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内部产品


内积是点积。在向量空间,这是一种相乘的方法向量加起来,这个乘法的结果是标量.

更准确地说,对于实向量空间,内部产品<·,·>满足以下四个属性。u个,v(v),w个是向量和阿尔法是标量,则:

1<u+v,w>=<u,w>+<v,w>.

2<alphav,w>=alpha<v,w>.

三。<v,w>=<w,v>.

4<v,v>>=0当且仅当如果v=0.

上面列表中的第四个条件称为正定的条件。与此相关,请注意一些作者将内积定义为一个函数<·,·>在附加(较弱)条件下,仅满足上述前三个条件(弱)非退化(即,如果<v,w>=0为所有人w个,那么v=0). 在此类文献中,满足所有四个此类条件通常被称为正定内积(拉特克利夫2006年),尽管有时称不具备正定性的内部产品不确定以避免混淆。这种差异虽然很细微,但却引入了一个数字值得注意的现象:例如,内部产物不是正定的可能会产生“规范”,产生一定的假想量向量(这种向量称为类太空的)其中归纳出“指标”,这些指标并不是实际的指标。这个洛伦兹内积是一个不定内积的例子。

一个向量空间与上面的内积一起称为内部产品空间.此定义也适用于抽象向量空间在任何字段上。

内部产品空间的示例包括:

1实数 R(右),其中内积由

 <x,y>=xy。
(1)

2欧几里德空间 R^n(R ^n),其中内积由产品

 <(x_1,x_2,…,x_n),(y_1,y_2,……,y_n)>=x_1y_1+x_2y_2+。。。x _ n _ n
(2)

3.的向量空间实函数谁的领域是一个封闭区间 [a,b]带内积

 <f,g>=int_a^bfgdx。
(3)

当给出一个复向量空间,第三个上述属性通常替换为

 <v,w>=<w,v>^_,
(4)

哪里z(z)^_复共轭。使用此属性,内积称为Hermitian内部产品和一个复向量空间具有厄米内积称为埃尔米特内部产品空间.

每个内部产品空间都是度量空间. The米制的由提供

 g(v,w)=<v-w,v-w>。
(5)

如果此过程导致完备度量空间,它被称为希尔伯特空间.是什么此外,每个内部产品都会自然地产生一种形式规范

 |x |=平方码(<x,x>),
(6)

由此得出,每个内部产品空间也是自然的赋范空间如上所述,未达到正定产量的内部产品“指标”,也就是“规范”,实际上是由于它们各自的阳性条件失败的可能性而不同。例如,n个-维度的洛伦兹空间(即内部产品空间包括R^n(R ^n)带有洛伦兹内部产品)配备有米制的张量表单的

 (ds)^2=-dx_0^2+dx_1^2++dx(n-1)^2
(7)

和形式的平方范数

 |v|^2=-v_0^2+v_1^2++v(n-1)^2
(8)

对于所有矢量v=(v_0,v_1,…,v_(n-1)).特别是,可以有负无穷小距离和平方范数,如以及向量范数总是零的非零向量。因此,度量(分别为,规范)未能事实上是一个度量(分别是一个规范),尽管它们通常在没有混淆的情况下仍被称为这样。


另请参见

完整度量空间,点积,爱尔兰人内部产品,希尔伯特空间,内部产品空间,室内产品,L2-内部产品,轻量级,洛伦兹内部产品,洛伦兹空间,闵可夫斯基公制,闵可夫斯基空间,已规范空间,正定二次型表格,太空般的,时间性的 探索此主题在数学世界教室里

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米斯纳,C.W。;Thorne,K.S。;和J.A.Wheeler。引力。加利福尼亚州旧金山:W.H。弗里曼,第53页,1973年。拉特克利夫,J·G·。基础双曲流形。纽约:Springer-Verlag,2006年。

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内部产品

引用如下:

约翰·伦泽;克里斯托弗·斯托弗; 埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“内部产品。“来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html网站

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