A147315-OEIS公司

抵消

0,4

这是由以下公式定义的正交多项式p（n，x）的系数数组的倒数：p（n、x）=if（n=-1,0，if（n=0,1，（x-n）p（n-1，x）-C（n，2）p（n-2，x））。

Hankel数组H用于A000111号（n+1）满足H=L*D*U，其中U是L的转置。

行总和为A000772号（n+1），例如f.dif（exp（-1）exp（sec（x）+tan（x）），x）。

发件人彼得·巴拉，2011年1月31日：（开始）

以下注释引用偏移量为1的表：即，行和列索引都从1开始。

递增树是带有标签的根树，其属性是沿着从根开始的任何路径的标签序列都在递增。A000111号（n）对于n>=1，枚举以1为根的顶点集{1,2，…，n}上增加的无序树的数量，其中所有出度<=2（[Bergeron等人]符号中的平面一元二叉树）

本表条目T（n，k）给出了顶点集{1,2，…，n}上k个增加无序树的森林数，其中所有出度<=2。有关一些示例，请参见下文。

有关这些树的有序森林，请参见A185421号。对于以1为根的顶点集{1,2，…，n}上的递增有序树的森林，其中所有出度<=2，请参见A185422号.

第二类Stirling2（n，k）的Stirling数是集合[n]划分为k个块的分区数。以升序数字顺序排列每个块中的元素为Stirling2（n，k）提供了另一种组合解释，即计算n个节点上k个递增一元树的森林。因此，我们可以将当前数组视为与A000111号或使用Z（n，x）的之字形多项式A147309号-特别参见下面的公式（2）和（3）。

请参见A145876号与之相关的广义欧拉数A000111号.（结束）

Bell变换A000111号（n+1）。有关Bell变换的定义，请参见A264428型. -彼得·卢什尼2016年1月18日

链接

阿洛伊斯·海因茨，行n=0..140，扁平

保罗·巴里，关于圆函数定义的三类正交多项式及其矩序列的注记《整数序列杂志》，第15卷（2012年），第12.7.2号。

F.Bergeron，Ph.Flajolet和B.Salvy，增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷，J.-C.Raoult编辑，施普林格1992年，第24-48页。

汤姆·科普兰，数学森林

弗拉基米尔·克鲁奇宁，普通生成函数的组成，arXiv:1009.2565[math.CO]，2010年。

配方奶粉

发件人彼得·巴拉，2011年1月31日：（开始）

以下公式引用偏移量为1的表格：即，第n行和第k列的索引都从1开始。

生成功能

例如：

(1)... exp（x*（秒（t）+tan（t）-1））-1=Sum_{n>=1}R（n，x）*t^n/n！

=x*t+（x+x^2）*t^2/2！+（2*x+3*x^2+x^3）*t^3/3！+。。。。

表条目

(2)... T（n，k）=（1/k！）*和{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（k，j）*Z（n，j），

其中Z（n，x）表示如中所述的之字形多项式A147309号.

将（2）与第二类斯特林数公式进行比较

(3)... 斯特林2（n，k）=（1/k！）*和{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（k，j）*j^n。

重复关系

(4)... T（n+1，k）=T（n，k-1）+k*T（n，k）+（1/2）*k（k+1）*T（n，k+1）。

ROW多项式

行多项式R（n，x）开始

R（1，x）=x

R（2，x）=x+x ^2

R（3，x）=2*x+3*x^2+x^3

它们满足了重现性

(5)... R（n+1，x）=x*{R（n，x）+R'（n，x）+（1/2）*R''（n，×）}，

其中'表示关于x的微分。这应该与Bell多项式Bell（n，x）所满足的递归进行比较

(6)... 贝尔（n+1，x）=x*（贝尔（n，x）+贝尔'（n，x））。（结束）

发件人弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年2月17日：（开始）

和{m=1..n}T（n，m）=A000772号（n） ●●●●。

总和{m=1..2n-1}T（2n-1，m）*箍筋1（m，1）=A000364号（n） ●●●●。

设Co（n，k）=Sum_{j=1.k}二项式（k，j）*（如果（n-k+j）是奇数，则0 else如果（n-k+j）/2<j，则0 else j）*2^（-n+k+1）*二项式（n-k-1，（n-k+j）/2-1）/（n-k+j））*（-1）^j））+克朗德尔塔（n，k），则

T（n，m）=米！*求和{k=m.n}（如果n-k是奇数，则0是2^（1-k））*求和{i=0..floor（k/2）}（-1）^（floor（n+k）/2）-i）*二项式（k，i）*（2*i-k）^n））*求和{i=1..k}Co（i，m）*二项式（k-i+m-1，m-1），n>0。

（结束）

T（n，m）=和{k=0..n-m}二项式（k+m，m）*（-1）^（n-k-m）+1）*和{j=0..n-k-m}二项式（j+k+m、k+m）**2^（-j-k-1）*（-1）^（（n+k+m）/2+j+k+m）*箍筋2（n+1，j+k+m+1）/（m+1）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年5月17日

行多项式R（n，x）由在t=0时计算的D^n（exp（x*t））给出，其中D是运算符（1+t+t^2/2！）*D/dt。囊性纤维变性。A008277号和A094198号。另请参阅A185422号. -彼得·巴拉2011年11月25日

例子

三角形开始

1;

1, 1;

2, 3, 1;

5, 11, 6, 1;

16, 45, 35, 10, 1;

61, 211, 210, 85, 15, 1;

272, 1113, 1351, 700, 175, 21, 1;

...

