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A类递推关系（也称为递归关系, 差分方程或递归定义)是一个递归定义序列的方程，一旦给定一个或多个初始项：序列的每个其他项被定义为前面项的函数。这个斐波那契数列是递归关系的经典示例：

F类n个=F类n个  − 1+F类n个  − 2,n个  ≥   2,

具有

F类0= 0,F类1= 1

.递归关系也可用于计算一些通常非递归计算，例如通过封闭式公式. The长方形数（请参见A002378号)例如，定义（通常计算）为

一n个=n个× (n个+ 1) =n个 2+n个,n个  ≥   0;

但既然我们有

一n个  − 1= (n个 −  1） ×n个=n个 2负极n个,n个  ≥   1,

我们可以简单地获得递归定义

一n个=一n个  − 1+ (一n个负极一n个  − 1) =一n个  − 1+ 2 n个,n个  ≥   1,

（因此差分方程)带有

一0= 0

。（相反，由线性递推关系可以直接计算它们的值，就像使用比奈封闭式公式.)当然，递归关系并不局限于应用于整数序列。A类理性价值序列收敛（例如。收敛连分数）到二的平方根(毕达哥拉斯常数，原件无理数)由递归关系给出

x个n个= x个n个  − 1 2 + 1 x个n个  − 1 ,n个  ≥   1,

具有

x个0= 1

; 这个有限制

林 n个 → ∞ x个n个= 2√  2

.（请参见A001601号分子和A051009号对于的分母

x个n个

.)

这篇文章是关于常系数递归，而不是系数非恒定的递归.

常系数递归

常系数线性递归

文章主页：常系数线性递推关系

囊性纤维变性。与具有常数系数的线性递归相关的序列的索引条目.

常系数齐次线性递归

文章主页：常系数齐次线性递推关系

常系数齐次线性递归，阶（度）${\显示样式k}$，是窗体的重复

$显示样式a{n}:=c{1}，a{n-1}+c{2}$

具有初始条件

$｛\displaystylea_｛n｝：=C_｛n｝，\，0\leq n\leq k-1，｝$

哪里

${\显示样式\{C_{0}，\，\ldots，\，C_{k-1}\}}$

称为签名。

等价地，它也可以表示为以下形式的方程

${\显示样式\sum_{i=0}^{k} c（c）_{i} a（n-i）=c{0}，a（n）+c{1}{k} c（c）_{i} a（n-i）=c{0}，a（n）+c{1}$

常系数齐次线性递归（1阶）

1的权力

${\显示样式a{0}:=1；}$

$显示样式a{n}:=1，a{n-1}，quadn\geq1.}$

A000012号最简单的正数序列：all1的序列。

{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}

从生成函数的权力1（在第二个版本中，分母具有递归形式）

$显示样式G{{1^{n}，，n\geq0}}（x）={frac{1}{1-x}}={frac{（x^{-1}）^{1}}{（x ^{-1{）^｛1｝-（x^{-1}）^{0}}}，}｛1｝-（x^{-1}）^{0}}}，}$

和设置

x个  − 1

到

10 k个

，我们得到了表格

${\显示样式{\frac{（10^{k}）^{1}}{（10 ^{k{）^｛1｝-（10^{k}）^{0}}={\压裂{10^{k}}{10^{k} -1个}}=\sum_｛n=0｝^｛infty｝｛\frac｛1｝｛（10^｛k｝）^｛n｝｝｝，\fquad k\geq 1.\，｝｛1｝-（10^{k}）^{0}}={\压裂{10^{k}}{10^{k} -1个}}=\sum_｛n=0｝^｛infty｝｛\frac｛1｝｛（10^｛k｝）^｛n｝｝｝，\fquad k\geq 1.\，｝$

例如，对于

k个

，我们已经（注意，如果1拥有超过

k个

数字）

k个= 1: 10 / 9 = 1.11111111111111111111111111111...

k个= 2: 100 / 99 = 1.0101010101010101010101010101...

k个= 3: 1000 / 999 = 1.001001001001001001001001001...

k个= 4: 10000 / 9999 = 1.00010001000100010001000100...

