显示找到的18个结果中的1-10个。
10, 26, 65, 82, 122, 145, 226, 362, 485, 626, 785, 842, 901, 1157, 1226, 1522, 1765, 1937, 2026, 2117, 2305, 2402, 2501, 2602, 2705, 3365, 3482, 3601, 3722, 3845, 4097, 4226, 4762, 5042, 5777, 6085, 6242, 6401, 7226, 7397, 7745, 8465, 9026, 9217, 10001, 10202
评论
Iwaniec证明了存在无穷多个半素数或形式为n^2+1的素数。因为n^2+1不是n>0的平方,所以所有这些半素数都有两个不同的素因子。
此外,这意味着n^2+1的一个素因子p严格小于n,因此也是m^2+1(通常小得多)的除数,其中m=n%p(二进制“mod”运算)-M.F.哈斯勒2012年3月11日
数学
选择[表格[n^2+1,{n,100}],PrimeOmega[#]==2&](*文森佐·利班迪2012年9月22日*)
黄体脂酮素
(PARI)选择(n->bigomega(n)==2,向量(500,n,n^2+1))\\Zak Seidov 2011年2月24日
(Magma)IsSemiprime:=func<n|&+[d[2]:d在因式分解(n)]eq 2>中;[1..100]|IsSemiprime中的[s:n,其中s是n^2+1]//文森佐·利班迪2012年9月22日
(Python)
来自sympy import primeomega
来自itertools导入计数,takewhile
定义缺陷(极限):
形式=takewhile(λx:x<=极限,(计数(1)中k的k**2+1))
return[primeomega(number)==2]
这种形式的两个连续素数之间的形式为n^2+1的复合数。
+10 6
0, 1, 1, 3, 3, 1, 3, 3, 1, 9, 3, 13, 1, 9, 7, 9, 5, 3, 15, 5, 3, 3, 1, 3, 3, 11, 3, 5, 3, 9, 5, 3, 3, 19, 1, 3, 13, 5, 5, 3, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 3, 15, 5, 7, 11, 13, 9, 33, 1, 9, 3, 5, 13, 9, 5, 3, 3, 19, 1, 3, 3, 15, 5, 39, 7, 11, 13, 5, 7, 9, 39, 1, 7, 1, 7
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i: =0:对于从2到1000的n,do:x:=n^2+1:如果类型(x,素数)=true,则printf(`%d,`,i):i:=0:否则i:=i+1:fi:od:
数学
cfn2[{a_,b_}]:=计数[范围[a+1,b-1],_?(整数Q[Sqrt[#-1]]&)];cfn2/@Partition[Select[Prime[Range[50000]],IntegerQ[Sqrt[#-1]]&],2,1](*哈维·P·戴尔2019年1月13日*)
黄体脂酮素
(PARI)c=0;对于(n=2,1e9,!ispseudoprime(n^2+1)&c++&next;打印1(c“,”);c=0)\\M.F.哈斯勒2012年2月7日
10, 26, 50, 58, 65, 74, 82, 85, 106, 122, 125, 130, 145, 170, 185, 202, 218, 226, 250, 265, 274, 290, 298, 314, 325, 338, 346, 362, 365, 370, 394, 425, 442, 445, 458, 481, 485, 493, 530, 533, 538, 554, 565, 586, 610, 626, 629, 634, 685, 697, 698, 730, 746
评论
对于k=0.,小于或等于10^k的项数:0, 1, 8, 71, 712, 6702, 63485, 602870, ... . -罗伯特·威尔逊v2008年7月20日
链接
J.P.Robertson和K.R.Matthews,Feit结果的连续分式方法阿默尔。数学。月刊,115(2008年第4期),346-349。
例子
3^2-10*1^2=-1,所以10是一个成员。
4005^2-106*389^2=-1,所以106是一个成员。
数学
lst={};做[If[!PrimeQ@n&&FindInstance[x^2-n*y^2==-1,{x,y},Integers]!={},附加到[lst,n]],{n,2,1000}]
2, 5, 2, 13, 2, 5, 13, 41, 2, 5, 17, 29, 61, 2, 113, 2, 5, 13, 29, 181, 2, 5, 13, 17, 53, 97, 2, 313, 2, 5, 13, 17, 37, 41, 53, 73, 89, 109, 157, 421, 613, 2, 5, 17, 137, 761, 2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 61, 73, 149, 281, 353, 461, 541, 1013, 1201, 1301, 2, 17
评论
在序列的图中可以显示出以{2,5,…}开始的各种推测的无限子序列。如果形式n^2+1的素数是有限的,那么图的最后一个子序列突然变成A002144号(n) 并集{2}(数字为2的奇数毕达哥拉斯素数)。在这种情况下,图形的中断形式将消失。但这种情况极不可能发生。
例子
除数的不规则三角形是:
[2, 5]
[2, 13]
[2, 5, 13, 41]
[2, 5, 17, 29, 61]
[2, 113]
[2, 5, 13, 17, 53, 97]
...
