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2, 5, 7, 8, 13, 14, 19, 20, 23, 26, 29, 30, 32, 35, 39, 41, 46, 50, 52, 53, 62, 63, 65, 74, 77, 92, 95, 104, 107, 109, 110, 116, 119, 128, 158, 159, 170, 173, 182, 185, 221, 248, 251, 317, 545
评论
具有递归自共轭分区的数字如下所示1990年10月。有关更多详细信息，请参阅该序列或Keith参考。
参考文献证明，该列表是详尽的。
链接
威廉·基思，递归自共轭分区，INTEGERS 11A，（2011）第12条（11页）。
例子
5，{{5}，{4,1}，}3,2}，2,2,1}，[2,1,1]}，[1,1,1,1,1}}的分区都不是自共轭的，因此5在序列中。
12的分区{4,4,2,2}是自共轭的，由Durfee正方形组成，因此12不在序列中。
30的分区{8,5,5,4,1,1}是自共轭的。我们去掉了Durfee平方{4,4,4,1}，它给我们留下了{4,1,1}这是自共轭的，但当我们从中去掉Durfee方形{1}时，我们剩下的是{1,1,1}这不是自共轭的。没有其他30的自共轭分区，因此序列中有30个。
32的两个自共轭分区都不是递归的。因此32在序列中。（结束）
数学
f[n_]：=块[{w={n}，c}，c[x_]：=Apply[Times，Most@x-Reverse@Accumulate@Reverse@Rest@x]；收获[Do[Which[And[Length@w==2，SameQ@@w]，母猪[w]；断奶[]，长度@w==1，母猪[w]；附加到[w，1]，c[w]>0，母猪[w]；附加到[w，1]，真，母猪[w]；w=MapAt[1+#&，Drop[w，-1]，-1]]，{i，无限}][[-1，1]]；用[{n=30}，补码[Range@Last@#，#]和@TakeWhile[Union@Flatten@Array[Map[Total@MapIndexed[#1^2*2^First[#2-1]&，#]&，f[#]]&，n]，#<=n^2&]](*迈克尔·德弗利格2018年10月30日*）
1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 0, 2
评论
递归自共轭分区L具有共轭L*=L。此外，消除Durfee平方和腿（与臂共轭）以留下臂L_1。L_1同样具有共轭L_1*=L_1。我们继续使用手臂，以这种方式消除新的Durfee方形和腿，直到整个隔墙处理完毕，所有手臂都是自我结合的。
我们可以通过在k位置放置一系列方块S_k来定义递归自共轭分区L，其边长随着k的增加而减少，方法如下。我们将第一个方块放在左上角，然后将2^（k-1）个方块s_k设置在所有有轴边界的地方，或者将前面的方块设置在左侧和顶部。因此，我们可以将所有递归自共轭分区L缩写为S（L）。例如，（5,4,4,4-1）={4,1}，和（10,9,8,7,6,5,4,1,2,1）={5,3,1,1}。（见基思2011年第9页图3。）
观察：当n大于约10000时，该序列的图形分成两个不同的带。对于n mod 3＝0或1，a（n）的值往往大于对于n mod 3＝2的a（n）。即使在上频带内，n mod 3=0的平均值a（n）也与n mod 3=1的平均值α（n）不同。请参见链接图-迈克尔·德弗利格2018年12月10日
例子
a（2）=0，因为（2）和（1,1）都不是递归对称的。
a（6）=1，因为6的分区（3,2,1）递归对称。S（3,2,1）={2,1}。
a（27）=2，因为（6,6,6,1,3,3）和（6,5,5,5，5,1）都是递归自共轭的。S（6,6,3,3,3）={3,3}；S（6,5,5,5,5,1）={5,1}。
a（103）=3，因为有3个103的递归自共轭分区：（13,13,13,10,10,7,6,6,3,3），（13,12,12,12,12,8,7,5,5,5-1）和（13,12,10,9,9,9，4,3,3,1）。这些可以用递归平方分别表示为{7,3,3}、{7,5,1}和{9,3,1}。
数学
