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| A155100个 |
| 按行读取的三角形：多项式P_n（u）中的系数，由D^（n-1）（tan x）在n>=1时以tan x的递增幂展开，在n=0时以1展开。 |
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17
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1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 2, 2, 0, 8, 0, 6, 0, 16, 0, 40, 0, 24, 16, 0, 136, 0, 240, 0, 120, 0, 272, 0, 1232, 0, 1680, 0, 720, 272, 0, 3968, 0, 12096, 0, 13440, 0, 5040, 0, 7936, 0, 56320, 0, 129024, 0, 120960, 0, 40320, 7936, 0, 176896, 0, 814080, 0, 1491840
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,8
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评论
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对于n>=1，定义为d^（n-1）tan x/dx^n=P_n（tan x），对于n=0，定义为1。
在阶乘和正切数之间插值。
在[Verges]中可以找到多项式P_n（t）作为某些类型的符号置换的符号变化统计的生成函数的组合解释。
有符号置换是一个整数序列（x_1，x_2，…，x_n），例如{|x_1|，|x_2|，…，|x_n|}={1,2，…，n}。
它们组成一个群，即2^n*n阶超八面体群=A000165号（n） ，与n维立方体的对称群同构。
让x_1，。。。，x_n是一个有符号置换，设x_0=-（n+1）和x_（n+1）=（-1）^n*（n+1）。那么x_0，x_1，。。。，当x_0<x_1>x_2<。。。x（n+1）。例如，-5 4-3-1-2 5是S（4）类型的蛇。
设sc是通过蛇sc=#{i，0<=i<=n，x_i*x_（i+1）<0}的符号变化数。例如，蛇-54-3-1-25的sc=3。
多项式P_（n+1）（t）是S（n）型蛇的符号变化统计量的生成函数：P_（n+1）（t=sum{蛇在S（n，n）}t^sc中。
关于n=1和n=2的情况，请参见下面的示例部分。
（结束）
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》，Addison-Wesley，Reading，马萨诸塞州，1998年第二版，第287页。
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链接
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M.-P.Grosset和A.P.Veselov，伯努利数和孤子，arXiv:math/0503175[math.GM]，2005年。
Donald E.Knuth和Thomas J.Buckholtz，切线、欧拉和伯努利数的计算，数学。公司。21 1967 663-688.
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配方奶粉
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如果多项式用P_n（u）表示，则我们有递推P_{-1}=1，P_0=u，P_n=（u^2+1）*dP_{n-1}/du。
G.f.：总和_｛n>=0｝P_n（u）t^n/n！=（sint+u*cost）/（cost t-u sint）。[霍夫曼]
设T（n，T）=P_n（i*T），其中i=sqrt（-1）。我们有明确的积分求值，当m和n都大于等于1且m+n大于等于4时有效：
int（T（m，T）*T（n，T）/（1-T^2），T=-1..1）=（-1）^（（m-n）/2）*2^（m+n-1）*Bernoulli（m+n-2）。
情况m=n等价于[Grosset and Veselov]的结果。这里使用的方法扩展到一般情况。
与其他行多项式的关系
以下三个恒等式适用于n>=1：
P_（n+1）（t）=（1+t^2）*R（n-1，t）其中R（n，t）是A185896号.
P_（n+1）（t）=（-2*i）^n*（t-i）*R（n，-1/2+1/2*i*t），其中i=sqrt（-1），R（n、x）是一个有序Bell多项式，即A019538年.
P_（n+1）（t）=（t-i）*（t+i）^n*A（n，（t-iA008292号.（结束）
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例子
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指数降序的多项式P_{-1}（u）到P_6（u）：
1
u个
u^2+1
2*u^3+2*u
6*u^4+8*u^2+2
24*u^5+40*u^3+16*u
120*u^6+240*u^4+136*u^2+16
720*u^7+1680*u^5+1232*u^3+272*u
...
三角形开始：
1
0, 1
1, 0, 1
0, 2, 0, 2
2, 0, 8, 0, 6
0, 16, 0, 40, 0, 24
16, 0, 136, 0, 240, 0, 120
0, 272, 0, 1232, 0, 1680, 0, 720
272, 0, 3968, 0, 12096, 0, 13440, 0, 5040
0, 7936, 0, 56320, 0, 129024, 0, 120960, 0, 40320
7936, 0, 176896, 0, 814080, 0, 1491840, 0, 1209600, 0, 362880
0, 353792, 0, 3610112, 0, 12207360, 0, 18627840, 0, 13305600, 0, 3628800
...
S（n）型蛇的符号变化统计sc示例：
蛇#符号改变sc t^sc
=========== ================= ====
n=1：
-2 1 -2 ........... 2 ........ t^2（吨^2）
-2 -1 -2 ........... 0 ........ 1
产生P_2（t）=1+t^2；
n=2：
-3 1 -2 3 ........ 三。。。。。。。。t^3（吨^3）
-3 2 1 3 ........ 1 ........ t吨
-3 2 -1 3 ........ 三。。。。。。。。t^3（吨^3）
-3 -1 -2 3 ........ 1 ........ t吨
产生P_3（t）=2*t+2*t^3。（结束）
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MAPLE公司
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P： =proc（n）选项记忆；
如果n=-1，则返回（1）；elif n=0，然后返回（u）；else RETURN（展开（（u^2+1）*diff（P（n-1），u））；fi；
结束；
对于从-1到12的n，做t1:=系列（P（n），u，20）；lprint（系列列表（t1））；日期：
#或者：
使用（PolynomialTools）：seq（打印（系数列表（`if`（i=0，1，D@@（i-1））（tan），tan）），i=0..7）#彼得·卢什尼2015年5月19日
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数学
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p[n_，u_]：=D[Tan[x]，{x，n}]/。Tan[x]->u/。秒[x]->Sqrt[1+u^2]//展开；p[-1，u_]=1；压扁[表[系数列表[p[n，u]，{n，-1，9}]](*Jean-François Alcover公司2012年6月28日*）
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交叉参考
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关键字
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作者
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扩展
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经核准的
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