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with(numtheory):lst:={}:对于从2到150的n,do:p:=n^2+1:x:=因子集(p):lsd:=lst联合x:如果type(p,prime)=true,则打印(lst减去{p}):ls:={}:否则fi:od:
0, 2, 2, 4, 5, 2, 5, 6, 2, 13, 5, 17, 3, 12, 11, 15, 9, 6, 21, 11, 6, 7, 3, 7, 7, 18, 7, 10, 6, 14, 11, 7, 6, 29, 2, 6, 22, 10, 10, 6, 16, 12, 6, 5, 11, 15, 6, 24, 12, 13, 19, 21, 15, 45, 3, 17, 6, 11, 24, 15, 9, 9, 6, 28, 3, 7, 7, 26, 10, 55, 14, 21, 24, 8
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with(numtheory):lst:={}:对于从2到600的n do:p:=n^2+1:x:=因子集(p):lsd:=lst联合x:如果type(p,prime)=true,则m:=nops(lst减去{p}):printf(`%d,`,m):lst:={}:else fi:od:
a(n)是最小的数字k>0,即k^2+1,(k+1)^2+1,。。。,(k+n)^2+1是复合数。
+10 2
1, 3, 8, 7, 32, 31, 30, 29, 28, 27, 44, 43, 42, 41, 96, 95, 188, 187, 186, 185, 364, 363, 362, 361, 360, 359, 358, 357, 356, 355, 354, 353, 352, 351, 502, 501, 500, 499, 498, 497, 3396, 3395, 3394, 3393, 3392, 3391, 3578, 3577, 3576, 3575, 3574, 3573, 3572
例子
a(0)=1,因为1^2+1是素数。
a(1)=3,因为3^2+1是复合的,而4^2+1则是质数。
a(2)=8,因为8^2+1,9^2+1是复合的,而10^2+1则是质数。
a(3)=7,因为7^2+1、8^2+1和9^2+1是复合的,而10^2+1则是质数。
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对于从0到60的n,do:ii:=0:对于从1到10^8的k,而(ii=0)do:i:=0:对于从0至n的m,而(键入((k+m)^2+1,素数)=false)do:i:=i+1:od:如果i=n,则ii:=1:printf(`%d,`,k):否则fi:od:od:
数学
nn=50;t=表[0,{nn}];cnt=0;k=0;当[cnt<nn,k++;i=0;当[!素数Q[(k+i)^2+1],i++];如果[i<nn&&t[[i+1]]==0,t[[i+1]]=k;cnt++]];吨(*T.D.诺伊2013年12月10日*)
数k,使k^2+1=p*q,p和q素数为p==q(mod k)。
+10 1
3, 8, 12, 144, 1020, 8040, 13860, 34840, 729180, 1728240, 3232060, 17576520, 39279240, 85184880, 117649980, 778689840, 884737920, 1225045140, 1771563420, 3723878100, 3869896140, 4574299320, 7762395960, 12487172640, 14348911860, 14886940920, 21484957560, 24137574780
评论
q-p=k,其中k=3,8144。
q-p=k的下一项是F(432)=85738…5984和F(570),其中F(n)是第n个斐波那契数。所有这些条款都在A001906号; 下一个这样的术语(如果有)有超过25000个十进制数字-查尔斯·格里特豪斯四世2011年1月21日
例子
a(3)=12,因为12^2+1=5*29和29-5=2*12;
a(8)=34840,因为34840^2+1=4289*283009和283009-4289=278720=8*34840。
