伯努利三角形

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伯努利三角形是的部分和的三角形二项式系数，即跨行的部分和帕斯卡三角形（请参见A007318号). 例如，在Pascal三角形中${\显示样式\脚本样式n\，=\，3\，}$是1 3 3 1。在伯努利三角形中，1是1，1+3是4，1+3+3是7，1+3+1是8，给出1 4 7 8作为${\显示样式\脚本样式n\，=\，3\，}$在伯努利三角形中。

Pascal三角形的行和给出二的力量（请参见A000079号)，所以伯努利三角形最右边的下降对角线包含2的幂，第二个最右边的下降对角线包含梅森数（请参见A000225号).

${\显示样式n\，}$			B类	E类	R（右）	N个	O（运行）	U型	L（左）	L（左）	我	'	S公司		T型	R（右）	我	A类	N个	G公司	L（左）	E类			行和 ${\显示样式\sum_{k=0}^{n} T型（n，k），\，}{n} T型（n，k），\，}$ ${\显示样式（n+2）\，2^{n-1}\，}$ (A001792号(${\显示样式\脚本样式n\，}$))
0															1										1
1														1		2									三
2													1		三		4								8
三												1		4		7		8							20
4											1		5		11		15		16						48
5										1		6		16		26		31		32					112
6									1		7		22		42		57		63		64				256
7								1		8		29		64		99		120		127		128			576
8							1		9		37		93		163		219		247		255		256		1280
9						1		10		46		130		256		382		466		502		511		512	2816
10					1		11		56		176		A000127号从开始${\显示样式\脚本样式a（5）\，}$：通过合并获得的最大区域数${\显示样式\脚本样式n\，}$以直线围绕圆的点。												6144
11				1		12		67		A000125号从开始${\显示样式\脚本样式a（3）\，}$：蛋糕数量：由${\显示样式\脚本样式n\，}$平面切割立方体或蛋糕。															13312
12			1		13		A000124号从开始${\显示样式\脚本样式a（2）\，}$：中心多边形编号																		28672
13		1		A000027号从开始${\显示样式\脚本样式a（2）\，}$：每个大于1的正整数																					61440
14	A000012号:连续分数对于黄金比率																								131072

伯努利三角形递推方程

最左边的条目设置为1，即帕斯卡三角形。最右边的条目设置为${\显示样式\脚本样式2^{n}\，}$，即的行总和帕斯卡三角形.然后是递推方程应用与Pascal三角形相同的三角形。

${\显示样式T（n，0）=1，\，}$

$显示样式T（n，n）=2^{n}，\，}$

${显示样式T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，k），\0<k<n.，}$

伯努利三角形公式

$显示样式T（n，k）=\sum_{i=0}^{k}{\binom{n}{i}}\，}$

和

${\显示样式T（n，k）-T（n，k-1）={\binom{n}{k}}\，}$

伯努利三角形行

行读取的伯努利三角形给出了有限序列的无限序列

{{1}, {1, 2}, {1, 3, 4}, {1, 4, 7, 8}, {1, 5, 11, 15, 16}, {1, 6, 16, 26, 31, 32}, {1, 7, 22, 42, 57, 63, 64}, {1, 8, 29, 64, 99, 120, 127, 128}, {1, 9, 37, 93, 163, 219, 247, 255, 256}, ...}

其串联给出无限序列（请参见A008949号${\显示样式\脚本样式（n），\，n\，\geq\，0\，}$)

{1, 1, 2, 1, 3, 4, 1, 4, 7, 8, 1, 5, 11, 15, 16, 1, 6, 16, 26, 31, 32, 1, 7, 22, 42, 57, 63, 64, 1, 8, 29, 64, 99, 120, 127, 128, 1, 9, 37, 93, 163, 219, 247, 255, 256, 1, 10, 46, 130, 256, 382, 466, 502, 511, 512, ...}

伯努利三角形行和

伯努利三角形行和给出了无穷序列（参见A001792号${\显示样式\脚本样式（n），\，n\，\geq\，0\，}$)

{1, 3, 8, 20, 48, 112, 256, 576, 1280, 2816, 6144, 13312, 28672, 61440, 131072, 278528, 589824, 1245184, 2621440, 5505024, 11534336, 24117248, 50331648, 104857600, 218103808, 452984832, ...}

由公式给出

${\显示样式\sum_{k=0}^{n} T型（n，k）=（n+2）\2^{n-1}=n\2^{n-1}+2^{n}。\，}{n} T型（n，k）=（n+2）\2^{n-1}=n\2^{n-1}+2^{n}。\，}$