上述变量为

${\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{（10^{k}）^{n+1}}}，\quad k\geq 1.}$

例如，对于

k个

，我们有（注意，如果1拥有超过

k个

数字）

k个= 1: 1 / 9 = 0.111111111111111111111111111111...(A000012号)

k个= 2: 1 / 99 = 0.010101010101010101010101010101...(A000035号)

k个= 3: 1 / 999 = 0.001001001001001001001001001001...

k个= 4: 1 / 9999 = 0.000100010001000100010001000100...

2的权力

$｛\displaystylea_｛0｝：=1；｝$

$显示样式a{n}:=2，a{n-1}，quadn\geq1.}$

A000079号的权力2:

一 (n个) = 2 n个

.

{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, 33554432, ...}

从生成函数的权力2（在第二个版本中，分母具有递归形式）

$显示样式G{{2^{n}，，n\geq0}}（x）={frac{1}{1-2x}}={frac{（x^{-1}）^{1}}{（x ^{-1}）^{1} -2个\，（x^{-1}）^{0}}，}{1} -2个\，（x^{-1}）^{0}}，}$

和设置

x个  − 1

到

10 k个

，我们得到了表格

${\显示样式{\frac{（10^{k}）^{1}}{（10 ^{k{）^{1}-2\，（10^{k}）^{0}}={\压裂{10^{k}}{10^{k} -2个}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{2^{n}}{（10^{k}）^{n{}}}，\quad k\geq 1.\，}{1}-2\，（10^{k}）^{0}}={\压裂{10^{k}}{10^{k} -2个}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{2^{n}}{（10^{k}）^{n{}}}，\quad k\geq 1.\，}$

例如，对于

k个

，我们有（注意，如果1拥有超过

k个

数字）

k个= 1: 10 / 8 = 1.25（此处

∑ ∞ n个  = 三 2 n个 (10 k个) n个 = 0.01

、和1 + 2 / 10 + 4 / 100=（100+20+4） / 100)

k个= 2: 100 / 98 = 1.0204081632653061224489795918...

k个= 3: 1000 / 998 = 1.002004008016032064128256513...

k个=4:10000 / 9998 = 1.00020004000800160032006401...

上述变量为

${\显示样式{\frac{1}{（10^{k}）^{1}-2\，（10^｛k｝）^｛0｝｝｝＝｛\frac｛1｝｛10^{k} -2个}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{2^{n}}{（10^{k}）^{n+1}}}，\quad k\geq 1.\，}{1}-2\，（10^｛k｝）^｛0｝｝｝＝｛\frac｛1｝｛10^{k} -2个}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{2^{n}}{（10^{k}）^{n+1}}}，\quad k\geq 1.\，}$

例如，对于

k个

，我们有（请注意，当2拥有超过

k个

数字）

{{mathfont|k个= 1: 1 / 8=0.125（此处

∑ ∞ n个  = 三 2 n个 (10 k个) n个 +1 = 0.001

、和1 / 10 + 2 / 100 + 4 / 1000 = (100 + 20 + 4) / 1000)

k个= 2: 1 / 98 = 0.010204081632653061224489795918...(A021102号)

k个= 3: 1 / 998 = 0.001002004008016032064128256513...(A022002号)

k个= 4: 1 / 9998 = 0.000100020004000800160032006401...

常系数齐次线性递归（二阶）

斐波那契数列

文章主页：斐波那契数

$｛\displaystyleF_｛0｝：=0；\F_{1}:=1；}F_{1}:=1；}$

$显示样式F{n}:=F{n-1}+F{n-2}，四元n\geq2.}$

A000045号斐波那契数列：

F类 (n个) =F类 (n个 −  1) +F类 (n个 −  2)

具有

F类 (0) = 0

和

F类 (1) = 1

.

