在欧几里得空间中
，使两点之间的距离最小的曲线显然是一条直线段。这可以用数学方法显示如下变分法以及所谓的欧拉-拉格朗日微分方程.这个线条元素在里面
由提供
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(1)
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所以弧长在这些点之间
和
是
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(2)
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我们正在最小化的数量是
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(3)
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求导数得出
和
所以欧拉-拉格朗日差速器方程成为
这些给了
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(10)
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(11)
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取比率，
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(12)
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(13)
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(14)
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它给出了
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(15)
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(16)
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因此，
和
，所以解决方案是
![[x；y；z]＝[x；a_1x+a_0；b_1x+b_0]，](/images/equations/Point-PointDistance3-Dimensional/NumberedEquation11.svg) |
(17)
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它是带参数的直线的参数表示![x in[x_1，x_2]](/images/equations/Point-PointDistance3-Dimensional/Inline25.svg)
.验证弧长度给予
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(18)
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哪里
![[y_1；y_2]=[x_11；x_21][a_1；a_0]](/images/equations/Point-PointDistance3-Dimensional/NumberedEquation13.svg) |
(19)
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![[z_1；z_2]=[x_11；x_21][b_1；b_0]。](/images/equations/Point-PointDistance3-Dimensional/NumberedEquation14.svg) |
(20)
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