f[w_]：=块[{k}，k=Total@w；Total@Map[Apply[Function[{s，t}，s Array[Boole[t<=#<=s+t-1]&，k]]，#]&，Apply[Join，Prepend[Table[Function[{v，c}，Map[{w[[k]]@取[w，k]，{k，2，长度@w}]，{w[[1]]，1}}]]]；g[n_]：=块[{w={n}，c}，c[x_]：=Apply[Times，Most@x-Reverse@Accumulate@Reverse@Rest@x]；收获[Do[Which[And[Length@w==2，SameQ@@w]，母猪[w]；断奶[]，长度@w==1，母猪[w]；附加到[w，1]，c[w]>0，母猪[w]；附加到[w，1]，真，母猪[w]；w=MapAt[1+#&，Drop[w，-1]，-1]]，{i，无限}][[-1，1]]；块[{n=12，a}，a=Merge[Map[<|#1->#2|>&@@#&，#]，Identity]&@TakeWhile[Sort@Map[{Total@#2，#1，#2}&@@{#，f[#]}&，Apply[Join，Array[g，n]]]，First@#<=n^2&][[All，1；；2]]；数组[Length[Lookup[a，#]/。k_/；MissingQ@k->{}]&，长度@a]]
不规则三角形，其中第n行包括所有递减序列S={k_0=n，k_1，k_2，…，k_m}，顺序相反，因此所有i<j<=m的后续项k_j的和不超过任何k_i。
+10
5
1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 1, 3, 3, 4, 4, 1, 4, 1, 1, 4, 2, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 1, 4, 2, 2, 4, 3, 4, 3, 1, 4, 4, 5, 5, 1, 5, 1, 1, 5, 2, 5, 2, 1, 5, 2, 1, 1, 5, 2, 2, 5, 3, 5, 3, 1, 5, 3, 1, 1, 5, 3, 2, 5, 4, 5, 4, 1, 5, 5, 6, 6, 1, 6, 1, 1, 6, 2, 6, 2, 1, 6, 2, 1, 1, 6, 2, 2, 6
评论
算法：
设S是一个以n开头的序列。设k是S中一个项的索引，n位于k=0的位置。设S_r是第n行中的第r个序列。
从S_1={n}开始，我们要么（A）在S_r的左边附加一个1，要么（B）删除最近添加的项S_（k），然后增加最右边的项（k-1）。
默认情况下，我们执行（A）并根据以下内容进行测试。考虑反向累加A_（r+1）=Sum（反向（S_（k+1）））=Sum（k_m，k_（m-1）。。。，k2、k1）。如果S_r-A_（r+1）不小于0，则S_（k+1）被保留，否则我们执行（B）。
我们在k_1=n之后结束，因为否则我们将进入一个无限循环，也会无限增加k_0。
第n行中的第一个序列S是{n}，而最后一个序列是{n，n}。
所有行n都包含{{n}、{n、1}、}n、n}}。
第n行中任何S的末尾只能出现一个重复项k。
第n行中可能的最长序列S具有2+层（log_2（n））项=2+A113473号（n） ●●●●。
序列S描述了递归对称的唯一整数分区L。示例：我们可以将S={4,2,1}转换为分区（7,6,5,4,3,2,1），即N=28的分区。我们设置了一个4X Durfee广场，其左上角位于原点。然后我们设置2^k=2^1=22X个正方形，每个正方形的左上角在任何坐标系的左侧和顶部以前面的方形或轴为边界。最后，我们再次设置2^2=41X正方形。我们获得了如下费雷尔图，其中标记了k，即第一项4X、第二项2X、第三项1X平方：
0 0 0 0 1 1 2
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 2
0 0 0 0
1 1 2
1 1
2
得到的分区L是递归自共轭的；它的胳膊和腿是一样的。我们可以消除Durfee正方形和其他附件，并具有对称分区L_1，其中Durfee平方为k_1单位等。
如果我们承认重复k超过1次，或者S_k-a_（k+1）的差值小于1，那么费勒图中就会出现重叠的正方形。这样的图是由较大的n生成的，并且根据所描述的算法，所有生成的图都是唯一的。
第n行中的序列S转换为整数分区L，求和为n^2<=n<=3*n^2。
例子
三角形开始：
1; 1,1;
2; 2,1; 2,1,1; 2,2;
三；3,1; 3,1,1; 3,2; 3,2,1; 3,3;
4; 4,1; 4,1,1; 4,2; 4,2,1; 4,2,1,1; 4,2,2; 4,3; 4,3,1; 4,4;
...
