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| A111785号 |
| T（n，k）是用于幂级数反演（有时称为反演）的系数，n>=0，k=1。。A000041号（n） ，按行读取。 |
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13
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1, -1, -1, 2, -1, 5, -5, -1, 6, 3, -21, 14, -1, 7, 7, -28, -28, 84, -42, -1, 8, 8, 4, -36, -72, -12, 120, 180, -330, 132, -1, 9, 9, 9, -45, -90, -45, -45, 165, 495, 165, -495, -990, 1287, -429, -1, 10, 10, 10, 5, -55, -110, -110, -55, -55, 220, 660, 330, 660, 55, -715, -2860, -1430, 2002, 5005, -5005, 1430, -1, 11, 11
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.4
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评论
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作为拉格朗日反演定理的推论，得到了幂级数y=F（x）=x*G（x）=x*（1+Sum_{k>=1}G[k]*（x^k））的反演公式。结果是F^{（-1）}（y）=Sum_{n>=1}P（n-1）*y^n，其中P（n）：=a（n，k）*G[k]的n个分区上的和，其中G[k]:=G[1]^e（k，1）*G[2]^e*g[n]^e（k，n），如果n的第k次划分，按照Abramowitz-Stegun顺序（见给定参考文献，第831-2页），是[1 ^e（k，1），2 ^e（k,2），…，n ^e（k-n）]，对于k=1..p（n）：=A000041号（n） （分区号）。
符号由（-1）^m（n，k）给出，n的第k个分区的m（n、k）=和{j=1..n}e（k，j）的个数A036043型.
无符号行和给出Schroeder小数的证明A001003号（n） 根据公式（（d^（n-1）/dx^（n-1））（（1-x）/（1-2*x））^n）/n|_{x=0}，n>=1。此公式适用于A001003号可以从g.f.的成分逆开始证明A001003号（在注释中给出）并使用拉格朗日反演定理恢复原始序列A001003号.
单项式按字典序降序排列的行多项式P（n）的系数，例如P（6）=-1*g[6]+8*g[5]*g[1]+8*g[4]*g[2]-36*g[1]^2+4*g[3]^2-72*g[2]*g[1]-12*g[2]^3+120*g[3]*g[1]^3+180*g[2]^2*g[1]^4+132*g[1]^6在中给出A304462型. [赫伯特·埃伯勒，2018年8月16日]
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参考文献
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J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第150页，表4.1（无符号）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
A.M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准应用数学局。55系列，第十次印刷，1972年，第16页，3.6.25。
巴托梅·菲尔（Bartomeu Fiol）和阿兰·里奥斯·福克尔曼（Alan Rios Fukelman），关于矩阵模型的平面自由能，arXiv:2111.14783[hep-th]，2021。另请参见《高能物理杂志》。（2022）发行。2
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配方奶粉
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对于行n>=1，变量g[1]，…，中的行多项式。。。，g[n]是P（n）=（1/（n+1）！）*（d^n/dx^n）（1/G（x）^（n+1））|_{x=0}。P（0）：=1。（d^k/dx^k）G（x）|_{x=0}=k*g[k]，k>=1；G（0）=1。
a（n，k）是g[1]^e（k，1）*g[2]^e（k，2）*的P（n）系数*g[n]^e（k，n；如果e（k，j）=0，则不记录j^0）。
T（n，k）=（-1）^j*（n+j）/（（n+1）*产品{i>=1}s_i！），其中（1*s_1+2*s_2+…=n）是n的第k次划分，j=s_1+s_2。。。是部件的数量-安德鲁·霍罗伊德2022年2月1日
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例子
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[ +1];
[ -1];
[ -1, 2];
[ -1, 5, -5];
[ -1, 6, 3, -21, 14];
[ -1, 7, 7, -28, -28, 84, -42];
[ -1, 8, 8, 4, -36, -72, -12, 120, 180, -330, 132]; ...
第七行，[-1，8，8，4，-36，-72，-12，120，180，-330，132]，代表单项式的行多项式P（6），单项式按字典升序排列，P（6克[0]^3*g[1]*g[2]*g[3]-12*g[0]^3*g[2]^3+120*g[0]^2*g[1]^3*g[3]+180*g[0]^2*g[1]^2*g[2]^2-330*g[0]*g[1]^4*g[2]+132*g[1]^6=（1/7！）*（1/g（x）^7微分六次，在x=0时求值）。这给出了F^{（-1）}（y）的系数y^7。
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数学
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（*Colex分级排序：按长度排序，然后按数字颠倒词典*）
全部清除[P，L，T，c，g]
P[0]：=1
P[n]：=-总计[
多项式@@#c[总计@#-1]次@@
功率[g[#]&/@范围[0，n-1]，#]&/@
表[Count[p，i]，{p，Drop[InterPartitions[n+1]，1]}，{i，
n} ]]个
L[n_]：=Join@@GatherBy[IntegerPartitions[n]，Length]
T[1]：={1}
T[n_]：=系数[Do[g[i]=P[i]，{i，0，n-1}]；
P[n-1]，#]&/@（Times@@@Map[c，L[n-1]{2}]）
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黄体脂酮素
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（圣人）
C=[[0代表范围（m+1）内的k]代表范围（dim+1）中的m]
C[0][0]=1；F=[1]；i=1
X=λn:1，如果n==1 else var（'X'+str（n））
而i<=dim:F.append（F[i-1]*X（i））；i+=1
对于m in（1..dim）：
C[m][m]=-C[m-1][m-1]/F[1]
对于范围（m-1，0，-1）内的k：
C[m][k]=-（C[m-1][k-1]+和（（2..m-k+1）中i的F[i]*C[m][k+i-1]）/F[1]
P=[（1..dim）中m的展开（（-1）^m*C[m][1]）]
R=多项式环（ZZ，[X（i）代表（2..dim）中的i，顺序='lex'）
对于p中的p，返回[R（p）.系数（）[：：-1]
（PARI）
sv（n）={eval（字符串（“s”，n））}
Trm（q，v）={my（S=集合（v））；对于（i=1，#S，my（x=S[i]，c=#select（y->y==x，v）），q=polcoef（q，c，sv（x））；q}
Q（n）={polcoef（serreverse（x+x*sum（k=1，n，x^k*sv（k），O（x*x^n））/x，n）}
行（n）={my（q=q（n））；[Trm（q，Vec（v））|v<-分区（n）]}\\安德鲁·霍罗伊德2022年2月1日
（PARI）
C（v）={my（n=vecsum（v），S=Set（v））；（-1）^#v*（n+#v）！/（n+1）！/prod（i=1，#S，my（x=S[i]，C=#select（y->y==x，v）；C！）}
行（n）=[C（Vec（p））|p<-分区（n）]
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交叉参考
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作者
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扩展
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经核准的
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