生成函数为

$｛\displaystyleG_｛\sum_｛k=0｝^{n} T型（n，k）}（x）={压裂{1-x}{（1-2x）^{2}}.\，}{n} T型（n，k）}（x）={压裂{1-x}{（1-2x）^{2}}.\，}$

伯努利三角形行交替符号和

${\显示样式\sum_{k=0}^{n}（-1）^{k}\T（n，k）=？\，}$

伯努利三角形上升对角线

该表给出了${\显示样式\脚本样式j\，}$第个成员，${\显示样式\脚本样式j\，\geq\，0\，}$的${\显示样式\脚本样式i\，}$第个,${\显示样式\脚本样式i\，\geq\，0\，}$，上升对角线（0表示最左侧）。

贝努利三角上升对角线序列

${\显示样式i\，}$	${\显示样式T（i+j，i），\j\geq 0\，}$序列	A编号
0	{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}	A000012号(${\显示样式\脚本样式j\，}$)
1	｛2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50、51…｝	A000027号(${\显示样式\脚本样式j+2\，}$)
2	{4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, 232, 254, 277, 301, 326, 352, 379, 407, 436, 466, 497, 529, 562, 596, 631, 667, 704, 742, 781, 821, ...}	A000124号(${\显示样式\脚本样式j+2\，}$)
三	{8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, 299, 378, 470, 576, 697, 834, 988, 1160, 1351, 1562, 1794, 2048, 2325, 2626, 2952, 3304, 3683, 4090, 4526, 4992, 5489, 6018, 6580, 7176, ...}	A000125号(${\显示样式\脚本样式j+3\，}$)
4	{16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, 1471, 1941, 2517, 3214, 4048, 5036, 6196, 7547, 9109, 10903, 12951, 15276, 17902, 20854, 24158, 27841, 31931, 36457, 41449, ...}	A000127号(${\显示样式\脚本样式j+5\，}$)
5	{32, 63, 120, 219, 382, 638, 1024, 1586, 2380, 3473, 4944, 6885, 9402, 12616, 16664, 21700, 27896, 35443, 44552, 55455, 68406, 83682, 101584, 122438, 146596, 174437, ...}	A006261号(${\显示样式\脚本样式j+5\，}$)
6	{64, 127, 247, 466, 848, 1486, 2510, 4096, 6476, 9949, 14893, 21778, 31180, 43796, 60460, 82160, 110056, 145499, 190051, 245506, 313912, 397594, 499178, 621616, 768212, ...}	A008859号(${\显示样式\脚本样式j+6\，}$)
7	{128, 255, 502, 968, 1816, 3302, 5812, 9908, 16384, 26333, 41226, 63004, 94184, 137980, 198440, 280600, 390656, 536155, 726206, 971712, 1285624, 1683218, 2182396, ...}	A008860号(${\显示样式\脚本样式j+7\，}$)
8	{256, 511, 1013, 1981, 3797, 7099, 12911, 22819, 39203, 65536, 106762, 169766, 263950, 401930, 600370, 880970, 1271626, 1807781, 2533987, 3505699, 4791323, 6474541, ...}	A008861号(${\显示样式\脚本样式j+8\，}$)
9	{512, 1023, 2036, 4017, 7814, 14913, 27824, 50643, 89846, 155382, 262144, 431910, 695860, 1097790, 1698160, 2579130, 3850756, 5658537, 8192524, 11698223, 16489546, ...}	A008862号(${\显示样式\脚本样式j+9\，}$)
10	{1024, 2047, 4083, 8100, 15914, 30827, 58651, 109294, 199140, 354522, 616666, 1048576, 1744436, 2842226, 4540386, 7119516, 10970272, 16628809, 24821333, 36519556, ...}	A008863号(${\显示样式\脚本样式j+10\，}$)