第n=5行从S_1=5开始。我们附加1以获得{5,1}。1不超过5，因此S_2={5,1}。我们附加1得到{5,1,1}。A={1,2}；{5,1}-{2,1}={3,0}，因此S_3={5,1,1}，我们去掉最后一项并增加新的最后一项，得到{5,2}。S_4={5,2}，随后的项{5,2,1}、{5,1,1}和{5,2.2}进入该行。因为在最后一个序列中有重复的项，所以我们去掉最后一个项并增加新的最后一个，得到{5,3}。允许使用术语{5,3,1}、{5,3，1,1}、}5,3,2}、[2]。{5,3,2,1,1}具有A={1,2,4,6}。{5,3,2,1}-｛6,4,2,1｝=｛-1,1,0｝：｛5,3,2,1｝不能被接纳，所以我们去掉最后一项并增加到｛5,3,2,2｝，但最后两项的总和超过了第二项，我们去掉最后一项并增加到｛5,3,3｝。出于类似的原因，这是不允许的，所以我们去掉最后一项并增加到{5,4}。这输入以及{5,4,1}。由于任何附加值或增量都被证明是无效的，因此我们最终会增加到{5,5}。这两个项是相同的，因此我们结束行n=5。
数学
（*生成序列：*）
f[n_]：=块[{w={n}，c}，c[x_]：=Apply[Times，Most@x-Reverse@Accumulate@Reverse@Rest@x]；收获[Do[Which[And[Length@w==2，SameQ@@w]，母猪[w]；断奶[]，长度@w==1，母猪[w]；附加到[w，1]，c[w]>0，母猪[w]；AppendTo[w，1]，True，播种[w]；w=MapAt[1+#&，Drop[w，-1]，-1]]，{i，无限}][[-1，1]]；数组[f，6]//展平
（*将S=第n行转换为标准分区：*）
g[w_]：=块[{k}，k=Total@w；Total@Map[Apply[Function[{s，t}，s Array[Boole[t<=#<=s+t-1]&，k]]，#]&，Apply[Join，Prepend[Table[Function[{v，c}，Map[{w[[k]]@取[w，k]，{k，2，长度@w}]，{w[[1]]，1}}]]]
不规则三角形：第n行包含具有递归对称分区的数字k，该分区具有边长为n的杜菲平方。
+10
4
1, 3, 4, 6, 10, 12, 9, 11, 15, 17, 21, 27, 16, 18, 22, 24, 28, 34, 36, 38, 40, 48, 25, 27, 31, 33, 37, 43, 45, 47, 49, 55, 57, 59, 61, 75, 36, 38, 42, 44, 48, 54, 56, 58, 60, 66, 68, 70, 72, 78, 80, 84, 86, 90, 108, 49, 51, 55, 57, 61, 67, 69, 71, 73, 79, 81
评论
对于所有n，n^2<=k<=3*n^2。
对于n>5，某些k可能在同一行中有1个以上递归自共轭分区。例如，第6行中的k=90有两个递归自共轭分区（RSCP），Durfee平方为6：（12,12,12,9,9,6,6,3,3,3）和（12,11,11,11,7,6,5,5,5，5,1）。这些RSCP可以通过分别在序列{6,3,3}和{6,5,1}中树状布置正方形来定义。
例子
三角形开始：
第1行：1，3；
第2行：4、6、10、12；
第3行：9、11、15、17、21、27；
第4行：16、18、22、24、28、34、36、38、40、48；
...
第2行包含以下递归自共轭分区，带有边长为2的Durfee正方形。下面是将边长的{2^0，2^1，2^2，…2^（m-1）}平方放在S={k_1，k_2，k_3，…，k_m}中的图：
（2,2），总和4，或平方，{2}：
11
11;
（3,2,1），总和6，或平方，{2,1}：
112
11
2;
（4,3,2,1），总和10，或以平方表示，{2,1,1}：
1123
113
23
三；
（4,4,2,2），总和12，或平方，{2,2}：
1122
1122
22
22.
数学
f[n_]：=块[｛w=｛n｝，c｝，c[x_]：=应用[次数，最多@x-反向@累积@反向@休息@x]；收获[Do[Which[And[Length@w==2，SameQ@@w]，母猪[w]；断奶[]，长度@w==1，母猪[w]；附加到[w，1]，c[w]>0，母猪[w]；附加到[w，1]，真，母猪[w]；w=MapAt[1+#&，Drop[w，-1]，-1]]，{i，无限}][[-1，1]]；数组[Union@Map[Total@MapIndexed[#1^2*2^First[#2-1]&，#]&，f[#]]&，7]//展平
1, 27, 103, 175, 198, 310, 411, 495, 627, 675, 720, 838, 880, 1008, 1014, 1191, 1245, 1296, 1575, 1776, 1911, 1953, 2011, 2136, 2160, 2416, 2502, 2673, 2736, 3015, 3123, 3195, 3270, 3450, 3528, 3600, 3696, 4041, 4248, 4251, 4323, 4356, 4410, 4518, 4531, 4716
评论
为递归自共轭分区（RCSP）的数量m设置记录的数字k。
1是序列中唯一的正方形。
以下图表A321223型表明存在有限数量的k和给定数量的m个RSCP（并非所有此类k都出现在这里）。我们知道这一点A190900型（没有RSCP的正整数）是有限的。对于指数i<=2^16，在A321223型即{1、2、3、5、8}中只有1个RSCP的那些；有120个非正方形3<=k<=590英寸A321223型m=1 RSCP。在同一范围内，有127个数字27A321223型具有m=2个RSCP和142个数字103<=k<=1280 inA321223型其具有m＝3个RSCP。这个序列包括这些有限序列的许多第一项k，所有k都有m个RSCP。
检查最小的381项（即所有k<2^16）和A321223型，我们观察到以下情况：
1.a（3）=103和a（23）=2011是唯一的素数。
a（2）=27=3^3和a（64）=6561=3^8是唯一的素数幂。
3.使k mod 3=2的数字k永远不在这个序列中。
4.只有{1、103、175、310、838、880、2011、2416、4531、4720、5872、11248、11632、12400、15136、16081、19696、20464、29296、40816、51568、52336}中的k与1（mod 3）一致；当然，这包括103和2011年的两个主要指标。似乎还有更多的k同余到1（mod 3）大于2^16。
例子
前3个术语的RSCP：
a（1）=1：（1）。
a（2）=27：（6,6,3,3,3），（6,5,5,5-1）。
a（3）=103：（13,13,13,10,10,10，10,7,6,6,3,3,3），
(13,12,12,12,12,8,7,6,5,5,5,5,1),
(13,12,12,10,9,9,9,9,9,4,3,3,1).
