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点平面距离

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点平面距离

给定一个飞机

ax+by+cz+d=0
(1)

还有一点x_0=（x_0，y_0，z_0）,这个法向量到飞机由提供

v=[a；b；c]，
(2)

和a矢量从平面到点的距离为

w=-[x-x_0；y-y_0；zz_0]。
(3)

投影 w个到上面v（v）给出了距离D类从点到平面的距离为

D类=|项目（v）w|
(4)
=（v·w）/（v）
(5)
=（|a（x-x0）+b（y-y_0）+c（zz_0）|）/（平方码（a^2+b^2+c^2））
(6)
=（|ax+by+cz-ax_0-by_0-cz_0|）/（平方码（a^2+b^2+c^2））
(7)
=（|-d-ax_0-by_0-cz_0|）/（平方码（a^2+b^2+c^2））
(8)
=（|ax_0+by_0+cz_0+d|）/（平方码（a^2+b^2+c^2））。
(9)

删除绝对值符号会得到带符号的距离，

D=（ax_0+by_0+cz_0+D）/（平方码（a^2+b^2+c^2）），
(10)

如果是正的x_0个与法向量位于平面的同一侧v（v）如果相反，则为负数侧面。

对于中指定的平面，这可以特别方便地表示黑森（Hessian）标准形通过简单的方程式

D=n^^·x_0+p，
(11)

哪里n^^=v/|v|是单位法向量。因此，平面到原点的距离为简单地由给出第页（盖勒特等。1989年，第541页）。

给三分x _ i对于i=1，2，3，计算单位法线

n ^^=（（x2-x1）x（x3-x1））/（|（x2-x1）x（X3-x1）|）。
(12)

然后是与点的（有符号的）距离x_0个包含三个点的平面由下式给出

D_i=n^^·（x_0-x_i），
(13)

哪里x _ i是三个点中的任何一个。展开坐标显示

D=D_1=D_2=D_3，
(14)

因为所有的点都在同一个平面上，所以这是必须的，尽管从上面的向量方程来看，这一点并不明显。

当该点位于由其他三个点确定的平面上时，称为共面的和它们之间的距离上述公式折叠为0。

另请参见

共面,黑森范式,平面,点,投影定理

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盖勒特，W。；哥特瓦尔德，S。；海尔威奇，M。；Kästner，H。；和Künstner，H.（编辑）。越南卢比简明数学百科全书，第二版。纽约：Van Nostrand Reinhold，1989

参考Wolfram | Alpha

点平面距离

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“点平面距离。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Point-PlaneDistance.html

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