显示找到的125个结果中的1-10个。
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三
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5
6
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8
9
10...13
1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 14, 16, 21, 23, 29, 32, 36, 40, 48, 51, 60, 64, 70, 75, 86, 90, 100, 106, 115, 121, 135, 139, 154, 162, 172, 180, 192, 198, 216, 225, 237, 245, 265, 271, 292, 302, 314, 325, 348, 356, 377, 387, 403, 415, 441, 450, 470, 482
评论
a（n）={（x，y）：1<=x<=y<=n，x+y<=n，1=gcd（x，y）}|={-史蒂夫·巴特勒，2006年3月31日
Brousseau证明了如果广义Fibonacci序列的起始数<=n（对于n>1），则具有相对素数连续项的此类序列的数目为a（n）-阿米拉姆·埃尔达尔2017年3月31日
配方奶粉
a（n）=1/2+和{i<j<=n，gcd（i，j）=1}i/j-Joseph小麦2018年2月22日
MAPLE公司
a： =n->总和（数值[phi]（k），k=1..n）：seq（a（n）/2，n=2..60）#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年3月5日
数学
休息@累计[EulerPhi@范围@56]/2(*迈克尔·德弗利格2017年4月2日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=总和（k=1，n，eulerphi（k））/2\\米歇尔·马库斯，2017年4月1日
（GAP）列表（[2..60]，n->总和（[1..n]，k->Phi（k）/2））#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年3月5日
（Python）
从functools导入lru_cache
@lru_cache（最大大小=无）
如果n==0：
返回0
c、 j=0，2
k1=无
当k1>1时：
j2=无/无k1+1
j、 k1=j2，n//j2
返回（n*（n-1）-c+j）//4#柴华武2021年3月25日
1, 32, 3044, 304192, 30397486, 3039650754, 303963552392, 30396356427242, 3039635516365908, 303963551173008414, 30396355092886216366, 3039635509283386211140, 303963550927059804025910, 30396355092702898919527444, 3039635509270144893910357854, 303963550927013509478708835152
数学
s=0；k=1；做[While[k<=10^n，s=s+EulerPhi[k]；k++]；打印[s]，{n，0，8}]
1, 4, 12, 24, 50, 72, 126, 176, 252, 320, 462, 552, 754, 896, 1080, 1280, 1632, 1836, 2280, 2560, 2940, 3300, 3956, 4320, 5000, 5512, 6210, 6776, 7830, 8340, 9548, 10368, 11352, 12240, 13440, 14256, 15984, 17100, 18486, 19600, 21730, 22764, 25112
评论
分母<=n且值介于1/n和n（含）之间的约化分数。[莱因哈德·祖姆凯勒，2009年1月15日]
配方奶粉
a（n）=总和（总和（0^（GCD（i，j）-1）：1<=j<=i*n）：1≤i<=n）。[莱因哈德·祖姆凯勒，2009年1月15日]
例子
a（4）=24=第4行三角形项之和A143269号: (4 + 4 + 8 + 8).
a（3）={1/3,1/2,2/3,1,4/3,3/2,5/3,2,7/3,5/2,8/3,3}=12。[莱因哈德·祖姆凯勒，2009年1月15日]
数学
模[{nn=50，ps}，ps=累加[EulerPhi[Range[nn]]]；时间@@@线程[{范围[nn]，ps}]](*哈维·P·戴尔2023年6月4日*）
黄体脂酮素
（Python）
从functools导入lru_cache
@lru_cache（最大大小=无）
如果n==0：
返回0
c、 j=0，2
k1=无
当k1>1时：
j2=无/无k1+1
j、 k1=j2，n//j2
返回n*（n*（n-1）-c+j）//2#柴华武2021年3月25日
考虑n阶Farey序列，F_n，并且F_n中任意两个相邻对之间的平均距离为1/A002088号（n） 。则a（n）是差值小于平均值的相邻对的数量。
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4
0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 6, 8, 8, 12, 14, 18, 18, 20, 26, 28, 32, 32, 40, 42, 46, 48, 58, 58, 66, 76, 78, 84, 88, 94, 100, 106, 114, 120, 126, 128, 142, 150, 162, 166, 178, 178, 194, 200, 206, 214, 230, 236, 246, 250, 266, 274, 292, 296, 312, 322, 338, 344, 360, 360, 388, 400, 408, 416, 436
评论
因为法利分数约为1/2对称，所以a（n）总是偶数。
推测：这是一个单调的序列。对于n=0、1、3、4、8、12、17、23、41和59，a（n）=a（n+1）。
相反，如果问题是当差值等于平均值时，则序列变为0，1，2，0，2，2，0,0，0，2,0，2,1，2，2,2，0,1。A262670型.
