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A002593号

a（n）=n^2*（2*n^2-1）；同时求和{k=0..n-1}（2k+1）^3。
（原名M5199 N2262）

+0
15

0, 1, 28, 153, 496, 1225, 2556, 4753, 8128, 13041, 19900, 29161, 41328, 56953, 76636, 101025, 130816, 166753, 209628, 260281, 319600, 388521, 468028, 559153, 662976, 780625, 913276, 1062153, 1228528, 1413721, 1619100, 1846081

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,3

第m项，对于m=A065549美元（n），是完美的(A000396号). -Lekraj Beedassy公司2002年6月4日

的部分总和A016755号. -Lekraj Beedassy公司2004年1月6日

此外，第k个三角形数，其中k=2n^2-1=A056220型（n），即a（n）=A000217号(A056220型（n））-Lekraj Beedassy公司2004年6月11日

此外，j-th六角形数，其中j=n^2=A000290型（n），即a（n）=A000384号(A000290型（n））和a（n）=A056220型（n）*A000290型（n）或j*k。此序列是六边形数列的子序列，保留了六边形数序列固有的方面，即此序列中的每个数字都可以通过将其三角形数乘以六边形号来找到-布鲁斯·尼克尔森2017年8月22日

奇数及其平方均为2x-+1形式，我们可以写（2r+1）^3=（2r+1）*（2s-1），其中s=中心平方=（r+1）*2+r^2。由于2r+1=（r+1）^2-r^2，它紧接着从n-1上的伸缩求和得到乘积2*{（r+1，^4-r^4}-{（r+1）^2-r^2}，即和{r=0..n-1}（2r+1），^3=2*n^4-n^2=n^2*（2n^2-1）-Lekraj Beedassy公司2004年6月16日

a（n）也是等于平方整数的连续立方整数的数字M（n）之和的起始项(A253724号)对于M（n）等于平方整数的两倍(A001105号). 将a（n）编号为^3+（a+1）^3+…+（a+M-1）^3=c^2对等于2倍平方整数的M的整数有非平凡解(A001105号). 如果M是平方整数的两倍，那么从a^3开始等于平方整数c^2的M个连续立方整数之和总是存在至少一个非平凡解。对于n>=1，M（n）=2n^2(A001105号)，a（n）=M（M-1）/2=n^2（2n^2-1），c（n）=sqrt（M/2）（M（M^2-2）/2）=n^3（4n^4-1）。不考虑M<1和a<2的平凡解-弗拉基米尔·普列泽2015年1月10日

偏移量为1的序列的二项式变换为（1，27，98，120，48，0，0，…）-加里·亚当森2015年7月23日

参考文献

Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第169页，第31号。

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L.B.W.Jolley，《级数求和》。第二版，纽约州多佛，1961年，第7页。

N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

链接

文森佐·利班迪，n=0..10000时的n，a（n）表

F.E.Croxton和D.J.Cowden，应用综合统计1955年，新泽西州恩格尔伍德克利夫斯普伦蒂斯·霍尔出版社，第二版。[仅第742-743页的注释扫描]

Neslihan Kilar、Abdelmejid Bayad和Yilmaz Simsek，涉及三角函数和特殊多项式的有限和：生成函数和p-adic积分的分析，申请。分析。光盘。数学。，hal-045357482024年。见第22页。

弗拉基米尔·普列泽，M=2n^2的文件三元组（M，a，c）

弗拉基米尔·普列泽，连续立方整数和等于平方整数的通解，arXiv:1501.06098[math.NT]，2015年。

西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。

西蒙·普劳夫，1031生成函数，论文附录，蒙特利尔，1992年。

R.J.Stroeker，关于连续立方体之和为完美正方形，《数学综合》，97第1-2期（1995年），第295-307页。

G.Xiao，西格玛服务器，操作“（2*n-1）^3”.

M.J.Zerger，无词证明：连续奇数立方体的和是一个三角形数，数学。Mag.，68（1995），371。

常系数线性递归的索引项，签名（5，-10,10，-5,1）。

配方奶粉

a（n）=A000217号(A056220型（n））-Lekraj Beedassy公司2004年6月11日

通用格式：（-x^4-23*x^3-23*x ^2-x）/（x-1）^5-哈维·P·戴尔2011年3月28日

a（n）=n^2*（2n^2-1）-弗拉基米尔·普列泽2015年1月10日

例如：exp（x）*x*（1+13*x+24*x^2/2！+12*x^3/3！）-沃尔夫迪特·朗2017年3月11日

a（n）=A000384号(A000290型（n））=A056220型（n）*A000290型（n） ●●●●-布鲁斯·尼克尔森2017年8月22日

发件人阿米拉姆·埃尔达尔，2022年8月25日：（开始）

求和{n>=1}1/a（n）=1-Pi^2/6-cot（Pi/sqrt（2））*Pi/sqert（2）。

和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=cosec（Pi/sqrt（2））*Pi/sqert（2）-Pi^2/12-1。（结束）

MAPLE公司

A002593号：=-z*（z+1）*（z**2+22*z+1）/（z-1）**5；#推测者西蒙·普劳夫在他1992年的论文中

a： =n->n^2*（2*n^2-1）：序列（a（n），n=0..50）#弗拉基米尔·普列泽2015年1月10日

数学

系数列表[系列[（-x^4-23x^3-23x^2-x）/（x-1）^5，{x，0，80}]，x]（*或*）

表[n^2（2n^2-1），{n，0，80}](*哈维·P·戴尔2011年3月28日*）

联接[{0}，累加[Range[1，91，2]^3]]（*或*）线性递归[{5，-10，10，-5，1}，{0，1，28，153，496}，40](*哈维·P·戴尔2017年3月22日*）

黄体脂酮素

（岩浆）[0..40]]中的[n^2*（2*n^2-1）：n//文森佐·利班迪2011年9月7日

（PARI）a（n）=n ^2*（2*n ^2-1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年2月7日

交叉参考

囊性纤维变性。A000290型,A000384号,A000447号,A000583号,A002309号,A253724号,A253725型,A260810型.

关键字

非n,美好的,容易的

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的

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