显示找到的53个结果中的1-10个。
2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73, 237, 373, 537, 737, 2373, 3737, 5373, 7373, 23737, 37373, 53737, 73737, 237373, 373737, 537373, 737373, 2373737, 3737373, 5373737, 7373737, 23737373, 37373737, 53737373, 73737373, 237373737, 373737373, 537373737, 737373737
评论
对于指数n>8，素数项满足n mod 24=1，3，5，7，10，12，19，21，23。然而，这一条件是不够的。事实上，对于n<=200，大多数这些项都被证明是复合的，除非n=103、106、123、156、165、175、178、191、193和195的项可能是素数。
当n>10且n mod 24=0、2、4、6、8、9、11、13、14、15、16、17、18、20、22时，这些术语是复合的（有关详细信息，请参阅公式部分）。
（结束）
配方奶粉
a（1+8*k）=2*10^（2k）+37*（10^（20k）-1）/99，
a（2+8*k）=3*10^（2k）+73*（10^（20k）-1）/99，
a（3+8*k）=5*10^（2k）+37*（10^（20k）-1）/99，
a（4+8*k）=7*10^（2k）+37*（10^（20k）-1）/99，
a（5+8*k）=23*10^（2k）+73*（10^（20k）-1）/99，
a（6+8*k）=37*10^（2k）+37*（10^（20k）-1）/99，
a（7+8*k）=53*10^（2k）+73*（10^（20k）-1）/99，
a（8+8*k）=73*10^（2k）+73*（10^（20k）-1）/99，对于k>=0。
a（n）=（（2*n+7）mod 8+dn3-dn2）*10^dn_1+楼层（（37+36*（dn2-dn1））*10^dn_1/99），其中dn1=楼层（（n+1）/4），dn2=楼层（（n+2）/4），dn3=楼层（（（n+3）/4），dn_1=楼层（（n-1）/4）。[更新者Hieronymus Fischer公司2018年10月2日]
当k>0时，a（24k+0）=73*（10^（6k-2）+（10 ^（6 k-2）-1）/99）。
a（24k+2）=3*（1245790*（10^（6k）-1）/99999+1），
a（24k+4）=7*（1053390*（10^（6k）-1）/99999+1），
a（24k+6）=37*（10^（6k）+，
a（24k+8）=73*（10^（6k）+，
a（24k+9）=3*（79124500*（10^（6k）-1）/99999+79），
a（24k+11）=3*（79124500*（10^（6k）-1）/99999+79+10^（6 k+2）），
a（24k+13）=3*（791245000*（10^（6k）-1）/99999+791），
a（24k+14）=37*（10^（6k+2）+，
a（24k+15）=3*（791245000*（10^（6k）-1）/9999999+791+10^（6k+3）），
a（24k+16）=73*（10^（6k+2）+，
a（24k+17）=7*（339105000*（10^（6k）-1）/99999+3391），
a（24k+18）=7*（5339100000*（10^（6k）-1）/99999+5339），
a（24k+20）=3*（24579100000*（10^（6k）-1）/99999+24579），
a（24k+22）=37*（10^（6k+4）+。
（结束）
n>8的递归：
a（n）=10*（1+a（n-4））-a（n-4。
通用公式：（2*x*（1+x^10）+3*x^2*（1+x^3+x^5+x^6）+5*x^3*（1+4x^6，+7*x^4*（1+2））/（（1-10*x^4）*（1-x^8））。[由更正Hieronymus Fischer公司2012年9月3日]
当n>9时，a（n）=a（n-1）+9*a（n-4）-9*a（n-5）+10*a（n8）-10*a（-n9）。