L的产生式数组是三对角数组

1, 1;

1, 2, 1;

0, 3, 3, 1;

0, 0, 6, 4, 1;

0, 0, 0, 10, 5, 1;

0, 0, 0, 0, 15, 6, 1;

0, 0, 0, 0, 0, 21, 7, 1;

0, 0, 0, 0, 0, 0, 28, 8, 1,;

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 36, 9, 1;

发件人彼得·巴拉，2011年1月31日：（开始）

森林示例：

下面的图是这样绘制的，以便二进制节点最左边的子节点具有最大标签。

T（4.1）=5。由4个节点上的单个非平面递增一元二叉树组成的5个森林是

...4... ........ .......... ........... ...........

...|... ........ .......... ........... ...........

...3... .4...3.. .4........ ........4.. ........三。。

...|... ..\./... ..\....... ......./... ......./...

...2... ...2.... ...3...2.. ..3...2.... ..4...2....

...|... ...|.... ....\./... ...\./..... ...\./.....

...1... ...1.... .....1.... ....1...... ....1......

T（4.2）=11。由4个节点上的两个非平面递增一元二叉树组成的11个森林是

......... ...三。。。。。

.3...2... ...|.....

..\./.... ...2.....

...1...4. ...|.....

......... ...1...4.

.

......... ...4.....

.4...2... ...|.....

..\./.... ...2.....

...1...3. ...|.....

......... ...1...3.

.

......... ...4.....

.4...3... ...|.....

..\./.... ...三。。。。。

...1...2. ...|.....

......... ...1...2.

.

......... ...4.....

.4...3... ...|.....

..\./.... ...三。。。。。

...2...1. ...|.....

......... ...2...1.

.

......... ......... ..........

..2..4... ..3..4... ..4...3...

..|..|... ..|..|... ..|...|...

..1..3... ..1..2... ..1...2...

......... ......... .......... （结束）

MAPLE公司

A147315号：=进程（n，k）n*exp（x*（秒（t）+tan（t）-1）-1:系数日（%，t=0，n）；系数日（%，x=0，k）；结束进程：

seq（序列(A147315号（n，k），k=1..n），n=0..12）#R.J.马塔尔2011年3月4日

#第二个Maple项目：

b： =proc（u，o）选项记忆；

`如果`（u+o=0，1，加上（b（o-1+j，u-j），j=1..u）

结束时间：

g： =proc（n）选项记忆；展开（`if`（n=0，1，add(

g（n-j）*x*二项式（n-1，j-1）*b（j，0），j=1..n））

结束时间：

T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=1..n+1））（g（n+1）

seq（T（n），n=0..10）#阿洛伊斯·海因茨2021年5月19日

数学

t[n，k]：=t[n、k]=t[n-1，k-1]+（k+1）*t[n-1，k]+1/2*（k+1；t[n，k]/；（n<0|k<0|k>n）=0；t[0，0]=t[1，0]=1；扁平[表[t[n，k]，{n，0，9}，{k，0，n}][[1；；47]](*Jean-François Alcover公司2011年6月21日，在PARI项目之后*）

黄体脂酮素

（PARI）{T（n，k）=如果（k<0|k>n，0，如果（n==0，1，T（n-1，k-1）+（k+1）*T（n-l，k）+（k+1）*（k+2）/2*T（n-1，k+1））}/*偏移=0*/

（PARI）{T（n，k）=局部（X=X+X*O（X^（n+2））；（n+1）！*polceoff（polceof（exp（y*（（1+sin（X））/cos（X）-1）））-1，n+1，X），k+1，y）}/*偏移量=0*/

（PARI）/*根据生产矩阵P生成：*/

{T（n，k）=局部（P=矩阵（n，n，r，c，if（r==c-1，1，if，if

（最大值）

Co（n，k）：=和（二项式（k，j）*（如果奇数（n-k+j），则0其他如果（n-k+j）/2<j，则0其他j*2^（-n+k+1）*二项式（n-k-1，（n-k+j）/2-1）/（n-k+j））*（-1）^j，j，1，k）+克朗德尔塔（n，k）；

A147315号（n，m）：=1/m*总和（如果是奇数p（n-k），则为0，否则为2^（1-k）*总和（（-1）^（floor（（n+k）/2）-i）*二项式（k，i）*（2*i-k）^n，i，0，floor（k/2））*（总和（Co（i，m）*二项式（k-i+m-1，m-1），i，1，k），k，m，n）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年2月17日*/

（极大值）T（n，m）：=（和（二项式（k+m，m）*（（-1）^（n-k-m）+1）*和*2^（-j-k-1）*（-1）^（（n+k+m）/2+j+k+m）*斯特林2（n+1，j+k+m+1），j，0，n-k-m），k，0，n-m））/（m+1）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年5月17日*/

（鼠尾草）#使用[bell_matrix来自A264428型,A000111号]

#添加列1，0，0。。。在三角形的左边。

bell_matrix（λn：A000111号（n+1），10）#彼得·卢什尼2016年1月18日

交叉参考

囊性纤维变性。A145876号,A147309号,A185421号,A185422号,A185424号.

上下文中的序列：A307899型 A144634号 A178125型*A085853号 A185997号 2013年2月

相邻序列：A147312号 A147313号 A147314号*A147316型 A147317号 A147318号

关键字

非n,表

作者

保罗·巴里2008年11月5日

扩展

更多术语来自米歇尔·马库斯2014年3月1日

状态

经核准的