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按行读取的表:T(n,k)是长度为n的二进制字的数量,正好有k个反转。
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1, 2, 3, 1, 4, 2, 2, 5, 3, 4, 3, 1, 6, 4, 6, 6, 6, 2, 2, 7, 5, 8, 9, 11, 9, 7, 4, 3, 1, 8, 6, 10, 12, 16, 16, 18, 12, 12, 8, 6, 2, 2, 9, 7, 12, 15, 21, 23, 29, 27, 26, 23, 21, 15, 13, 7, 4, 3, 1, 10, 8, 14, 18, 26, 30, 40, 42, 48, 44, 46, 40, 40, 30, 26, 18, 14, 8, 6, 2, 2
评论
在下面详述的n=6的示例中,对于k=0..6,[6,k]_q的顺序为1,6,9,10,9,6,1,
定义行长度的最大顺序10。
高斯多项式[n,m]_q中q^j的系数是长度为n的字母表{0,1}上具有m1和j反转的二进制字的数量。因此,T(n,k)是长度为n的二进制字的数量,正好有k个反转-杰弗里·克雷策2017年5月14日
参考文献
乔治·安德鲁斯(George E.Andrews),《分割理论》,1976年,第242页。
配方奶粉
T(n,k)是求和{m=0..n}[n,m]_q相对于q的系数[q^k]。
行总和:总和{k=0..floor(n^2/4)}T(n,k)=2^n。
T(n,k)=2*T(n-1,k)-T(n-2,k)+T(n-2、k-n+1),对于n>=2和0<=k<=楼层(n^2/4)。
和{i=0..n}T(n-i,i)=A000041号(n+1)。请注意,总和的上限可以减少为A083479号(n) =(n+2)-天花板(sqrt(4*n))。
两个结果都得到了验证(有关详细信息,请参阅MathOverflow链接)。(结束)
求和{k=0..楼层(n^2/4}}(-1)^k*T(n,k)=A016116号(n+1)。
求和{k=0..(n+2)-上限(sqrt(4*n))}(-1)^k*T(n-k,k)=(-1)*A000025号(n+1)=-A260460型(n+1)。(结束)
例子
. 1 ............... : 1
. 2 ............... : 2
. 3 1 ............. : 3+q=(1)+(1+q)+(1)
. 4 2 2 ........... : 4+2q+2q^2=1+(1+q+q^2)+
. 5 3 4 3 1 ....... : 5+3q+4q^2+3q^3+q^4
. 6 4 6 6 6 2 2
. 7 5 8 9 11 9 7 4 3 1
. 8 6 10 12 16 16 18 12 12 8 6 2 2
. 9 7 12 15 21 23 29 27 26 23 21 15 13 7 4 3 1
...
第二但最后一行来自7个q多项式系数的总和:
. 1 ....... : 1=[6,0]_q
. 1 1 1 1 1 1 ....... : 1+q+q^2+q^3+q^4+q^5=[6,1]_q
. 1 1 2 2 3 2 2 1 1 ....... : 1+q+2q^2+2q^3+3q^4+2q^5+2q^6+q^7+q^8=[6,2]_q
. 1 1 2 3 3 3 3 2 1 1 ....... : 1+q+2q^2+3q^3+3q^4+3q^5+3q^6+2q^7+q^8+q^9=[6,3]_q
. 1 1 2 2 3 2 2 1 1 ....... : 1+q+2q^2+2q^3+3q^4+2q^5+2q^6+q^7+q^8=[6,4]_q
. 1 1 1 1 1 1 ....... : 1+q+q^2+q^3+q^4+q^5=[6,5]_q
. 1 ....... : 1=[6,6]_q
MAPLE公司
q二项式:=proc(n,m,q)局部i;因子(mul((1-q^(n-i))/(1-qqu(i+1)),i=0..m-1));扩展(%);结束时间:
A083906号:=过程(n,k)加(q二项式(n,m,q),m=0..n);系数日(%,q=0,k);结束时间:
T:=proc(n,k),如果n<0或k<0或k>floor(n ^2/4),则返回0 fi;
如果n<2,则返回n+1 fi;2*T(n-1,k)-T(n-2,k)+T(n-2、k-n+1)端:
seq(打印(seq(T(n,k),k=0..楼层((n/2)^2))),n=0..8)#彼得·卢什尼2024年2月16日
数学
表[系数列表[Total[Table[FunctionExpand[q二项式[n,k,q]],{k,0,n}],q],{n,0,10}]//网格(*杰弗里·克雷策2017年5月14日*)
黄体脂酮素
(PARI){T(n,k)=polcoeff(总和(m=0,n,prod(k=0,m-1,(x^n-x^k)/(x^m-x^k)),k)}/*迈克尔·索莫斯2017年6月25日*/
(岩浆)
R<x>:=PowerSeriesRing(比率(),100);
qBinom:=func<n,k,x|n eq 0或k eq 0选择1 else(&*[(1-x^(n-j))/(1-xqu(j+1)):[0..k-1]]中的j)>;
A083906号:=func<n,k|系数(R!((&+[qBinom(n,k,x):k in[0.n]])),k)>;
(SageMath)
如果k<0或k>(n^2//4):返回0
elif n<2:返回n+1
否则:返回2*T(n-1,k)-T(n-2,k)+T(n-2,k-n+1)
展平([[T(n,k)表示范围内的k(int(n^2//4)+1)]表示范围(13)内的n)#G.C.格鲁贝尔2024年2月13日
交叉参考
囊性纤维变性。A000025号,A000034号,A000041号,A016116号,A029552号,A033638号,A060546号,A063746号,A077028号,A083479号,A083480号,A098613号,A260460型.
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