前几行系数的单项式与阿布拉莫维茨和斯特根的分区顺序相反(链接至A000041号,第831-2页)
0) 1;
1) 1;
2) -1, 1;
3) 3, -4, 1;
4) -15, 25, -4, -7, 1;
5) 105, -210, 70, 60, -15, -11, 1;
6) -945, 2205, -1120, -630, 70, 350, 126, -15, -26, -16, 1;
7) 10395, -27720, 18900, 7875, -2800, -6930, -1638, 560, 455, 784, 238, -56, -42, -22, 1;
8) -135135, 405405, -346500, -114345, 84700, 138600, 24255, -2800, -27300, -11025, -18900, -3780, 1575, 1344, 2142, 1596, 414, -56, -98, -64, -29, 1;
...
前几个分区多项式是
E_0^{(-1)}=1,
E_1^{(-1)}=a1,
E_2^{(-1)}=-a1^2+a2,
E_3^{(-1)}=3a1^3-4a1a2+a3,
E_4^{(-1)}=-15a1^4+25a1^2a2-4a2^2-7a1a3+a4,
E_5^{(-1)}=105 a1^5-210 a1^3 a2+70 a1 a2^2+60 a1^2 a3-15 a2 a3-11 a1 a4+a5,
E_6^{(-1)}=-945 a1^6+2205 a1^4 a2-1120 a1^2 a2^2-630 a1^3 a3+70 a2^3+350 a1 a2 a3+126 a1^2a4-15 a3^2 a4-16 a1 a5+a6,
E_7^{(-1)}=10395 a1^7-27720 a1^5 a2+18900 a1^3 a2^2+7875 a1^4 a3-2800 a1 a2^3-6930 a1^2 a2 a3-1638 a1^3a4+560 a2^2a3+455 a1 a3^2+784 a1 a2 a4 a2 a4+238 a1^2a5-56 a3 a4-42 a2 a5-22 a1 a6+a7,
E_8^{(-1)}=-135135 a1^8+405405 a1^6 a2-346500 a1^4 a2^2-114345 a1^5 a3+84700 a1^2 a2^3+138600 a1^3 a2+24255 a4^4 a4-2800 a2^4-27300 a1 a2^ 2 a3-11025 a4^2 a3^2-18900 a2^1 a4^3 a4-3780 a3^3 a5+1575 a2^2+1344 a2a4^2a4a4a4 2142 a1 a3 a4+1596 a1 a2 a5+414 a1 ^2 a6-56 a4 ^2-98 a3 a5-64 a2 a6-29 a1 ma7+a8,
... .
替换标识示例:
使用置换hedra多项式
P_1=-a_1,
P_ 2=2*a_1^2-a_2,
P_3=-6*a_1^3+6*a_2*a_1-a_3,
精化欧拉多项式
E_ 1=a_1时,
E_2=a_1^2+a_2,
E_3=a_1^3+4*a_1*a_2+a_3,
倒数切线多项式
RT_1=-a_1,
RT_2=-a_2+a_1^2,
RT_3=-a_3+2*a_1*a_2-a_1^3,
拉格朗日反演多项式
L_1=-a_1,
L_2=3*a_1^2-a_2,
L_3=-15*a_1^3+10*a_1a_2-a_3,
然后
E类^{-1}_3=P_3(L_1,L_2,L_3)=-6*(-a_1)^3+6*(3*a_1^2-a_2)*(-a_1)-(-15*a_1 ^3+10*a_1*a_2-a_3)=3*a_1_3-4*a_2*a_1+a_3,
E类^{-1}_3=RT_3(P_1,P_2,P_3)=-(-6*a_1^3+6*a_2*a_1-a_3)+2*(-a_1)*,
E类{-1}_3(E_1,E_2,E_3)=3*a_1^3-4*a_1*(a_1^2+a_2)+(a_1 ^3+4*a_1*a_2+a_3)=a_3。