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点线距离--三维

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点线距离3D

让一条三维直线由两点指定x_1=（x_1，y_1，z_1）和x_2=（x_2，y_2，z_2）放在上面，所以沿着直线的向量是由提供

v=[x_1+（x2-x_1）t；y_1+（y2-y1）t；z_1+（z2-z_1）t]。
(1)

带有参数的直线上的点之间的平方距离t吨还有一点x_0=（x_0，y_0，z_0）因此是

d^2=[（x_1-x_0）+（x_2-x_1）t]^2+[（y_1-y_0）]+（y_2-y_1）t]^2+[（z_1-z_0）=（z_2-z_1）t]^2。
(2)

要最小化距离，请设置d（d^2）/dt=0并解决t吨以获得

t=-（（x1-x0）·（x2-x1））/（|x2-x1|^2），
(3)

哪里·表示点积.最小距离可以然后堵住t吨返回到(2)以获得

d^2=（x_1-x_0）^2+（y_1-y_0）*2+（z_1-z_0）|2+2t[（x_2-x_1）（x_1_x_0
(4)
=|x_1-x_0|^2-2（[（x_1-x_0）·（x_2-x_1）]^2）/（|x_2-x_1|^2）+（[（x1-x_0）.（x_2_x_1
(5)
=（|x_1-x_0|^2 |x_2-x_1|^2-[（x_1-x_0）·（x_2-x_1）]^2）/（|x_2-x_1|^2）。
（6）

使用向量四乘积

（AxB）^2=A^2B^2-（A·B）^2
(7)

哪里x个表示交叉积然后给出

d^2=（|（x2-x_1）x（x_1-x_0）|^2）/（|x_2-x_1|^2，
(8)

取平方根得出美丽的公式

d日=（|（x_2-x_1）x（x_1-x_0）|）/（|x_2-x1|）
(9)
=（|（x0-x_1）x（x0-x2）|）/（|x2-x_1|）
(10)
.
(11)

这里分子只是两倍地区由点组成的三角形x 0,x_1型、和x2个、和分母是三角形底边之一的长度，从通常的三角形区域公式，增量=bd/2.

另请参见

共线,线路,点,点-线距离--二维,三角形区域

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“点线距离——三维。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html

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