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点到点距离——二维

对于一般曲面，沿曲面测量的两点之间的距离称为测地线的例如上两点之间的最短距离球是一个a的弧大圆.

在欧几里德平面上R^2（右^2），使两点之间的距离最小的曲线显然是一条直线段。这可以用以下公式进行数学表示变分法以及所谓的欧拉-拉格朗日微分方程.这个线条元素在里面R^2（右^2）由提供

ds＝sqrt（dx^2+dy^2），
(1)

所以弧长在两点之间（x_1，y_1）和（x_2，y_2）是

L=intds=int_（x_1）^（x_2）sqrt（1+y^'^2）dx，
(2)

哪里y^'=天/天我们正在最小化的数量是

f=sqrt（1+y^'^2）。
（3）

求导数得出

（部分）/（部分）=0
(4)
d/（dx）（部分）/（部分^'）=d/（dx）[（1+y^'^2）^（-1/2）y^']，
(5)

所以欧拉-拉格朗日差速器方程式成为

（partial）/（partialy）-d/（dx）（partialf）/（pertialy^'）=d/（dx）（（y^'）/（sqrt（1+y^'^2））=0。
(6)

整合和重组，

（y^'）/（平方（1+y^'^2））=c
(7)
y^（'2）=c^2（1+y^'^2）
(8)
y^（'2）（1-c^2）=c^2
(9)
y^'=c/（平方（1-c^2））=a。
(10)

因此，解决方案是

y=ax+b，
(11)

哪一条是直的线。现在验证弧长实际上是点之间的直线距离。一和b取决于

y_1=轴_1+b
(12)
y2（y2）=ax_2+b。
(13)

解决一和b给予

一=（y_2-y_1）/（x_2-x_1）
(14)
b=（x_1y_2-x_2y_1）/（x_1-x_2），
(15)

所以距离是

L（左）=整数_（x_1）^（x_2）sqrt（1+y^（'2））dy
(16)
=（x2-x1）平方（1+a^2）
(17)
=（x2-x_1）平方（1+（（y2-y_1）/（x2-x1））^2）
(18)
=sqrt（（x_2-x_1）^2+（y_2-y_1）^2），
(19)

如预期。

对于两个点精确三线坐标 （α、β、γ）和（α^'，β^'，γ^'），他们之间的距离是

D类=（sqrt（-abc[a（β-β^'）（γ-γ^'）+b（γ-α^'）
(20)
=（sqrt（abc[acosA（alpha-alpha^'）^2+bcosB（beta-beta^'）*2+ccosC（gamma-gamma^'）|2]）/（2Delta），
(21)

哪里三角洲是地区三角形（斯科特1894; 卡尔1970；金伯利，1998年，第31页）。

上两点之间的最短距离球是所谓的大圆距离。

另请参见

测地线，大圆圈，线条拾取，点对点距离--三维

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G.S.卡尔。纯数学中的公式和定理，第二版。纽约：切尔西，1970年。金伯利，C.“三角形中心和中心三角形”恭喜。数字。 129，1-295, 1998.斯科特，C.A。投影（Projective）平面分析几何方法，第三版。纽约：切尔西，1894年。

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“点到点距离——二维。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Point-PointDistance2-Dimensional.html

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