通用公式：x*（2*x^7-2*x*6+5*x^5-2*x^4+2*x^3+2*x*2+x+2）/（（x-1）*（x^4+1）*（10*x^4-1））。（结束）
例子
a（11）=537，因为长度<=2的所有子串都是素数（5、3、7、53和37）。
a（21）=237373，长度<=2的子串为2，3，7，23，37，73。
数学
表[FromDigits/@Select[Tuples[{2，3，5，7}，n]，AllTrue[FromDigits/@分区[#，2，1]，PrimeQ]&]，{n，9}]//扁平（*需要Mathematica版本10或更高版本*）(*哈维·P·戴尔2020年6月13日*）
数字>1000，这样所有长度=3的子串都是素数（前导为“0”的子串被视为非素数）。
+10
50
1131, 1137, 1139, 1271, 1277, 1311, 1313, 1317, 1373, 1379, 1397, 1491, 1499, 1571, 1577, 1631, 1673, 1677, 1733, 1739, 1797, 1811, 1911, 1919, 1937, 1971, 1977, 1991, 1997, 2113, 2233, 2239, 2271, 2277, 2293, 2331, 2337, 2397, 2419, 2571
评论
由于所有三位数素数都是平凡的成员，因此只考虑大于1000的数。请参见A069489号对于素数项>1000的序列。
序列是无限的（例如，考虑“19”或“337”的连续串联：1919、19191、191919…、3373、33733、337337…是成员）。
无穷多的术语都是回文的。
例子
a（1）=1131，因为长度=3（113和131）的所有子串都是素数。
a（33）=2271，因为长度=3（227271）的所有子串都是素数。
素数>1000，因此长度>=3的所有子串都是素数（前导为“0”的子串被视为非素数）。
+10
49
1277, 1373, 1499, 1571, 1733, 1811, 1997, 2113, 2239, 2293, 2719, 3137, 3313, 3373, 3491, 3499, 3593, 3673, 3677, 3733, 3739, 3797, 4211, 4337, 4397, 4673, 4877, 4919, 5233, 5419, 5479, 6131, 6173, 6197, 6199, 6311, 6317, 6599, 6619, 6733
评论
由于所有三位数素数都是平凡的成员，因此只考虑大于1000的数。
根据定义，4位以上序列的每个项都是由先前项的重叠并集构成的，即a（59）=33739包含两个嵌入的先前项a（14）=3373和a（21）=3739。
序列是有限的，最后一项是349199（n=63）。有限性的证明：设p是一个超过6位的数字。根据上面的参数，p的每个6位数子串必须是前一项。唯一的6位数术语是349199。因此，没有具有所需属性的数字p。
例子
a（1）=1277，因为长度>=3的所有子串都是素数（127、277和1277）。
a（63）=349199，长度>=3的所有子串（349、491、919、199、3491、4919、9199、34919、49199和349199）都是素数。
具有n个非素数子串的最大数（具有前导零的子串被视为非素数）。
+10
49
373, 3797, 37337, 73373, 373379, 831373, 3733797, 3733739, 8313733, 9973331, 37337397, 82337397, 99733313, 99733317, 99793373, 733133733, 831373379, 997333137, 997337397, 997933739, 7331337337, 8313733797, 9733733797, 9973331373, 9979337397, 9982337397
评论