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with(numtheory):对于从1到40000的k,do:x:=k^2+1:y:=factorset(x):yy:=bigoga(x):if
yy=2和irem(y[2],k)=y[1],然后打印f(`%d,`,k):否则fi:od:
黄体脂酮素
(PARI)w(m,r)=Vec(x*(1-x)/(1-(m^2+2)*x+x^2)+O(x^r));
isok(s,t)=一素数(s)&&一素数;
列表a(nn)={my(g,k,m=1,r,u=w(1,nn),v=列表([])i]^2-4))/2;如果(k<g,如果(isok(u[i],m*k),listput(v,k),r=i;break));设置(v);}\\王金源2020年3月29日
扩展
插入的缺少术语和来自的更多术语王金源2020年3月30日
数k,使k^2+1=p*q,p和q素数,且|p-q|是平方的。
+10 1
30, 100, 144, 274, 484, 516, 526, 756, 1046, 1250, 1714, 1806, 1834, 2284, 2440, 2610, 2940, 3524, 3824, 4190, 5084, 5746, 6766, 7486, 9746, 9920, 10310, 13024, 13210, 15396, 16916, 17546, 18726, 19256, 20000, 21194, 23214, 24964, 30370, 30394, 31126, 31496, 35180, 36680, 37816
评论
注意,如果k^2+1=p*q,那么p+q不能是正方形。用矛盾证明。有两种情况:p是奇数素数,p=2。情形1:假设p和q是奇数素数,q=y^2-p。注意,y必须是偶数,q才能是奇数。然后,对于一些偶数x,p(y^2-p)=x^2+1。重新排列项,我们得到p*y^2-1=p^2+x^2。看看这个以4为模的方程,我们得到了-1=1,这是一个矛盾。情况2:设p=2。然后我们得到2y^2-x^2=5,它在整数中没有解-T.D.诺伊2011年3月10日
例子
20000按顺序排列,因为20000^2+1=19801*20201和20201-19801=20^2。
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使用(数字理论):nn:=50000:对于i从1到nn do:n:=i^2+1:x:=系数集(n):x1:=nops(x):x2:=bigomega(n);如果x1=2和x2=2,则z:=x[2]-x[1]:w:=sqrt(z):如果w=floor(w),则打印f(`%d,`,i):else fi:else fi:od:
#备选方案:
N: =500:#得到a(1)到a(N)
计数:=0:
当计数<N do时,k从2乘以2
f: =ifactors(k^2+1)[2];
如果nops(f)=2和{f[1,2],f[2,2]}={1}和issqr(abs(f[1,1]-f[2,1])),则
计数:=计数+1;
A[计数]:=k;
fi(菲涅耳)
日期:
数学
okQ[k_]:=模块[{ff=FactorInteger[k^2+1]},长度[ff]==2&ff[[All,2]]=={1,1}&&IntegerQ[Sqrt[ff[[2,1]]-ff[[1,1]]]];
黄体脂酮素
(鼠尾草)
A=[]
对于范围(22000,2)中的k:
K=K^2+1
f=素数除数(K)
如果len(f)==2:
如果mul(f)==K:
如果是平方(abs(f[0]-f[1])):
A.附录(k)
0, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 4, 1, 4, 2, 7, 1, 4, 7, 6, 4, 2, 6, 4, 2, 4, 1, 2, 2, 4, 4, 3, 2, 5, 4, 3, 2, 10, 1, 2, 7, 4, 2, 3, 5, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 4, 6, 5, 4, 7, 4, 7, 1, 5, 3, 2, 7, 5, 3, 4, 2, 8, 1, 2, 4, 7, 2, 9, 5, 4, 12, 2, 4, 6, 10, 1, 4, 1, 2, 9, 2, 5, 2, 4