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, ...}

这个生成函数斐波那契数列的

$显示样式G{{F{n}，，n\geq0}}（x）={frac{x}{1-x-x^{2}}}=sum{n=0}^{infty}F{n{}，x^{n}.}$

将生成函数改写为（表示分母中递归的形式）

$显示样式G{{F{n}，，n\geq0}}（x）={frac{（x^{-1}）^{1}}{（x^{-1{）^｛2｝-（x^{-1}）^｛1｝-（x^{-1}）^{0}}}，}｛2｝-（x^{-1}）^｛1｝-（x^{-1}）^{0}}}，}$

和设置

x个  − 1

到

10 k个

，我们得到了表格

${\显示样式{\frac{（10^{k}）^{1}}{（10 ^{k{）^｛2｝-（10^{k}）^｛1｝-（10^{k}）^{0}}={\压裂{10^{k}}{10^{2k}-10^{k} -1个}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{F{n}}{（10^{k}）^{n}{}}，\quad k\geq 1.}｛2｝-（10^{k}）^｛1｝-（10^{k}）^{0}}={\压裂{10^{k}}{10^{2k}-10^{k} -1个}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{F{n}}{（10^{k}）^{n}{}}，\quad k\geq 1.}$

例如，对于

k个

，我们有（注意，当斐波那契数大于

k个

数字）

k个= 1: 10 / 89 = 0.11235955056179775280898876404...

k个= 2: 100 / 9899 = 0.010102030508132134559046368320...

k个=3:1000 / 998999 = 0.0010010020030050080130210340550...

k个= 4: 10000 / 99989999 = 0.00010001000200030005000800130021...

上述变量为

$｛\displaystyle｛\frac｛1｝｛（10^｛k｝）^｛2｝-（10^{k}）^｛1｝-（10^{k}）^{0}}={\压裂{1}{10^{2k}-10^{k} -1个}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{F{n}}{（10^{k}）^{n+1}}}，\quad k\geq 1.\，}｛2｝-（10^{k}）^｛1｝-（10^{k}）^{0}}={\压裂{1}{10^{2k}-10^{k} -1个}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{F{n}}{（10^{k}）^{n+1}}}，\quad k\geq 1.\，}$

例如，对于

k个

，我们有（注意，当斐波那契数大于

k个

数字）

k个= 1: 1 / 89 = 0.011235955056179775280898876404...(A021093号)

k个= 2: 1 / 9899 = 0.00010102030508132134559046368320...

k个= 3: 1 / 998999 = 0.0000010010020030050080130210340550...

k个= 4: 1 / 99989999 = 0.000000010001000200030005000800130021...

常系数齐次线性递归（3阶）

Tribonacci层序

文章主页：Tribonacci数

${\显示样式a_{0}:=0；\a{1}:=0；\{2}：=1；}a{1}:=0；\{2}：=1；}$

$显示样式a{n}:=a{n-1}+a{n-2}+a}n-3}，四元n\geq3.}$

A000073号Tribonacci数：

一 (n个) =一 (n个 −  1) +一 (n个 −  2) +一 (n个 −  3)

具有

一 (0) =一 （1） ＝0时，一 (2) = 1

.

{0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, 410744, 755476, 1389537, 2555757, 4700770, 8646064, 15902591, 29249425, ...}

这个生成函数tribonacci数为

$显示样式G{{a{n}，，n\geq0}}（x）={frac{x^{2}}{1-x-x^{2} -x个^{3} }}=\sum_{n=0}^{infty}a{n}\，x^{n}.}{2} -x个^{3} }}=\sum_{n=0}^{infty}a{n}\，x^{n}.}$

将生成函数改写为（表示分母中递归的形式）

$显示样式G{{a{n}，，n\geq0}}（x）={frac{（x^{-1}）^{1}}{（x^{-1{）^{3}-（x^{-1}）^｛2｝-（x^{-1}）^｛1｝-（x^{-1}）^{0}}}，}{3}-（x^{-1}）^｛2｝-（x^{-1}）^｛1｝-（x^{-1}）^{0}}}，}$