伯努利三角形上升对角线公式和值

${\显示样式i\，}$	公式 ${\显示样式T（i+j，i）=\，}$ ${\displaystyle\sum_{k=0}^{i}{\binom{n}{k}}\，}$	生成 功能 $显示样式G_{T（i+j，i）}}（x）=\，}$ ${\显示样式{\frac{1}{x^{i}}{\bigg\{}\sum_{k=0}^{i{{\ frac{x^}}{（1-x）^{k+1}}-{\ frac{（2x）^{i} -1个}{2x-1}}{\bigg\}}\，}{i} -1个}{2x-1}}{\bigg\}}\，}$	差异 ${\显示样式T（i+j，i）-T（i+j-1，i）=\，}$	部分金额 $｛\displaystyle\sum_｛j=0｝^｛m｝｛T（i+j，i）｝=\，｝$	部分倒数和 ${\displaystyle\sum_{j=0}^{m}{1\over{T（i+j，i）}}=\，}$	倒数总和 ${\displaystyle\sum_{j=0}^{\infty}{1\over{T（i+j，i）}}=\，}$
0	${\displaystyle\sum_{k=0}^{0}{\binom{n}{k}}\，}$	${\显示样式{\frac{1}{x^{0}}{\bigg\{}\sum_{k=0}^{0{{\ frac{x^}}{（1-x）^{k+1}}-{\ frac{（2x）^{0}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}{0}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}$
1	$｛\displaystyle\sum_｛k=0｝^｛1｝｛\binom｛n｝｛k｝｝\，｝$	${\显示样式{\frac{1}{x^{1}}{\bigg\{}\sum_{k=0}^{1{\frac{x^}}{（1-x）^{k+1}}}-{\ frac{（2x）^{1}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}{1}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}$
2	${\displaystyle\sum_{k=0}^{2}{\binom{n}{k}}\，}$	${\显示样式{\frac{1}{x^{2}}{\bigg\{}\sum_{k=0}^{2{{\frac{x^}}{（1-x）^{k+1}}}-{\ frac{（2x）^{2}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}{2}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}$
三	$｛\displaystyle\sum_｛k=0｝^｛3｝｛\binom｛n｝｛k｝｝\，｝$	${\显示样式{\frac{1}{x^{3}}{\bigg\{}\sum_{k=0}^{3{{\ frac{x^}}{（1-x）^{k+1}}-{\ frac{（2x）^{3}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}{3}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}$
4	${\displaystyle\sum_{k=0}^{4}{\binom{n}{k}}\，}$	${\显示样式{\frac{1}{x^{4}}{\bigg\{}\sum_{k=0}^{4{{\frac{x^}}{（1-x）^{k+1}}}-{\ frac{（2x）^{4}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}{4}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}$
5	${\displaystyle\sum_{k=0}^{5}{\binom{n}{k}}\，}$	${\显示样式{\frac{1}{x^{5}}{\bigg\{}\sum_{k=0}^{5{{\frac{x^}}{（1-x）^{k+1}}}-{\ frac{（2x）^{5}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}{5}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}$
6	${\displaystyle\sum_{k=0}^{6}{\binom{n}{k}}\，}$	${\显示样式{\frac{1}{x^{6}}{\bigg\{}\sum_{k=0}^{6{{\frac{x^}}{（1-x）^{k+1}}}-{\ frac{（2x）^{6}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}{6}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}$
7	$｛\displaystyle\sum_｛k=0｝^｛7｝｛\binom｛n｝｛k｝｝\，｝$	${\显示样式{\frac{1}{x^{7}}{\bigg\{}\sum_{k=0}^{7{{\frac{x^}}{（1-x）^{k+1}}}-{\ frac{（2x）^{7}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}{7}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}$
8	${\displaystyle\sum_{k=0}^{8}{\binom{n}{k}}\，}$	${\显示样式{\frac{1}{x^{8}}{\bigg\{}\sum_{k=0}^{8{\frac{x^}}{（1-x）^{k+1}}}-{\ frac{（2x）^{8}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}{8}-1}{2x-1}}{\bigg\}}\，}$
9	${\displaystyle\sum_{k=0}^{9}{\binom{n}{k}}\，}$	${\显示样式{\frac{1}{x^{9}}{\bigg\{}\sum_{k=0}^{9{\frac{x^}}{（1-x）^{k+1}}}-{\ frac{（2x）^{9} -1个}{2x-1}}{\bigg\}}\，}{9} -1个}{2x-1}}{\bigg\}}\，}$
10	${\displaystyle\sum_{k=0}^{10}{\binom{n}{k}}\，}$	${\显示样式{\frac{1}{x^{10}}{\bigg\{}\sum_{k=0}^{10{\frac{x^}}{（1-x）^{k+1}}}-{\ frac{（2x）^{10} -1个}{2x-1}}{\bigg\}}\，}{10} -1个}{2x-1}}{\bigg\}}\，}$

伯努利三角形下降对角线

该表给出了${\显示样式\脚本样式j\，}$第个成员，${\显示样式\脚本样式j\，\geq\，0\，}$的${\显示样式\脚本样式i\，}$第个,${\显示样式\脚本样式i\，\geq\，0\，}$，对角线下降（最右边为0）。

