搜索： a213421-编号：a213421
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1, 4, 9, 8, -31, -180, -503, -752, 513, 7316, 25673, 51480, 26209, -255524, -1205559, -3033568, -3695359, 6453540, 51681673, 161551912, 284435937, 6880364, -1963530103, -7902282960, -17864421119, -16141703756, 60484132809
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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a（n）*（-1）^n给出了（eta（z^6））^4的系数c（7^n），这是权重2的一种模尖形式，当以q=exp（2*Pi*i*z）、Im（z）>0的幂展开时，假设α-乘法性（但不适用于素数2和3），α（x）=x（权重2），输入c（7）=-4。Eta是Dedekind函数。参见Apostol参考文献，第138页，等式（54）了解字母的多重性，第130页，等号（39），其中k=2。另请参见A000727号（n） =b（n），其中c（7^n）=b（（7^n-1）/6）=b(A023000型（n） ），n>=0。证明：α（1）=1和c（1）=1的α-多重性从p^n=p^（n-1）*p引向递归c_n=c*c_（n-1）-a*c（n-2），c_n=c（p^n），c=c（p）和a=alpha（p）。输入为c_{-1}=0和c_0=c（1）=1。这给出了多项式c_n=sqrt（a）^n*S（n，c/sqrt(A049310型). 参见使徒参考，练习6，第139页。这里p=7，c=-4-沃尔夫迪特·朗2016年4月27日
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参考文献
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汤姆·阿波斯托（Tom M.Apostol），《数论中的模函数和狄里克莱级数》（Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory），第二版，斯普林格出版社，1990年，第130、138-139页。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（1/2-i/sqrt（3））*（2+i*sqrt（三））^n+（1/2+i/sqert（三）。
a（n）=4*a（n-1）-7*a（n-2）。
例如：（2*sqrt（3）*sin（sqrt，3）*x）+3*cos（sqrt*x））*exp（2*x）/3-伊利亚·古特科夫斯基2016年4月27日
对于Z中的所有n，a（n）=（-1）*7^（n+1）*a（-2-n）-迈克尔·索莫斯2020年2月23日
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例子
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G.f.=1+4*x+9*x^2+8*x^3-31*x^4-180*x^5-503*x^6-752*x^7+-迈克尔·索莫斯2020年2月23日
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数学
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系数列表[级数[1/（1-4x+7x^2），{x，0，30}]，x]（*或*）线性递归[{4，-7}，{1，4}，30](*哈维·P·戴尔2014年11月28日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I:=[1,4]；[n le 2选择I[n]else 4*Self（n-1）-7*Self:n in[1..30]]//文森佐·利班迪2012年6月25日
（PARI）{a（n）=my（s=1，t=1）；如果（n<0，n=-2-n；s=-1；t=1/7）；s*t^（n+1）*polcoeff（1/（1-4*x+7*x^2）+x*O（x^n），n）}/*迈克尔·索莫斯，2020年2月23日*/
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A190965号
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| a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2），其中a（0）=0，a（1）=1。 |
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三
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0, 1, 4, 10, 16, 4, -80, -344, -896, -1520, -704, 6304, 29440, 79936, 143104, 92800, -487424, -2506496, -7101440, -13366784, -10858496, 36766720, 212217856, 628271104, 1239777280, 1189482496, -2680733696, -17859829760, -55354916864, -114260688896
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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配方奶粉
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G.f.:x/（1-4*x+6*x^2）-菲利普·德尔汉姆2011年10月12日
a（n）=6^（（n-1）/2）*切比雪夫（n-1，sqrt（2/3））。
例如：（1/sqrt（2））*exp（2*x）*sin（sqrt）*x）。（结束）
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数学
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线性递归[{4，-6}，{0，1}，50]
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（[0，1；0，0]*[0，-6；1，4]^n）[1，1]\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年5月31日
（岩浆）[n le 2选择n-1其他4*自我（n-1）-6*自我（n-2）：n in[1..41]]//G.C.格鲁贝尔2024年1月10日
（SageMath）
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A181738号
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| T（n，k）是多项式p（n）的x^k的系数，该多项式定义为n>0和p（0）=Q（1，0，0，O）时p（n）=Q（x+1，1，1）*p（n-1）的标量部分，其中Q（a，b，c，d）是一个四元数三角形，由行读取。 |
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+10
2
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1, 1, 1, -2, 2, 1, -8, -6, 3, 1, -8, -32, -12, 4, 1, 16, -40, -80, -20, 5, 1, 64, 96, -120, -160, -30, 6, 1, 64, 448, 336, -280, -280, -42, 7, 1, -128, 512, 1792, 896, -560, -448, -56, 8, 1, -512, -1152, 2304, 5376, 2016, -1008, -672, -72, 9, 1, -512, -5120, -5760, 7680, 13440, 4032, -1680, -960, -90, 10, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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名称中的符号“*”表示Hamilton除法代数中的非交换乘法。传统上Q（a，b，c，d）写为a+b*i+c*j+d*k。
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链接
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例子
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多项式列表从1，1+x，-2+2*x+x^2，-8-6*x+3*x^2+x^3开始。。。多项式的系数列表开始于：
{ 1},
{ 1, 1},
{ -2, 2, 1},
{ -8, -6, 3, 1},
{ -8, -32, -12, 4, 1},
{ 16, -40, -80, -20, 5, 1},
{ 64, 96, -120, -160, -30, 6, 1},
{ 64, 448, 336, -280, -280, -42, 7, 1},
{-128, 512, 1792, 896, -560, -448, -56, 8, 1},
{-512, -1152, 2304, 5376, 2016, -1008, -672, -72, 9, 1},
{-512, -5120, -5760, 7680, 13440, 4032, -1680, -960, -90, 10, 1}.