序列的定义是，对于每个n，具有n个非素数子串的数集是非空的和有限的。存在性证明：定义m（n）：=2*sum_{j=i..k}10^j，其中k:=floor（（sqrt（8n+1）-1）/2），i:=n-k（k+1）/2。对于n=0,1,2,3，。。。m（n）是2、22、20、222、220、200、2222、2220、2200、2000、22222、22220。m（n）有k+1位和（k-i+1）2位。因此m（n）的非素子串的个数是（（k+1）（k+2）/2）-k-1+i=（k（k+1/2）+i=n。这证明了存在性。有限性证明：每个4位数至少有一个非素数子串。因此每个4*（n+1）位数至少有n+1个非素子串。因此，有一个边界b<10^（4n+3），使得所有数字>b都有n个以上的非素子串。因此，具有n个非素子串的数字集是有限的。
以下陈述是正确的：
对于所有n>=0，都存在具有n个非素子串的最大数(=A213300型=此序列）。
具有n素子串的最大数不存在。证明：如果p是一个有n个素数子串的数字，那么10*p是一个有n个素数子串的更大数字。
来自的评论N.J.A.斯隆，2012年9月1日：令人惊讶的是，任何大于373的数字都有一个非素数子串！
例子
a（0）=373，因为373是使所有子串都是素数的最大数，因此它是具有0个非素数子串的最大数。
a（1）=3797，因为3797的唯一非素子串是9，并且所有较大的数都有1个以上的非素子字符串。
a（2）=37337，因为37337的非素子串是33和7337，并且所有较大的数都有>2个非素子字符串。
带n个素子串的最小素数（带前导零的子串被视为非素数）。
+10
46
2, 13, 23, 113, 137, 373, 1973, 1733, 1373, 11317, 17333, 31379, 37337, 113173, 211373, 313739, 337397, 1113173, 1137337, 2313797, 2337397, 11131733, 12337397, 11373379, 33133733, 111733373, 113137337, 123733739, 291733373, 113733797, 1173313373, 1137333137, 1237337393, 1137337973
配方奶粉
a（n）>10^层（（sqrt（8*n+1）-1）/2）。
例子
a（1）=2，因为2是素数，有1个素子串（2）。
a（2）=13，因为13是素数并且有2个素子串（3和13）
最小自然数（十进制表示），二进制表示中有n个素数子串（带前导零的子串被视为非素数）。
+10
24
1, 2, 5, 7, 11, 15, 27, 23, 31, 55, 47, 63, 111, 95, 187, 127, 223, 191, 381, 255, 447, 503, 383, 511, 1015, 895, 767, 1023, 1533, 1791, 1535, 1919, 3039, 3069, 3067, 3839, 3967, 6079, 6139, 6135, 7679, 8063, 8159, 12159, 12271, 15359, 16127
评论
序列的定义很好，因为在二进制表示中，每n个具有n个素子串的数字集不为空。证明：A000975号（n+1）在二进制表示中正好有n个素子串（请参见A000975号).
所有n>1的项都是奇数。
配方奶粉
a（n）>=2^天花板（sqrt（8*n+1）-1）/2）。
a（n+1）<=2*a（n）+1。
例子
a（1）=2=10_2，因为2是二进制表示中具有1素数子串（=10_2）的最小数。
a（2）=5=1012，因为5是二进制表示中具有2个素子串的最小数（102和1012）。
a（4）=11=1011-2，因为11是二进制表示（10_2、11_2、101_2和1011-2）中具有4个素子串的最小数。
a（8）=31=11111 _2，因为31是二进制表示中具有8个素数子串的最小数（4乘以11_2，3乘以111_2和11111 _2）。
a（9）=47=101111_2，因为47是二进制表示中具有9个素子串的最小数（10_2、3乘以11_2、101_2、2乘以111_2、1011_2和10111_2）。
交叉参考
囊性纤维变性。A019546号,A035232号,A039996号,A046034美元,A069489号,A085823号,A211681号,A211682号,A211684号,A211685型,A035244号,A079397美元,A213300型-A213321型,A217303型-A217309型,A000975号.