f（1000）=100972，
f（2000）=403750，
f（3000）=908068，
f（4000）=1614072，
f（5000）=2522376，
f（6000）=3631762，
f（7000）=4943332，
f（8000）=6456904，
f（9000）=8171296，
f（10000）=10088132。
参考文献
Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，《数学娱乐女王》，第十六章，“Farey Tails”，多佛出版社，纽约，1966年，第168-172页。
配方奶粉
a（n）=（n/Pi）^2+O（n/3*（log（n））^（2/3）*。
例子
a（5）=2。F_5={0，1/5，1/4，1/3，2/5，1/2，3/5，2/3，3/4，4/5，1}，第一个正向差是{1/5，1/20，1/12，1/15，1/10，1/15。自A002088号（5） =10，这也是相邻线对的数量，a/b和c/d。
数学
f[n_]：=块[{diff=Differences@Union@Flatten@Table[a/b，{b，n}，{a，0，b}]，ave=1/Sum[EulerPhi[m]，{m，n}]}，}Length@Select[diff，ave<#&]，Length@选择[diff、ave==#&]、长度@Select[diff，ave>#&]}]；数组[f[#][1]&，65，0]
考虑n阶Farey序列，F_n，并且F_n中任意两个相邻对之间的平均距离为1/A002088号（n） 。则a（n）是差值为平均值的相邻对的数量。
+20
三
0, 1, 2, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 2, 4, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 2, 2, 2, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
评论
因为当n>1时，法利分数约为1/2对称，所以a（n）总是偶数。
按索引首次出现k，如果不存在，则为-1：0、1、2、-1、60、-1、64、-1、207、-1、1047、-1，1084、-1。
其中0出现：0，3，7，8，10，12，13，14，17，20，22，23，26，28，30，32，33；
其中2发生：2、4、5、6、9、11、15、16、18、19、21、24、25、27、29、31、36、37、38；
其中4出现：60、68、120、129、148、158、159、168、180、216、225、231、239、241、249；
其中6出现：65、227、401、403、492、600、616、780、861、862、865、967、1019、1054；
其中8出现在：208、1210、1367、1803、1804、1841、1866、2397、2864、3281、3443、3724；
其中10发生在：1048、1094、1632、1949、2269、2571、2710、3365、3555、3558、3613、3939；
其中12出现：1085，1358，2541，3251，4411；
其中18出现：4830；
前5001项：3315个零、1个1、1138个2、414个4、96个6、19个8、12个10、5个12和1个18。
参考文献
Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，《数学娱乐女王》，第十六章，“Farey Tails”，多佛出版社，纽约，1966年，第168-172页。
例子
a（5）=2。F_5={0，1/5，1/4，1/3，2/5，1/2，3/5，2/3，3/4，4/5，1}，第一个正向差是{1/5，1/20，1/12，1/15，1/10，1/15。自A002088号（5） =10，这也是相邻线对的数量，a/b和c/d。
数学
f[n_]：=块[｛diff=Differences@Union@Flatten@Table[a/b，｛b，n｝，｛a，0，b｝]，ave=1/Sum[EulerPhi[m]，｛m，n｝]｝，｛Length@Select[diff，ave<#&]，Length@Select[diff，ave=#&]，Length@Select[diff，ave>#&]｝]；数组[f，65]
820, 1276, 1926, 2080, 2640, 3160, 3186, 3250, 4446, 4720, 4930, 5370, 6006, 6546, 7386, 7450, 7476, 9066, 9276, 10626, 10836, 13146, 13300, 15640, 15666, 16056, 16060, 16446, 17020, 17466, 17550, 17766, 18040, 18910, 19176, 19230, 19416, 20736, 21000, 21246
评论
詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特在1883年推测A002088号（n） 对于所有n，>3n^2/Pi^2。
1936年，M.L.N.Sarma发现了第一个反例820。
Paul Erdős和Harold N.Shapiro在1951年证明了A002088年（n） -3n^2/Pi^2在无穷多个n值处改变符号，因此该序列是无限的。
R.A.MacLeod于1987年证明A002088号（n） /n^2-3/Pi^2在第二学期的最小值为1276。
参考文献
Sukumar Das Adhikari，丢番图方程解的个数的平均行为和平均技术，数论：丢番图、计算和代数方面：1996年7月29日至8月2日在匈牙利埃格尔举行的国际会议记录。沃尔特·德·格鲁伊特（Walter de Gruyter），1998年。
