登录
A141811号
部分加泰罗尼亚数字:行n=1、2、3读取的三角形。..和列k=0,1。..,n-1。
1
1, 3, 1, 10, 3, 2, 35, 10, 6, 5, 126, 35, 20, 15, 14, 462, 126, 70, 50, 42, 42, 1716, 462, 252, 175, 140, 126, 132, 6435, 1716, 924, 630, 490, 420, 396, 429, 24310, 6435, 3432, 2310, 1764, 1470, 1320, 1287, 1430, 92378, 24310, 12870, 8580, 6468, 5292, 4620, 4290, 4290, 4862
抵消
1,2
评论
从所有可能的长度为2n的序列集合中,由n个X和n个Y在位置1到2n中的任意排列组成,上述三角形中的每个条目R(n,k)在此定义为部分加泰罗尼亚数,即:,其中位置2k+1是第一个位置的序列数,其中从左到右的Y的累积数超过从左到右侧的X的累积数。此事件将被称为违约。
破解只能发生在奇数位置1、3、5。..,2n-1。
未发生违约的概率为:C(n)/(2n)!/(n!*n!)=1/(n+1)。
违约发生的概率为:n/(n+1)。
位置2k+1处发生破裂的概率为:R(n,k)/[(2n)!/(n!*n!)]。
链接
迈克尔·德弗利格,n=1..11325时的n,a(n)表(第1行<=第n行<=第150行,扁平化)。
塞尔吉奥·卡拉乔洛、马特奥·P·D·阿切尔、维托里奥·埃尔巴、安德烈亚·斯波提略、,凹型一维随机分配模型中的Dyck界,arXiv:1904.10867[合同编号],2019年。
配方奶粉
如果k>0,则前2k个位置由k X和k Y的子序列组成。如果累积的Y多于X,则已经发生了突破。如果累积的X大于Y,则位置2k+1再加一个Y不会导致违约。此外,k个X和k个Y的排列方式必须确保在前2k个位置中没有一点Y的累积数量超过X的数量。因此,此类子序列的数量是加泰罗尼亚数字C(k)。
从位置2k+1开始,剩下2n-2k个位置,其中一半由X占据,另一半由Y占据。这些X和Y的可能排列数是二项式系数(2n-2k,n-k)。其中一半的安排将在2k+1位置有一个Y,从而导致违约。因此,将导致在位置2k+1处发生破裂的序列数为R(n,k)=C(k)*V(n-k),其中C(0)=1,并且其中C(1)、C(2)和C(3)等是加泰罗尼亚数字,其中V(i)=二项式系数(2i,i)/2。
总和[R(n,k)for k=0 to n-1]是将发生中断的序列数。序列的可能总数是二进制系数(2n,n)。因此,从C(0)=1的任意定义开始,可以在导出部分加泰罗尼亚数时以递归方式计算加泰罗尼亚数。对于给定的n值,算法为:
R(n,0)=C(0)*V(n)
R(n,1)=C(1)*V(n-1)
R(n,2)=C(2)*V(n-2)
...
R(n,n-1)=C(n-1)*V(1)
C(n)=二项式系数(2n,n)-总和[R(n,k)for k=0 to n-1]
该算法允许导出每一连续行的部分加泰罗尼亚数字,并提供下一行所需的下一个加泰罗尼亚语数字。
T(n,k)=(n-k+1)*加泰罗尼亚语(k)*加泰罗兰语(n-k)/2。 -G.C.格鲁贝尔,2019年6月6日
例子
三角形开头为:
1;
3, 1;
10, 3, 2;
35, 10, 6, 5;
126, 35, 20, 15, 14;
462, 126, 70, 50, 42, 42;
1716, 462, 252, 175, 140, 126, 132;
6435, 1716, 924, 630, 490, 420, 396, 429;
24310, 6435, 3432, 2310, 1764, 1470, 1320, 1287, 1430;
92378, 24310, 12870, 8580, 6468, 5292, 4620, 4290, 4290, 4862;
...
C(0)=1
R(1,0)=C(0)*V(1)=1
C(1)=(2!)/(1!*1!)-R(1,0)=2-1=1
R(2,0)=C(0)*V(2)=3
R(2,1)=C(1)*V(1)=1
C(2)=(4!)/(2!*2!)-[R(2,0)+R(2,1)]=6-[4]=2
R(3,0)=C(0)*V(3)=10
R(3,1)=C(1)*V(2)=3
R(3,2)=C(2)*V(1)=2
C(3)=(6!)/(3!*3!)-[R(3,0)+R(3,1)+R
数学
nmax=9;r[n_,k_]:=加泰罗尼亚数字[k]*二项式[2*(n-k),n-k]/2;扁平[表[r[n,k],{n,1,nmax},{k,0,n-1}]](*Jean-François Alcover公司2011年9月27日*)
黄体脂酮素
“(BASIC)”提供部分加泰罗尼亚语数字R(n,k)和加泰罗尼亚语数字C(n),用于n=1到10和k=0到n-1。
设C(0)=1
对于i=1到10
设V(i)=(2i)!/(i!*i!)
接下来i
让总数=0
n=1到10
对于k=0到n-1
设R(n,k)=C(k)*V(n-k)
设总计=总计+R(n,k)
下一个k
设C(n)=(2n)!/(n!*n!)-总计
下一个n
(PARI)
加泰罗尼亚语(n)=二项式(2*n,n)/(n+1);
T(n,k)=(n-k+1)*catalan(k)*catalian(n-k)/2;
对于(n=1,10,对于(k=0,n-1,打印1(T(n,k),“,”))\\G.C.格鲁贝尔,2019年6月6日
(岩浆)[[(n-k+1)*Catalan(k)*Catalian(n-k)/2:k in[0..n-1]]:n in[1..10]]; //G.C.格鲁贝尔,2019年6月6日
(鼠尾草)[[(n-k+1)*catalan_number(k)*catalian_nummer(n-k)/2代表k in(0..n-1)]代表n in(1..10)]#G.C.格鲁贝尔,2019年6月6日
(GAP)平面(列表([1..10],n->列表([0..n-1],k->二项式(2*k,k)*二项式[2*(n-k),n-k)/(2*(k+1))); #G.C.格鲁贝尔,2019年6月6日
关键词
非n,
作者
扩展
a(27)=126由修正Jean-François Alcover公司2011年9月27日
状态
经核准的