最小自然数（十进制表示），n个素数子串以9为基数表示（带前导零的子串被视为非素数）。
+10
24
1, 2, 11, 23, 101, 173, 902, 1562, 1559, 8120, 14032, 14033, 73082, 126290, 604523, 657743, 723269, 1136684, 5918933, 5972147, 10227787, 25051529, 53276231, 54333278, 92071913, 441753767, 479669051, 483743986, 828662228, 3971590751, 4315446629
评论
序列的定义很好，即对于每个n个素子串的数字集不为空。证明：定义m（0）：=1，m（1）：=2和m（n+1）：=9*m（n）+2以表示n>0。这导致m（n）=2*sum_{j=0..n-1}9^j=（9^n-1）/4或m（n）=1，2，22222222222，…，（以9为基数），n=0，1，2，3，…。显然，对于n>0 m（n）有n 2，这是base-9表示中唯一的素子串。这就是为什么m（n）的每个超过一位数的子串都是两个整数>1的乘积（根据定义），因此不能是质数。
任何项都不能被9整除。
配方奶粉
a（n）>9^层（sqrt（8*n-7）-1）/2），对于n>0。
a（n）<=（9^n-1）/4，n>0。
a（n+1）<=9*a（n）+3。
例子
a（1）=2=2_9，因为在base-9表示中，2是带1素数子串的最小数。
a（2）=11=12_9，因为11是在9进制表示（2_9和12_9）中具有2个素数子串的最小数。
a（3）=23=259，因为23是在base-9表示法（2_9、39和239）中具有3个素子串的最小数。
a（4）=101=1229，因为101是以9为基数表示的具有4个素数子串的最小数（2乘以2_9，129=11，和1229=101）。
a（7）=1562=2125_9，因为1562是以9为基数表示的最少数，有7个素子串（2乘以2_9、5_9、12_9=11、21_9=19、25_9=23和212_9=173）。
具有n个非素数子串的最小数（版本1：带前导零的子串被视为非素数）。
+10
16
2, 1, 11, 10, 103, 101, 100, 1017, 1011, 1002, 1000, 10037, 10023, 10007, 10002, 10000, 100137, 100073, 100023, 100003, 100002, 100000, 1000313, 1000037, 1000033, 1000023, 1000003, 1000002, 1000000, 10000337, 10000223, 10000137, 10000037, 10000023, 10000013, 10000002, 10000000, 100001733
评论
序列是明确定义的，因为对于每个n，具有n个非素数子串的数字集都不是空的。证明：定义m（n）=2*sum_{j=i.k}10^j，其中k=楼层（（sqrt（8*n+1）-1）/2），i:=n-A000217号（k） ●●●●。对于n=0,1,2,3，…m（n）为2，22，20，222，220，200，2222，2220，2200，2000，22222，22220。m（n）有k+1个数字和（k-i+1）2个，因此m（n）的非素子串的个数是（（k+1）*（k+2）/2）-k-1+i=（k*（k+1/2）+i=n，这证明了这一说法。
三个版本符合A213302型-A213304型完全不同。例如：1002在版本1中有9个非素数子串（0，0，00，02，002，1，10 100，1002），在版本2中有6个非素子串（02，002,1，10，100，1001），而在版本3中有4个非素子串（1，10，1002。
配方奶粉
a（n）>=10^floor（（sqrt（8*n-7）-1）/2）对于n>0，如果n是一个大于0的三角形数，则等式成立（参见。A000217号).
一个(A000217号（n） -k）>=10^（n-1）+k，n>0，0<=k<n。
一个(A000217号（n） -1）=10^（n-1）+2，n>3，前提是10^（n-1）+1不是素数（这对于所有n-1<=50000（cf。A185121号)但n-1=16384除外，并且对于不等于2）的幂次的n-1通常是正确的。
一个(A000217号（n） -k）=10^（n-1）+p，其中p是10^（n-1）+p具有k素子串的最小数，n>0，0<=k<n。
最小值（a(A000217号（n） -k-i），0<=i<=m）<=10^（n-1）+p，其中p是具有k素子串的最小数，m是p的位数，k+m<n。
一个(A000217号（n） -k）<=10^（n-1）+max（p（i），k<=i<=k+m），其中p（i。
例子
a（0）=2，因为2是非素子串为零的最小数。
a（1）＝1，因为1有1个非素数子串。
a（2）=11，因为11是具有2个非素数子串的最小数。
a（3）=10，因为10是带有3个非素数子串的最小数，它们分别是1、0和10（“0”将被计数）。
二进制表示中具有n个非素数子串的最小数（十进制表示）（带前导零的子串被视为非素数）。
+10
16
1, 2, 7, 5, 4, 11, 10, 12, 8, 22, 21, 19, 17, 16, 60, 39, 37, 34, 36, 32, 83, 71, 74, 69, 67, 66, 64, 143, 139, 141, 135, 134, 131, 130, 128, 283, 271, 269, 263, 267, 262, 261, 257, 256, 541, 539, 527, 526, 523, 533, 519, 514, 516, 512, 1055, 1053, 1047, 1067
评论
如果p是一个有k个素数子串和d个数字（二进制表示）的数，p偶数，m>=d，那么b:=p*2^（m-d）有m*（m+1）/2-k个非素数子字符串，并且a(A000217号（n） -k）<=b。
配方奶粉
a（n）>=2^floor（（sqrt（8*n-7）-1）/2）对于n>=1，如果n=1或n+1是三角形数（cf。A000217号).
