%I M0708#161 2022年6月25日22:53:08

%S 1,1,2,3,5,9,15,26,45,78135234406704122221203679638511081，

%电话：192323337957993310055017451930290352573491249315837752748893，

%电话：477114482810881437316524946955432984854399485751532861304407402264011123929559566868203899911837899205466935661963216189714276

%N N个硬币的喷泉数量。

%C喷泉是由一排硬币开始，然后在上面堆叠额外的硬币，使每一枚新硬币接触前一排的两枚硬币而形成的。

%C另外，终止上升（即峰值和双峰）的顶点高度之和为n的Dyck路径数。例如：a（4）=3，因为我们有UDUUDD、UUDDUD和UDUDUD。-_Emeric Deutsch，2008年3月22日

%C还有路径长度为n的有序树的数量（通过标准双射遵循前面的注释）_Emeric Deutsch，2008年3月22日

%C可能首先由Jim Propp研究（未出版）。

%C C（1）=1且C（i+1）<=C（i）+1的n组分的数量。（将每一行相对于下一行向右滑动1/2步，并计算列数。）-Franklin T.Adams-Waters_，2009年11月24日

%C对于弱单峰性的附加要求，可获得A001524。-_Joerg Arndt_，2012年12月9日

%D S.R.Finch，《数学常数》，剑桥，2003年，第381页。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Alois P.Heinz，n表，n=0..4178的a（n）

%H P.Bala，<a href=“/A005169/A005169_3.pdf”>一些简单的连分式展开式</a>

%H P.Flajolet，<a href=“网址：http://dx.doi.org/10.1016/012-365X（80）90050-3“>连分数的组合方面，《离散数学》32（1980），第125-161页。

%H P.Flajolet和R.Sedgewick，<a href=“http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/books.html“>分析组合数学，2009年；参见第331页。

%H M.L.Glasser、V.Privman、N.M.Svrakic，<a href=“http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/20/18/010“>Temperley三角晶格紧团簇模型：q级数的精确解。J.Phys.a 20（1987），第18期，L1275-L1280。

%H H.W.Gould、R.K.Guy和N.J.A.Sloane，通信，1987年。

%H R.K.Guy，致N.J.a.Sloane的信，1986年9月25日。

%H R.K.Guy，致N.J.a.斯隆的信，1987年</a>

%H R.K.盖伊，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2322249“>《强大的小数定律》，Amer.Math.Monthly 95（1988），第8期，697-712。

%H R.K.Guy，<a href=“/A005165/A005165.pdf”>强大的小数定律。阿默尔。数学。《95月刊》（1988），第8期，697-712。[带注释的扫描副本]

%H R.K.Guy和N.J.A.Sloane，通信，1988年。

%H Kival Ngaokrajang，<a href=“/A005169/A005169_4.pdf”>初始条款说明</a>

%H A.M.Odlyzko和H S.Wilf，<A href=“网址：http://www.jstor.org/stable/222288“>编辑角：喷泉中的n枚硬币</a>，《美国数学月刊》，95（1988），840-843。

%H A.M.Odlyzko，渐近枚举方法，R.L.Graham等人编辑的第1063-1229页，《组合数学手册》，1995年；参见示例10.7（<a href=“http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/a渐进.enum.pdf“>pdf，<a href=”http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/渐近.enum.ps“>ps）

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Rogers-RamanujanContinuedFraction.html“>Rogers-Ramanujan续分数。

%F A005169（n）=F（n，1），其中，如果p>n，F（n、p）=0，如果p=n，则为1，如果p<n.F=A168396，则为总和（1<=q<=p+1；F（n-p，q））。

%F G.F.：F（t）=总和{k>=0}P[k]，其中P[0]=1，P[n]=t*总和{j=0..n-1}P[j]*P[n-j-1]*t^（n-j-1）对于n>=1.-_Emeric Deutsch，2008年3月22日

%F G.F.：1/（1-x/（1-x^2/（1-x ^3/（1-x ^4/（1-x^5/（…））））（在Odlyzko/Wilf参考文件的第一页上给出）_Joerg Arndt_，2011年3月8日

%F G.F.：1/G（0），其中G（k）=1-x^（k+1）/G（k+1）；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年6月29日

%F G.F.:A（x）=P（x）/Q（x）其中

%F P（x）=和{n>=0}（-1）^n*x^（n*（n+1））/乘积{k=1..n}（1-x^k），

%F Q（x）=和{n>=0}（-1）^n*x^（n^2）/产品{k=1..n}（1-x^k），

%F由于Rogers-Ramanujan连续分数恒等式_Paul D.Hanna，2011年7月8日

%F From _Peter Bala，2012年12月26日：（开始）

%F让F（x）表示该序列的o.g.F。对于正整数n>=3，实数F（1/n）具有简单的连分式展开式1+1/（n-2+1/（1+1/1/（1+…）））。示例如下。参见A111317和A143951。