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数学
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需要[“四元数`”]
P[x_，0]：=四元数[1，0，0，0]；
P[x_，n_]：=P[x，n]=四元数[x+1，1，1，1]**P[x，n-1]；
表[系数列表[P[x，n][[1]]，x]，{n，0，10}]//展平
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
R.<x>=QQ[]
K=R.分数_字段（）
H.<i，j，k>=四元数代数（k，-1，-1）
定义Q（a，b，c，d）：返回H（a+b*i+c*j+d*k）
@缓存函数
定义P（n）：
如果n>0，则返回Q（x+1，1，1）*P（n-1），否则返回Q（1，0，0，O）
定义p（n）：返回p（n）[0].numerator（）.list（）
压平（[p（n）表示n in（0..10）]）#向William Stein致敬，彼得·卢什尼2018年9月14日
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作者
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经核准的
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1, 2, 2, -4, -28, -88, -184, -208, 272, 2336, 7712, 16832, 21056, -16768, -193408, -673024, -1531648, -2088448, 836096, 15875072, 58483712, 138684416, 203835392, -16764928, -1290072064, -5059698688, -12498362368, -19635257344, -3550855168, 103608123392
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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一般来说，给定一个具有整数系数[r，u，v，w]的四元数Q=r+u*i+v*j+w*k，它的幂Q^n=r（n）+u（n）*i+v（n）*j+w（n）**定义了四个整数序列r（n。这个过程也可以转录为四项，四个序列元素的一阶递归。由于|Q^n|=|Q|^n，对于任意n，我们有R（n）^2+U（n）*2+V（n）|2+W（n）_2=（L^2）^n，其中L^2=R^2+U^2+V^2+W^2是一个常数。归一化序列Q^n/L^n描述了一个幺正四元数，该四元数按角度φ=反正切（sqrt（u^2+v^2+w^2）/r）进行逐步旋转。因此，四个序列随着P=2*Pi/phi步长的平均周期出现符号变化。
当Q相对于假想轴的排列和/或反转具有对称性时，四个序列变得更加相互依赖。
在这种特殊情况下，Q=2+j+k，Q^n=a（n）+b（n）*（j+k），其中b（n是序列A190965号一阶递推可简化为两项，即a（n+1）=2*a（n）-2*b（n），b（n+1。这进一步意味着一个单项二阶递归a（n+2）=4*a（n+1）-6*a（n），由a（n”）和b（n）共享，但具有不同的起始项。符号变化的平均周期为P=10.208598624…步。
以下OEIS序列也可以转换为四元数幂：
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（（2-i*sqrt（2））^n+（2+i*squart（2。
当n>1时，a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）。
G.f.：（1-2*x）/（1-4*x+6*x^2）。（结束）
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数学
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线性递归[{4，-6}，{1，2}，30](*布鲁诺·贝塞利2015年12月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）\\生成四元数幂的简单函数：
四元数ToN（r，u，v，w，nmax）={局部（M）；M[n，3]=v*M[n-1，1]-w*M[n-1，2]+r*M[n-1，3]+u*M[n-1，4]；M[M，4]=w*M[1，1]+v*M[n-1，2]-u*M[2，3]+r*M[n-1，4]；）；返回（M）；}
a=四元数ToN（2，0，1，1，1000）[，1]；\\选择真实部件
（PARI）Vec（（1-2*x）/（1-4*x+6*x^2）+O（x^40））\\科林·巴克2015年12月21日
（岩浆）[n le 2选择n else 4*自我（n-1）-6*自我（n-2）：n in[1..40]]//文森佐·利班迪2015年12月22日
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A094944号
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| 由半幻方生成的一种序列，其A（n）/A（n-1）收敛到7。 |
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1
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1, 17, 121, 769, 5681, 39121, 274345, 1922945, 13447009, 94165777, 659108825, 4613711233, 32296542097, 226073894609, 1582520918281, 11077645104385, 77543495432897, 542804558486545, 3799631689665337, 26597422073425409
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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3行：1 4 2，2 1 4，4 2 1形成半幻方：行和和列，对角线=7，序列的收敛。
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链接
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配方奶粉
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设M=3×3矩阵[14 2/2 1 4/4 2 1]，则M^n*[1 0 0]=[p q r]，a（n）=p。
G.f.:-x*（7*x+1）^2/（（7*x-1）*（7*x^2+4*x+1））。[科林·巴克2012年12月6日]
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例子
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a（4）=769，因为M^4*[1 0 0]=[769 824 808]。
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数学
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a[n]：=（矩阵幂[{{1，4，2}，{2，1，4}，}，n]；表[a[n]，{n，10}](*罗伯特·威尔逊v2004年5月29日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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