a（n）>=2^floor（（sqrt（8*n+1）-1）/2）对于n>1，如果n+1是三角形数，等式成立。
一个(A000217号（n） -k）>=2^（n-1）+k-1，1<=k<=n，n>1。
一个(A000217号（n） -k）=2^（n-1）+p，其中p是最小数>=0，使得2^（n-1）+p在二进制表示中有k个素子串，1<=k<=n，n>1。
例子
a（1）=1，因为1=1_2是二进制表示中具有1个非素子串的最小数。
a（2）=2，因为2=10_2是二进制表示（0和1）中具有2个非素数子串的最小数。
a（3）=7，因为7=111_2是二进制表示中具有3个非素子串的最小数（3乘以1，素子串是2乘以11和111）。
a（10）=22，因为22=10110_2是二进制表示中具有10个非素数子串的最小数，它们是0、0、1、1、01、011、110、0110和10110（记住，带前导零的子串被视为非素数）。
交叉参考
囊性纤维变性。A019546号,A035232号,A039996号,A046034美元,A069489号,A085823号,A211681号,A211682号,A211684号,A211685型,A035244号,A079397号,A213300型-A213321型,A217103型-A217109型,A217302型-A217309型.
以9为基数表示n个非素数子串的最小数（十进制表示）（带前导零的子串被视为非素数）。
+10
16
2, 1, 12, 9, 83, 84, 81, 748, 740, 731, 729, 6653, 6581, 6563, 6564, 6561, 59222, 59069, 59068, 59051, 59052, 59049, 531614, 531569, 531464, 531460, 531452, 531443, 531441, 4784122, 4783142, 4783147, 4783070, 4782989, 4782971, 4782972, 4782969, 43048283
评论
序列的定义很好，因为对于每个n个非素子串的数字集不为空。证明：定义m（n）：=2*sum_{j=i.k}9^j，其中k:=floor（（sqrt（8*n+1）-1）/2），i:=n-A000217号（k） ●●●●。对于n=0,1,2,3，。。。以9为基数表示的m（n）是2、22、20、222、220、200、2222、2220、2200、2000、22222、22220。。。。m（n）有k+1个数字和（k-i+1）2个，因此m（n）的非素子串的个数是（（k+1）*（k+2）/2）-k-1+i=（k*（k+1/2）+i=n，这证明了这一说法。
如果p是一个有k个素数子串和d个数字（以9为基数表示）的数，m>=d，那么b:=p*9^（m-d）有m*（m+1）/2-k个非素数子字符串，并且a(A000217号（n） -k）<=b。
配方奶粉
a（n）>=9^floor（（sqrt（8*n-7）-1）/2）对于n>0，如果n是三角形数（cf。A000217号).
一个(A000217号（n） -k）>=9^（n-1）+k，0<=k<n，n>0。
一个(A000217号（n） -k）=9^（n-1）+p，其中p是最小数>=0，使得9^（n-1）+p在9进制表示中有k个素数子串，0<=k<n，n>0。
例子
a（0）=2，因为在base-9表示中，2=2_9是非素子串为零的最小数。
a（1）=1，因为1=1_9是base-9表示中具有1个非素子串的最小数。
a（2）=12，因为12=13 _9是在base-9表示法（1和13）中具有2个非素子串的最小数。
a（3）=9，因为9=10 _9是以9为基数表示（0、1和10）中具有3个非素子串的最小数。
a（4）=83，因为83=102_9是以9为基数表示的具有4个非素数子串的最小数，它们是0、1、10和02（记住，带前导零的子串被视为非素数）。
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