%F（结束）

%F a（n）=c*x^（-n）+O（（5/3）^n），其中c=0.312363324596741…和x=A347901=0.576148769142756…是方程Q（x）=0的最小根，Q（x_Vaclav Kotesovec_，2013年7月18日，2020年9月24日更新

%F G.F.:G（0），其中G（k）=1-x^（k+1）/（x^；（连分数）。-_Sergei N.Gladkovskii_，2013年8月6日

%F G.F:1-1/x+1/（x*W（0）），其中W（k）=1-x^（2*k+2）/（1-x^，2*k+1）/W（k+1））；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年8月16日

%e 19枚硬币的喷泉示例：

%e。。。O。O O（操作）

%e。。O O O O O O O O。O（运行）

%e。O O O O O O O O 0 O O O

%e From _Peter Bala，2012年12月26日：（开始）

%e F（1/10）=Sum_{n>=0}a（n）/10^n具有简单的连分式展开式1+1/（8+1/（1+1/。

%e F（-1/10）=Sum_{n>=0}（-1）^n*a。

%e（完）

%pP[0]：=1：对于n到40 do p[n]：=排序（展开（t*（总和（p[j]*p[n-j-1]*t^（n-j-1），j=0..n-1）））结束do:F:=排序（总和（p[k]，k=0..40））：seq（系数（F，t，j），j=0..36）；#_Emeric Deutsch，2008年3月22日

%p#第二个Maple程序：

%p A005169_G:=程序（x，NK）；数字：=250；Q2:=1；

%p表示从NK到0的k乘以-1到0，做Q1：=1-x^k/Q2；Q2:=Q1；od；

%p Q3:=Q2；S： =1-Q3；

%p端：

%p系列（A005169_G（x，20），x，21）；#_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2011年12月18日

%t m=36；p[0]=1；p[n_]：=p[n]=展开[t*和[p[j]*p[n-j-1]*t^（n-j-1），{j，0，n-1}]]；f[t]=和[p[k]，{k，0，m}]；系数表[系列[f[t]，{t，0，m}]，t]（*Jean-François Alcover_，2011年6月21日，摘自德国*）

%t最大值=43；系列[1-折叠[功能[1-x^#2/#1]，1，范围[max，0，-1]]，{x，0，max}]//系数列表[#，x]&（*_Jean-François Alcover_，2014年9月16日*）

%tb[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，和[b[n-j，j]，{j，1，最小值[i+1，n]}]；

%tc[n]：=b[n，0]-b[n-1，0]；

%t c/@Range[0，50]//累加（*_Jean-François Alcover_，2020年11月14日，在A289080*中的_Alois P.Heinz之后）

%o（PARI）/*使用Glasser，Privman，Svrakic论文第L1278页的g.f*/

%o N=30；x='x+O（'x^N）；

%o P（k）=总和（n=0，n，（-1）^n*x^（n*（n+1+k））/prod（j=1，n，1-x^j））；

%o G=1+x*P（1）/（（1-x）*P（1）-x^2*P（2））；

%o Vec（G）/*_Joerg Arndt_，2011年2月10日*/

%o（PARI）/*作为连分数：*/

%o{a（n）=局部（a=1+x，CF）；CF=1+x；对于（k=0，n，CF=1/（1-x^（n-k+1）*CF+x*o（x^n））；a=CF），波尔科夫（a，n）}/*_Paul D.Hanna_*/

%o（PARI）/*通过Rogers-Ramanujan连分式恒等式：*/

%o{a（n）=局部（a=1+x，P，Q）；

%o P=总和（m=0，平方（n），（-1）^m*x^（m*（m+1））/prod（k=1，m，1-x^k））；

%o Q=总和（m=0，平方（n），（-1）^m*x^（m^2）/prod（k=1，m，1-x^k））；

%o A=P/（Q+x*o（x^n））；波尔科夫（A，n）}/*_保罗·D·汉纳_*/

%o（哈斯克尔）

%o a005169 0=1

%o a005169 n=a168396 n 1---Reinhard Zumkeller，2013年9月13日；由R.J.Mathar于2013年9月16日更正

%Y参见A001524、A192728、A1927209、A192730、A111317、A143951、A285903、A226999（欧拉逆变换）、A291148（卷积逆变换）。

%Y A168396的第一列。-_富兰克林·亚当斯·沃特斯，2009年11月24日

%A185646的Y对角线。

%Y行合计A047998。A138158.-列总和_Emeric Deutsch，2008年3月22日

%不，简单，好

%0、4

%A _N.J.A.斯隆_

%E更多条款，来自_David W.Wilson，2001年4月30日