和设置

x个  − 1

到

10 k个

，我们得到了表格

${\显示样式{\frac{（10^{k}）^{1}}{（10 ^{k{）^{3}-（10^{k}）^｛2｝-（10^{k}）^｛1｝-（10^{k}）^{0}}={\压裂{10^{k}}{10^{3k}-10^{2k}-10^{k} -1个}}=\sum_｛n=0｝^｛infty｝｛\frac｛a_｛n｝｝｛（10^｛k｝）^｛n｝｝｝｝，quad k\geq 1.\，｝{3}-（10^{k}）^｛2｝-（10^{k}）^｛1｝-（10^{k}）^{0}}={\压裂{10^{k}}{10^{3k}-10^{2k}-10^{k} -1个}}=\sum_｛n=0｝^｛infty｝｛\frac｛a_｛n｝｝｛（10^｛k｝）^｛n｝｝｝｝，quad k\geq 1.\，｝$

例如，对于

k个

，我们有（注意，当tribonacci数大于

k个

数字）

k个= 1: 10 / 889 = 0.011248593925759280089988751406...

k个= 2: 100 / 989899 = 0.00010102040713244482517913443694...

k个= 3: 1000 / 998998999 = 0.0000010010020040070130240440811492...

k个= 4: 10000 / 999899989999 = 0.000000010001000200040007001300240044...

上述变量为

$｛\displaystyle｛\frac｛1｝｛（10^｛k｝）^{3}-（10^{k}）^｛2｝-（10^{k}）^｛1｝-（10^{k}）^{0}}={\压裂{1}{10^{3k}-10^{2k}-10^{k} -1个}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{a_{n}}{（10^{k}）^{n+1}}}，\quad k\geq 1.\，}{3}-（10^{k}）^｛2｝-（10^{k}）^｛1｝-（10^{k}）^{0}}={\压裂{1}{10^{3k}-10^{2k}-10^{k} -1个}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{a_{n}}{（10^{k}）^{n+1}}}，\quad k\geq 1.\，}$

例如，对于

k个

，我们有（注意，当tribonacci数大于

k个

数字）

k个= 1: 1 / 889=0.00118485939257592800899888751406。。。(A021893号)

k个= 2: 1 / 989899 = 0.0000010102040713244482517913443694...

k个= 3: 1 / 99898999=00000000 10010020040070130240440811492。。。

k个= 4: 1 / 999899989999 = 0.0000000000010001000200040007001300240044...

常系数非齐次线性递归

文章主页：常系数非齐次线性递推关系

常系数非齐次线性递归，阶（度）

k个

，是窗体的重复

$显示样式a{n}:=c{1}，a{n-1}+c{2}，c{n-2}+cdots+c{k}，a{n-k}+f（n），四c{k{neq0，，n，geqk，}$

具有初始条件

${\显示样式a_{i}:=C_{i{，\，0\leqi\leqk-1，}$

哪里

${\显示样式\{C_{0}，\，\ldots，\，C_{k-1}\}}$

称为签名。如果没有

（f） (n个)

术语称为相关同质复发.

等价地，它可以表示为以下形式的方程

${\显示样式\left（\sum_{i=0}^{k} c（c）_{i} \，a（n-i）\右）+f（n）={Bigg（}c_{0}\，a{k} c（c）_{i} \，a（n-i）\右）+f（n）={Bigg（}c_{0}\，a$

常系数非齐次线性递归（1阶）

示例：

${\显示样式a{0}:=1；}$

$显示样式a{n}:=2，a{n-1}+1，quadn\geq1.}$

${\显示样式a{0}:=1；}$

$显示样式a{n}:=2，a{n-1}+n，quadn\geq1.}$

${\显示样式a{0}:=1；}$

$｛\displaystylea_｛n｝：=2｝，a_｛n-1｝+2 ^｛n｝，quad n \ geq 1。｝$

常系数非齐次线性递归（二阶）

示例：

${\显示样式a{0}:=1；}$

$｛\displaystyle a_｛n｝：=3\，a_｛n-1｝+2\，a_｛n-2｝+n，quad n\geq 1。｝$

常系数二次递归

文章主页：常系数二次递归关系

常系数双线性递推关系

文章主页：常系数双线性递推关系

常系数齐次双线性递推关系

A类常系数齐次双线性递推关系是以下形式的方程

${\displaystyle\sum_{i=0}^{\lfloork/2\rfloor}d_{i}，a（n-i）\，a（n-k+i）=0，\，}$

其中

1 + ⌊  k个 / 2⌋

系数

d日我(∀我)

是常量。（注意没有平方

一j个(∀j个)

.)