评论
这个序列的直接目的是表明,很难从n^2+1的分解中获得大范围的连续勾股素数,因为a(n)的增长非常缓慢,例如a(351)=29,a(22215)=34。。。
这些考虑证实了关于n^2+1形式素数无穷大猜想真实性的观点。这个序列给出了从{2,5,…}开始的连续素数的各种推测无限子序列的长度。如果形式n^2+1的素数是有限的,那么应该存在最后一个素数p,这样序列就会从p突然停止,因为A002144号(n) 是无限的。在这种情况下,我们应该观察到a(n)的缓慢增长的稳定性和质数p的不连续性之间这个序列的矛盾行为。但这种情况是极不可能的。
例子
a(8)=4,因为素数之间所有数k^2+1的素除数的并集A002496号(8) =401和A002496号(9) =577是{2,5,13,17,53,97},并且子集{2}并集{5,13,17}包含4个连续元素,因此4在序列中。
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使用(数字理论):lst:={2}:lst1:={}:
对于从1到1000的k,do:q:=4*k+1:
如果type(q,prime)=true,则
lst:=lst联合{q}:else fi:
日期:
五十: =底土(lst):
对于从2到1000的n,do:p:=n^2+1:x:=系数集(p):lst1:=lst1联合x:
如果类型(p,prime)=true,则
z: =lst1减去{p}:n1:=nops(z):jj:=0:d0:=0:
对于从1到n1的j,而(jj=0)则:
d: =nops(z与L[1..j]相交):如果d>d0,则
d0:=d:
其他的
jj:=1:fi:
日期:
lst1:={}:printf(`%d,`,d0):
图1:
日期:
数n,使n^2+1=p*q,p<q素数,q-p是2的幂。
+10 1
8, 100, 3524, 5084, 36680, 77980, 21474824, 134201344, 148647496, 300741464, 73851531256, 153122539756, 778318386944, 6669171349484, 16526971109344, 596403262068016, 9376599920124524, 26698166963373164, 140144514160214876, 1613032378604451500
评论
注意,如果n^2+1=p*q,那么p+q不能是2的幂。矛盾证明:有两种情况:p是奇素数,p=2。情形1:假设p和q是奇数素数,q=2^m-p。然后p(2^m-p)=n^2+1对于一些偶数n。重新排列项,我们得到p*2^m-1=p^2+n^2。看这个模为4的方程,我们得到了-1=1,这是一个矛盾。情况2:设p=2。然后我们得到2^(m+1)-n^2=5,它在整数中没有解。
例子
8^2+1=65=5*13和13-5=2^3;
100^2+1=10001=73*137和137-73=2^6;
3524^2+1=12418577=3049*4073和4073-3049=2^10。
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with(numtheory):对于从1到200000 do:p:=ithprime(a):对于从1到50 do:q:=p+2^i:如果type(q,prime)=true,则x:=sqrt(p*q-1):如果x=floor(x),则print(x):否则fi:fi:od:od:
数学
选择[范围[10^6]!PrimeQ[#^2+1]&&Plus@@Last/@FactorInteger[#^2+1]==2&&PrimeNu[#^2+1]==2&&IntegerQ[Log[2],FactorInteger[#^2+1][[2]][1]]-FactorInteger[#^2+1][[1]][[1]]]]&
黄体脂酮素
(PARI)isok(n)=(bigomega(n^2+1)==2)&(f=因子(n^2+1))&((f[2,1]-f[1,1])==2^(估值(f[2,1]-f[1,1],2))\\米歇尔·马库斯2014年3月7日
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