勾股定理

对于直角三角形有腿的和和斜边 ,

对于所有几何定理中最基本的定理，存在许多不同的证明。该定理也可以从平面推广三角形到三矩形四面体，英寸这种情况被称为德瓜定理. The勾股定理的各种证明似乎都需要应用一些版本或结果平行假设:解剖证明依赖于右锐角的互补性三角形，剪切证明依赖于平行四边形的显式构造，证明通过相似性要求存在非相称的相似三角形，等等（S.布罗迪）。根据这一观察，S.Brodie表明平行假设相当于毕达哥拉斯定理。

在1939年的电影中从巫师那里得到了他的大脑绿野仙踪稻草人背诵了毕达哥拉斯语的以下错误形式定理，“等腰的三角形等于剩余边的平方根。“第五次电视节目季阿森一族，荷马·J·辛普森重复稻草人的路线（Pickover 2002，第341页）。在第二季第集“痴迷"电视犯罪剧（2006）编号3RS,查理在讨论篮球圈时的方程式包括勾股定理。

聪明的证明解剖阿拉伯数学家Thabit ibn给出了将两个小正方形重新组合成一个大正方形的方法库拉（Ogilvy 1994，Frederickson 1997）。

另一个证据解剖是由于佩里加尔（左图；佩里贾尔1873；杜德尼1958；马达奇1979；斯坦豪斯1999，第4-5页；鲍尔和Coxeter 1987）。使用右图完成了相关证明，其中地区最大的广场是四倍地区其中一个三角形加上地区内部的广场.从图中可以看出，,所以

印度数学家巴斯卡拉用上图构造了一个证明，另一个漂亮的解剖证明如下（加德纳1984，第154页）。

通过剪切存在着一些美丽而直观的证据（加德纳1984年，第155-156页；数学项目！).

也许有史以来最著名的证明是欧几里德的几何证明（Tropfke 1921ab；Tietze 1965，p.19），尽管它既不是最简单的，也不是最明显的。欧几里德的证明使用了下面的数字，这有时被称为新娘的椅子、孔雀尾巴或风车。哲学家叔本华（Schopenhauer）将这一证明描述为“反常的精彩作品”（叔本华1977；加德纳（Gardner）1984，第153页）。

让成为直角三角形,,、和是正方形，并且. The三角形 和除了旋转外都是等效的，所以

剪切这些三角形给出了两个等价项三角形

因此，

同样，

所以

Heron证明了,,和 横断在某一点上（Dunham 1990，第48-53页）。

Heron公式对于地区的三角形，隐式包含勾股定理。使用表单

并等同于地区

给予

重新安排和简化提供了

勾股定理，其中是地区的三角形有侧面的,,和（Dunham 1990年，第128-129页）。

使用梯形詹姆斯·加菲尔德（1876年）在众议院任职时发现的《众议员》（Gardner 1984，第155和161页；Pappas 1989，第200-201页；Bogomolny）。

重新排列，

代数证明（希腊人不会接受）使用欧拉公式.将三角形是,,和,和垂直的的支腿正确的三角形沿着实轴和虚轴对齐。然后

采取复共轭给予

乘法(25)由(26)给予

（Machover，1996年）。

另一个代数证明是通过相似性进行的。它是直角三角形，如上图所示正确的三角形带侧面,、和（左图中的小三角形；右图中复制图）与直角三角形有侧面的,,和（左图中的大三角形；在中间图中复制）。出租在上图中，给出了

所以

和

（加德纳1984年，第155和157页）。因为这个证明取决于潜在的无理数并且不能直接翻译成几何结构,欧几里德认为这是无效的。