常系数非齐次双线性递推关系

A类常系数非齐次双线性递推关系是以下形式的方程

${\displaystyle\sum_{i=0}^{\lfloork/2\rfloor}d_{i}，a（n-i），a（n-k+i）+\ left（\sum_{i=0.}^{k} c（c）_{i} \，a（n-i）\右）+f（n）=0，\，}{k} c（c）_{i} \，a（n-i）\右）+f（n）=0，\，}$

其中任一

∑ k个 我  = 0 | c（c）我 |   ≠   0

或

（f） (n个)  ≠   0

和

1 + ⌊  k个 / 2⌋

系数

d日我(∀我)

和

c（c）我(∀我)

和是常量。（注意没有平方

一j个(∀j个)

.)

常系数齐次二次递归

文章主页：常系数齐次二次递推关系

常系数齐次二次递归（1阶）

示例：

${\显示样式a{0}:=1；}$

$显示样式a{n}:=2\，{a{n-1}}^{2}，\quadn\geq1.}$

常系数齐次二次递归（二阶）

示例：

${\显示样式a{0}:=1；}$

$显示样式a{n}:=3\，{a{n-1}}^{2}+2\，{a{n-2}}^}，\quadn\geq1.}$

常系数非齐次二次递归

文章主页：常系数非齐次二次递推关系

常系数非齐次二次递归（1阶）

示例：

${\显示样式a{0}:=1；}$

$显示样式a{n}:=2，{a{n-1}}^{2}+1，\quadn\geq1.}$

${\显示样式a{0}:=1；}$

$显示样式a{n}:=2\，{a{n-1}}^{2}+n，\quadn\geq1.}$

${\显示样式a{0}:=1；}$

${\显示样式a{n}:=2\，{a{n-1}}^{2}+2^{n}，\quadn\geq1.}$

常系数非齐次二次递归（2阶）

示例：

${\显示样式a{0}:=1；}$

$显示样式a{n}:=3\，{a{n-1}}^{2}+2\，{a{n-2}}^}{2}+n，\quadn\geq1.}$

常系数三次递归

文章主页：常系数三次递推关系

常系数齐次三次递归

常系数齐次三次递归（1阶）

示例：

$｛\displaystylea_｛0｝：=1；｝$

$显示样式a{n}:=2\，{a{n-1}}^{3}，\quadn\geq1.}$

常系数齐次三次递归（二阶）

示例：

${\显示样式a{0}:=1；}$

$显示样式a{n}:=3\，{a{n-1}}^{3}+2\，{a{n-2}}^}{2}，\quadn\geq1.}$

常系数非齐次三次递归

常系数非齐次三次递归（1阶）

示例：

${\显示样式a{0}:=1；}$

$显示样式a{n}:=2\，{a{n-1}}^{3}+1，\quadn\geq1.}$

${\显示样式a{0}:=1；}$

$显示样式a{n}:=2\，{a{n-1}}^{3}+n，\quadn\geq1.}$

${\显示样式a{0}:=1；}$

${\显示样式a{n}:=2\，{a{n-1}}^{3}+2^{n}，\quadn\geq1.}$

常系数非齐次三次递归（二阶）

示例：

${\显示样式a{0}:=1；}$

${显示样式a{n}:=3，{a{n-1}}^{3}+2\，{a}n-2}^{2}+n，\quadn\geq1.}$

另请参见

• 均质复发
• 非肿瘤性复发

• n个 第个-订单重复

外部链接

• 尼卢法尔·沙菲。“求解线性递归关系”.http://www.cse.yorku.ca/course_archive/2008-09/S/1019/Website_files/21-linear-recurrences.pdf. 
• 乔治·菲舍尔（Georg Fischer）；Richard Mathar（2020年）。“sqrt生成函数的P-有限递归”.https://www.mpia.de/~mathar/public/fischer20200119.pdf. 
• 理查德·马塔尔（2014）。“一些常系数线性递归”.网址：http://www.mpia.de/~mathar/public/mathar20071126.pdf. 
• 重复关系-维基百科.org.