式（n>=1时A008277的行多项式）：Bell（n，x）=exp（-x）*Sum_{m>=0}m^n*x^m/m！。

%C Boyadzhiev证明了Bell（n，x）=d/dx（exp（-x）*Sum_{m>=0}（1^n+2^n+…+（m-1）^n）*x^m/m！）。该表的相应结果是，第n行多项式p（n，x）=d/dx（exp（-x）*Sum_{m>=0}（1^n+3^n+…+（2*m-1）^n）*x^m/m！）。（结束）

%H Khristo N.Boyadzhiev，<a href=“https://arxiv.org/abs/2011.03101“>与Stirling、超调和和错位数、Bernoulli和Euler多项式、幂和阶乘的新恒等式</a>，arXiv:2011.03101v3[math.NT]，2020-2021。

%H PawełHitczenko，<a href=“https://arxiv.org/abs/2403.03422“>导致（n/log n，n/log^2 n）-渐近正态性的一类多项式递归，arXiv:2403.03422[math.CO]，2024。见第9页。

%H Wolfdieter Lang，<a href=“https://arxiv.org/abs/1708.01421“>关于Sheffer和Riordan数字三角形对角线序列的生成函数，arXiv:1708.01421[math.NT]，2017年8月。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“https://mathworld.wolfram.com/DobinskisFormula.html“>多宾斯基公式</a>

%F From _Peter Bala，2011年10月28日：（开始）

%F T（n，k）=1/k*和{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（k，j）*（2*j+1）^n。

%F递归关系：T（n，k）=2*T（n-1，k-1）+（2*k+1）*T（n-1，k）。

%F T（n，k）=（2^k）*A039755（n，k）。

%例如：exp（x+y*（exp（2*x）-1））=1+（1+2*y）*x+（1+8*y+4*y^2）*x^2/2！+。。。。（结束）

%F T（n，k）=和{m=0..n}二项式（n，m）*2^m*斯特林2（m，k），0<=k<=n，其中斯特林2为A048993_Wolfdieter Lang，2017年4月13日

%F列序列m:T（n，k）=（1/（n-k））*[n*（1+m）*T（n-1，k）+k*Sum_{p=m..n-2}二项式（n，p）（-2）^（n-p）*Bernoulli（n-p_Wolfdieter Lang，2017年8月11日

%e{1}，

%e{1,2}，

%e{1,8,4}，

%e{1，26，36，8}，

%e{1，80，232，128，16}，

%e{1、242、1320、1360、400、32}，

%e{17287084121606320115264}，

%电子邮箱{1，2186，36876，99288，81200，25312，3136，128}，

%电子邮箱{16560、188752、768768、929376、440832、91392、8192、256}，

%电子邮箱{11968295688057588099019207904206976030566420736512}，

%电子邮箱{1，59048，4823764，42225920，100635040，93590784，40322688，8724480，963840，51200，1024}

%e。。。

%e列m=2和n=4:T（4,2）=（1/2）*[4*3*T（3，2）+2*6*（-2）^2*Bernoulli（2）*T（2,2））]=（1/2_Wolfdieter Lang_，2017年8月11日

%tp[x_，n_]=和[（2*m+1）^n*x^m/m！，{m，0，无穷}]/（Exp[x]）；

%t表[FullSimplify[ExpandAll[p[x，n]]]，{n，0，10}]

%t表[系数列表[FullSimplify[ExpandAll[p[x，n]]，x]，{n，0，10}]；

%t压扁[%]

%Y参见A008277、A000110、A039755、A048993、A060187。

%K nonn，简单，tabl

%0、3

%A _Roger L.Bagula，2009年1月11日

%E编辑：N.J.A.Sloane，2009年1月12日