前5项以递归Durfee平方表示的RSCP：
a（1）=1:｛1｝。
a（2）=27:{3,3}，{5,1}。
a（3）=103:{7,3,3}，{7,5,1}，}。
a（4）=175:{9,5,3,1}，{11,3,3}，}11,5,1}、{13,1,1}。
a（5）=198:{10,5,2,2}，{10,7}，}12,3,3}，[12,5,1}，,14,1}。
a（6）=310:{12,7,3,2}，{12,9,1}，[14,5,4}，}，
{16,3,3}, {16,5,1}.
数学
f[w_]：=块[{k}，k=Total@w；Total@Map[Apply[Function[{s，t}，s Array[Boole[t<=#<=s+t-1]&，k]]，#]&，Apply[Join，Prepend[Table[Function[{v，c}，Map[{w[[k]]@取[w，k]，{k，2，长度@w}]，{w[[1]]，1}}]]]；g[n_]：=块[{w={n}，c}，c[x_]：=Apply[Times，Most@x-Reverse@Accumulate@Reverse@Rest@x]；收获[Do[Which[And[Length@w==2，SameQ@@w]，母猪[w]；断裂[]，长度@w==1，播种[w]；附加到[w，1]，c[w]>0，母猪[w]；附加到[w，1]，真，母猪[w]；w=MapAt[1+#&，Drop[w，-1]，-1]]，{i，无限}][[-1，1]]；块[{n=30，a，s}，a=Merge[Map[<|#1->#2|>&@@#&，#]，Identity]&@TakeWhile[Sort@Map[{Total@#2，#1，#2}&@@{#，f[#]}&，Apply[Join，Array[g，n]]]，First@#<=n^2&][[All，1；；2]]；s=数组[Length[Lookup[a，#]/。k_/；MissingQ@k->{}]&，长度@a]；地图[FirstPosition[s，#][[1]]&，Union@FoldList[Max，s]]]
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 23, 25, 26, 28, 29, 30, 32, 34, 37, 41, 42, 48, 49, 50, 51, 56, 57, 59, 61, 68, 71, 72, 75, 76, 79, 80, 81, 82, 84, 86, 88, 89, 92, 93, 100, 103, 108, 118, 119, 120, 122, 125, 129, 130, 135, 141, 143
数学
f[w_]：=块[{k}，k=Total@w；Total@Map[Apply[Function[{s，t}，s Array[Boole[t<=#<=s+t-1]&，k]]，#]&，Apply[Join，Prepend[Table[Function[{v，c}，Map[{w[[k]]@取[w，k]，{k，2，长度@w}]，{w[[1]]，1}}]]]；g[n_]：=块[{w={n}，c}，c[x_]：=Apply[Times，Most@x-Reverse@Accumulate@Reverse@Rest@x]；收获[Do[Which[And[Length@w==2，SameQ@@w]，母猪[w]；断奶[]，长度@w==1，母猪[w]；附录[w，1]，c[w]>0，播种[w]；附加到[w，1]，真，母猪[w]；w=MapAt[1+#&，Drop[w，-1]，-1]]，{i，无限}][[-1，1]]；块[{n=40，a}，a=Merge[Map[<|#1->#2|>&@@#&，#]，Identity]&@TakeWhile[Sort@Map[{Total@#2，#1，#2}&@@{#，f[#]}&，Apply[Join，Array[g，n]]]，First@#<=n^2&][[All，1；；2]]；Union@FoldList[Max，Array[Length[Lookup[a，#]/。k_/；MissingQ@k->{}]&，长度@a]]]
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