W？adys？aw Narkiewicz，《20世纪的有理数理论》，施普林格伦敦，2012年，第215页。
M.L.N.Sarma，《关于特定金额中的误差项》，《印度科学院院刊》，a节，第3卷，第1期（1936年），第338-338页。
链接
Paul Erd和Harold N.Shapiro，关于某一误差函数符号的变化《加拿大数学杂志》，第3卷（1951年），第375-385页。
例子
A002088号（820）=204376，3*820^2/（Pi^2）=204385.091643…>204376，因此820位于该序列中。
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F： =ListTools:-PartialSums（映射（数字：-phi，[$1..30000]）：
选择（t->是（F[t]<3*t^2/Pi^2），[1..30000]美元）#罗伯特·伊斯雷尔2017年4月21日
数学
s=0；k=1；lst={}；而[k<50001，s=s+EulerPhi@k; 如果[s*Pi^2<3 k^2，则附加到[lst，k]]；k++]；第一次
1, 2, 8, 12, 40, 24, 108, 88, 168, 128, 420, 184, 696, 384, 576, 640, 1536, 612, 2160, 1024, 1680, 1500, 3784, 1440, 4000, 2544, 4140, 2904, 7560, 2224, 9240, 5184, 6880, 5760, 9216, 4752, 15552, 8100, 11376, 7840, 21200, 6504, 24528, 12080, 15072, 14300
例子
a（5）=40=第5行三角形项之和A143230型: (4 + 4 + 8 + 8 + 16).
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带有（数字理论）：
a:=proc（n）return phi（n）*add（phi（k），k=1..n）：结束：
数学
a[n_]：=a[n]=EulerPhi[n]*和[EulerPhi[k]，{k，n}]；
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=总和（k=1，n，eulerphi（k））*eulerpchi（n）\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年2月21日
（岩浆）
A143231号：=函数（&+[EulerPhi（k）：[1..n]]中的k）>；
（SageMath）
定义A143231号（n） ：return euler_phi（n）*sum（范围（1，n+1）中的k的euler_phi（k））
{phi（n）}，1，1，2，2，4，2，…的连续变换。。(A002088号).
+20
1
1, 2, 5, 12, 53, 118, 761, 3162, 19733, 82094, 840673, 3444786, 42178105, 256513416, 2094285433, 17010796880, 274267035513, 1662613009958, 30201301214757, 243273022728014, 2949477573950925, 29738048762237264, 657186550343170733, 5287230451507603128
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带有（数字理论）：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n<0，0，
`如果`（n=0，1，φ（n）*a（n-1）+a（n-2））
结束时间：
0, 4, 8, 16, 24, 40, 48, 72, 88, 112, 128, 168, 184, 232, 256, 288, 320, 384, 408, 480, 512, 560, 600, 688, 720, 800, 848, 920, 968, 1080, 1112, 1232, 1296, 1376, 1440, 1536, 1584, 1728, 1800, 1896, 1960, 2120, 2168, 2336, 2416, 2512, 2600, 2784, 2848, 3016, 3096
黄体脂酮素
（Python）
从functools导入lru_cache
@lru_cache（最大大小=无）
如果n==0：
返回0
c、 j=0，2
k1=无
当k1>1时：
j2=无/无k1+1
j、 k1=j2，n//j2
返回2*（n*（n-1）-c+j）#柴华武2021年3月25日
2, 1, 2, 2, 1, 1, 46, 459, 2, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 8, 18, 1, 1, 1, 1, 6, 5, 6, 14, 1, 2, 1, 1, 140, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 9, 16, 1, 2, 1, 1, 1, 15, 1, 3, 55, 1, 1, 12, 1, 1, 5, 4, 6, 13, 2, 2, 7, 2, 32, 1, 1, 6, 1, 1, 54, 1, 1, 1, 21, 1, 2, 1, 3, 4, 5, 15, 1, 6, 1, 2, 5, 1, 1, 7, 1, 834, 2, 1, 4, 8, 3, 2, 3, 1, 5
数学
<<NumberTheory`ContinuedFractions`cf=连续分数[（Pi^4）/36256]
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