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1, 4, 1, 16, 9, 1, 64, 61, 15, 1, 256, 369, 151, 22, 1, 1024, 2101, 1275, 305, 30, 1, 4096, 11529, 9751, 3410, 545, 39, 1, 16384, 61741, 70035, 33621, 7770, 896, 49, 1, 65536, 325089, 481951, 305382, 95781, 15834, 1386, 60, 1, 262144, 1690981, 3216795
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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4,2
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评论
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这是第二类r-Stirling数r=4的情况。第二类4-Stirling数计算了将集合{1,2，…，n}划分为k个非空不相交子集的方法，限制了元素1，2，3和4属于不同的子集。有关一般情况的备注，请参见A143494号（r=2）。第一类4-Stirling数的对应数组为A143493号两种r-Stirling数的理论都是在[Broder]中发展起来的。有关4-Lah编号，请参阅A143499号.
T（n，k）=S（n，k，4），n>=k>=4，在米哈伊洛夫的第一篇论文中，等式（28）或（A3）。例如，来自（A20）的第k列，k->4，r->k。因此，偏移量为[0,0]时，该三角形为谢弗三角形（exp（4*x），exp（x）-1），例如，第m列的f>=0：exp（4*x）*（（exp（x）-1）^m）/m！。请参阅下面给出的公式之一。有关Sheffer矩阵，请参阅下面的W.Lang链接A006232号带有S.Roman参考，也可在A132393号.
（结束）
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链接
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安德烈·布罗德，r-Stirling数，报告编号：CS-TR-82-949，斯坦福大学计算机科学系；看见也，离散数学。49, 241-259 (1984).
阿斯卡·朱马迪尔·达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫，行走、分区和正常排序《组合数学电子杂志》，22（4）（2015），#P4.10。
V.V.米哈伊洛夫，正规序和广义斯特林数，J.Phys A:数学。Gen.18（1985）231-235。
Michael J.Schlosser和Meesue Yoo，椭圆Rook和文件号，《组合数学电子杂志》，24（1）（2017），#P1.31。
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配方奶粉
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T（n+4，k+4）=（1/k！）*和{i=0..k}（-1）^（k-i）*C（k，i）*（i+4）^n，n，k>=0。
T（n，k）=搅拌2（n，k）-6*搅拌2（n-1，k）+11*搅拌2。
递归关系：T（n，k）=T（n-1，k-1）+k*T；T（4,4）=1；当k>4时，T（4，k）=0。特殊情况：T（n，4）=4^（n-4）；T（n，5）=5^（n-4）-4^（n-4）。
例如，第（k+4）列（偏移量为4）：（1/k！）*exp（4*x）*（exp（x）-1）^k。
O.g.f.第k列：和{n>=k}T（n，k）*x^n=x^k/（（1-4*x）*（1-5*x）*（1-k*x））。
例如：exp（4*t+x*（exp（t）-1））=Sum_{n=0.无穷大}Sum_（k=0..n）t（n+4，k+4）*x^k*t^n/n！=和{n=0..无穷}B_n（4；x）*t^n/n！=1+（4+x）*t/1！+（16+9*x+x^2）*t^2！+。。。，其中，行多项式B_n（4；x）：=和{k=0..n}T（n+4，k+4）*x^k可以称为4-Bell多项式。
Dobinski类型恒等式：行多项式B_n（4；x）=exp（-x）*Sum_{i=0..无穷}（i+4）^n*x^i/i！；求和{k=0..n}k*T（n+4，k+4）*x^k=和{i=0.无穷}（i+4）^n*x^i/（1+x）^（i+1）。
T（n，k）是下降阶乘和移位单项式（x+4）^（n-4）之间的连接系数。例如，16+9*x+x*（x-1）=（x+4）^2；64+61*x+15*x*（x-1）+x*（x1）*（x-2）=（x+4）^3。
设D是导数算子D/dx，E是欧拉算子x*D/dx。那么x^（-4）*E^n*x^4=Sum_{k=0..n}T（n+4，k+4）*x^k*D^k。
生成多项式R_n（x）：=Sum_{k=4..n}T（n，k）*x^k满足递归R_（n+1）（x）=x*R_n。因此，多项式R_n（x）只有实数零（适用推论1.2）。（刘和王）。
与4-欧拉数E_4（n，j）的关系：=A144698号（n，j）：T（n，k）=4/k*Sum_{j=n-k.n-4}E_4（n，j）*二项式（j，n-k），对于n>=k>=4。
（结束）
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例子
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三角形开始
n\k|。。。。。4.....5.....6.....7.....8.....9
========================================
4..|.....1
5..|.....4.....1
6..|....16.....9.....1
7..|....64….61….15….1
8..|...256...369...151....22.....1
9..|..1024..2101..1275...305....30.....1
...
T（6.5）=9。集合{1,2,3,4,5,6}可以划分为五个子集，使得1、2、3和4以9种方式属于不同的子集：{1,5}{2}{3}{4}{6}}、{1,6}{2}{3}{4}{5}、{2,5}{1}{3}{4}{6}、{2,6}{1}{3}{4}{5}、{3,5}{1}{2}{4}{6}、{3,6}{1}{2}{4}{5}、{4,4}5｝｛1｝｛2｝｛3｝｛6｝｝、｛4，6｝｛1｝｛2｝｛3｝｛5｝｝和｛5，6｝｛1｝｛2｝｛3｝｛4｝｝。
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MAPLE公司
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组合：T:=（n，k）->1/（k-4）*加上（-1）^（k-i）*二项式（k-4，i）*（i+4）^；
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数学
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t[n_，k_]：=搅拌S2[n，k]-6*搅拌S2[n-1，k]+11*搅拌S2[2，k]-6*搅拌S2[n-3，k]；扁平[表[t[n，k]，{n，4，13}，{k，4，n}]](*Jean-François Alcover公司2011年12月2日*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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