A141811-OEIS公司

A141811号

部分加泰罗尼亚数字：行n=1、2、3读取的三角形。..和列k=0，1。..，n-1。

1, 3, 1, 10, 3, 2, 35, 10, 6, 5, 126, 35, 20, 15, 14, 462, 126, 70, 50, 42, 42, 1716, 462, 252, 175, 140, 126, 132, 6435, 1716, 924, 630, 490, 420, 396, 429, 24310, 6435, 3432, 2310, 1764, 1470, 1320, 1287, 1430, 92378, 24310, 12870, 8580, 6468, 5292, 4620, 4290, 4290, 4862

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

从所有可能的长度为2n的序列集合中，由n个X和n个Y在位置1到2n中的任意排列组成，上述三角形中的每个条目R（n，k）在此定义为部分加泰罗尼亚数，即：，其中位置2k+1是第一个位置的序列数，其中从左到右的Y的累积数超过从左到右侧的X的累积数。此事件将被称为违约。

破解只能发生在奇数位置1、3、5。..，2n-1。

未发生违约的概率为：C（n）/（2n）！/（n！*n！）=1/（n+1）。

违约发生的概率为：n/（n+1）。

位置2k+1处发生破裂的概率为：R（n，k）/[（2n）！/（n！*n！）]。

链接

迈克尔·德弗利格，n=1..11325时的n，a（n）表（第1行<=第n行<=第150行，扁平化）。

塞尔吉奥·卡拉乔洛、马特奥·P·D·阿切尔、维托里奥·埃尔巴、安德烈亚·斯波提略、，凹型一维随机分配模型中的Dyck界，arXiv:1904.10867[合同编号]，2019年。

配方奶粉

如果k>0，则前2k个位置由k X和k Y的子序列组成。如果累积的Y多于X，则已经发生了突破。如果累积的X大于Y，则位置2k+1再加一个Y不会导致违约。此外，k个X和k个Y的排列方式必须确保在前2k个位置中没有一点Y的累积数量超过X的数量。因此，此类子序列的数量是加泰罗尼亚数字C（k）。

从位置2k+1开始，剩下2n-2k个位置，其中一半由X占据，另一半由Y占据。这些X和Y的可能排列数是二项式系数（2n-2k，n-k）。其中一半的安排将在2k+1位置有一个Y，从而导致违约。因此，将导致在位置2k+1处发生破裂的序列数为R（n，k）=C（k）*V（n-k），其中C（0）=1，并且其中C（1）、C（2）和C（3）等是加泰罗尼亚数字，其中V（i）=二项式系数（2i，i）/2。

总和[R（n，k）for k=0 to n-1]是将发生中断的序列数。序列的可能总数是二进制系数（2n，n）。因此，从C（0）=1的任意定义开始，可以在导出部分加泰罗尼亚数时以递归方式计算加泰罗尼亚数。对于给定的n值，算法为：

R（n，0）=C（0）*V（n）

R（n，1）=C（1）*V（n-1）

R（n，2）=C（2）*V（n-2）

...

R（n，n-1）=C（n-1）*V（1）

C（n）=二项式系数（2n，n）-总和[R（n，k）for k=0 to n-1]

该算法允许导出每一连续行的部分加泰罗尼亚数字，并提供下一行所需的下一个加泰罗尼亚语数字。

T（n，k）=（n-k+1）*加泰罗尼亚语（k）*加泰罗兰语（n-k）/2。 -G.C.格鲁贝尔，2019年6月6日

例子

三角形开头为：

3, 1;

10, 3, 2;

35, 10, 6, 5;

126, 35, 20, 15, 14;

462, 126, 70, 50, 42, 42;

1716, 462, 252, 175, 140, 126, 132;

6435, 1716, 924, 630, 490, 420, 396, 429;

24310, 6435, 3432, 2310, 1764, 1470, 1320, 1287, 1430;

92378, 24310, 12870, 8580, 6468, 5292, 4620, 4290, 4290, 4862;

...

C（0）=1

R（1,0）=C（0）*V（1）=1

C（1）=（2！）/（1！*1！）-R（1，0）=2-1=1

R（2,0）=C（0）*V（2）=3

R（2，1）=C（1）*V（1）=1

C（2）=（4！）/（2！*2！）-[R（2,0）+R（2,1）]=6-[4]=2

R（3，0）=C（0）*V（3）=10

R（3，1）=C（1）*V（2）=3

R（3，2）=C（2）*V（1）=2

C（3）=（6！）/（3！*3！）-[R（3,0）+R（3,1）+R

数学

nmax=9；r[n_，k_]：=加泰罗尼亚数字[k]*二项式[2*（n-k），n-k]/2；扁平[表[r[n，k]，{n，1，nmax}，{k，0，n-1}]](*Jean-François Alcover公司2011年9月27日*）

黄体脂酮素

“（BASIC）”提供部分加泰罗尼亚语数字R（n，k）和加泰罗尼亚语数字C（n），用于n=1到10和k=0到n-1。

设C（0）=1

对于i=1到10

设V（i）=（2i）！/（i！*i！）

接下来i

让总数=0

n=1到10

对于k=0到n-1

设R（n，k）=C（k）*V（n-k）

设总计=总计+R（n，k）

下一个k

设C（n）=（2n）！/（n！*n！）-总计

下一个n

（PARI）

加泰罗尼亚语（n）=二项式（2*n，n）/（n+1）；

T（n，k）=（n-k+1）*catalan（k）*catalian（n-k）/2；

对于（n=1,10，对于（k=0，n-1，打印1（T（n，k），“，”））\\G.C.格鲁贝尔，2019年6月6日

（岩浆）[[（n-k+1）*Catalan（k）*Catalian（n-k）/2:k in[0..n-1]]：n in[1..10]]； //G.C.格鲁贝尔，2019年6月6日

（鼠尾草）[[（n-k+1）*catalan_number（k）*catalian_nummer（n-k）/2代表k in（0..n-1）]代表n in（1..10）]#G.C.格鲁贝尔，2019年6月6日

（GAP）平面（列表（[1..10]，n->列表（[0..n-1]，k->二项式（2*k，k）*二项式[2*（n-k），n-k）/（2*（k+1）））； #G.C.格鲁贝尔，2019年6月6日

交叉参考

囊性纤维变性。A000108号,A014138级,A009766号,A033184号.

上下文中的序列：A126953号 A134284号 A134285号*A291538型 A280787型 A126954号

相邻序列：A141808号 A141809号 A141810号*A141812号 A141813号 A141814号

关键词

非n,表

作者

杰拉尔德·德尔·菲亚科2008年7月12日

扩展

a（27）=126由修正Jean-François Alcover公司2011年9月27日

状态

经核准的