贝努利三角下降对角线序列

${\显示样式i\，}$	${\显示样式T（i+j，j），\j\geq 0\，}$序列	A编号
0	{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, 33554432, 67108864, ...}	A000079号${\显示样式\脚本样式（j）\，}$
1	{1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, 262143, 524287, 1048575, 2097151, 4194303, 8388607, 16777215, 33554431, 67108863, ...}	A000225号${\显示样式\脚本样式（j+1）\，}$
2	{1, 4, 11, 26, 57, 120, 247, 502, 1013, 2036, 4083, 8178, 16369, 32752, 65519, 131054, 262125, 524268, 1048555, 2097130, 4194281, 8388584, 16777191, 33554406, 67108837, ...}	A000295号${\显示样式\脚本样式（j+2）\，}$
三	{1, 5, 16, 42, 99, 219, 466, 968, 1981, 4017, 8100, 16278, 32647, 65399, 130918, 261972, 524097, 1048365, 2096920, 4194050, 8388331, 16776915, 33554106, 67108512, 134217349, ...}	A002662号${\显示样式\脚本样式（j+3）\，}$
4	{1, 6, 22, 64, 163, 382, 848, 1816, 3797, 7814, 15914, 32192, 64839, 130238, 261156, 523128, 1047225, 2095590, 4192510, 8386560, 16774891, 33551806, 67105912, 134214424, ...}	A002663号$｛\displaystyle\scriptstyle（j+4）\，｝$
5	{1, 7, 29, 93, 256, 638, 1486, 3302, 7099, 14913, 30827, 63019, 127858, 258096, 519252, 1042380, 2089605, 4185195, 8377705, 16764265, 33539156, 67090962, 134196874, 268411298, ...}	A002664号${\显示样式\脚本样式（j+5）\，}$
6	{1, 8, 37, 130, 386, 1024, 2510, 5812, 12911, 27824, 58651, 121670, 249528, 507624, 1026876, 2069256, 4158861, 8344056, 16721761, 33486026, 67025182, 134116144, 268313018, ...}	A035038型${\显示样式\脚本样式（j+6）\，}$
7	{1, 9, 46, 176, 562, 1586, 4096, 9908, 22819, 50643, 109294, 230964, 480492, 988116, 2014992, 4084248, 8243109, 16587165, 33308926, 66794952, 133820134, 267936278, 536249296, ...}	A035039级${\显示样式\脚本样式（j+7）\，}$
8	{1, ...}	A？？？？？？
9	{1, ...}	A？？？？？？
10	{1, ...}	A？？？？？？

伯努利三角形下降对角线公式和值

${\显示样式i\，}$	公式 ${\显示样式T（i+j，j）=\，}$	生成 功能 $｛\displaystyleG_｛T（i+j，j）｝｝（x）=\，｝$	差异 $｛\displaystyle T（i+j，j）-T（i+j-1，j）=\，｝$	部分金额 ${\显示样式\sum_{j=0}^{m}{T（i+j，j）}=\，}$	部分倒数和 ${\displaystyle\sum_{j=0}^{m}{1\over{T（i+j，j）}}=\，}$	倒数总和 ${\displaystyle\sum_{j=0}^{\infty}{1\over{T（i+j，j）}}=\，}$
0
1
2
三
4
5
6
7
8
9
10

伯努利三角形中心元素

伯努利三角形中心元素给出了无限序列（参见。A032443号$｛\displaystyle\scriptstyle（n），n\，\geq\，0\，｝$)

{1, 3, 11, 42, 163, 638, 2510, 9908, 39203, 155382, 616666, 2449868, 9740686, 38754732, 154276028, 614429672, 2448023843, 9756737702, 38897306018, 155111585372, 618679078298, ...}

由公式给出

$｛\displaystyle T（2n，n）=\sum_｛i=0｝^｛n｝｛\binom｛2n｝｛i｝｝。\，｝$

生成函数为

$显示样式G_{T（2n，n）}}（x）等于和_{n=0}^{infty}T（2n，n）\，x^{n}=\？\，}$

伯努利三角形（斜率1/2）上升对角线

(...)

伯努利三角形（斜率1/2）上升对角线和

(...)

伯努利三角形（斜率1/2）上升对角线交替符号和

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伯努利三角形（斜率-1/2）下降对角线

(...)

伯努利三角形（斜率-1/2）下降对角线和

(...)

伯努利三角形（斜率-1/2）下降对角线交替符号和

(...)

另请参见

• A？？？？？？伯努利三角形的乘法编码：乘积p（i+1）^T（n，i）。