A060187-OEIS公司

A060187号

按行读取三角形：B型欧拉数T（n，k）（1<=k<=n）由T（n、1）=T（n）=1给出，否则T（n和k）=（2*n-2*k+1）*T（n-1，k-1）+（2*k-1）*T。

120

1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 23, 23, 1, 1, 76, 230, 76, 1, 1, 237, 1682, 1682, 237, 1, 1, 722, 10543, 23548, 10543, 722, 1, 1, 2179, 60657, 259723, 259723, 60657, 2179, 1, 1, 6552, 331612, 2485288, 4675014, 2485288, 331612, 6552, 1, 1, 19673, 1756340, 21707972, 69413294, 69413294, 21707972, 1756340, 19673, 1 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`1,5`
	评论	`行是p（x，n）=2^n（1-x）^（1+n）LerchPhi（x，-n，1/2）的展开式。行总和为A000165号. -罗杰·巴古拉2008年9月16日` B型欧拉数。这个三角形的第n行是B_（n-1）型置换面体的对偶单纯形复形的h向量。例如，B_2型的置换面体是一个八角形，它的对偶，也是一个八角形，具有f多项式f（x）=1+8x+8x^2和h多项式，由（x-1）^2+8（x-1，+8=1+6x+x^2给出，给出[1,6,1]作为该表的第3行（见Fomin和Reading，第21页）。B型全自面体对应的f向量三角形为A145901号。当前数组的希尔伯特变换为A145905号. -彼得·巴拉2008年10月26日 `发件人彼得·巴拉2011年10月13日：（开始）` `行多项式根据B型下降的数量来计算超八面体群B_n（n个字母上的有符号排列群）的元素（见Chow和Gessel）。` `让P表示Pascal三角形。然后数组P（I-tP^2）^（-1）（I为单位数组）的第一列开始于[1/（1-t），（1+t）/（1-t）^2，（1+6t+t^2）/（1-t）^3，…]。分子多项式是该表的行多项式。类似地，在数组（I-tA062715号)^-1，第一列中的分子多项式生成此表的行多项式（但有一个额外的因子t）。囊性纤维变性。A145901号.（结束）` `Dasse-Hartaut和Hitzzenko的论文（第6.1.4节）表明，当适当地归一化时，这个数字三角形满足中心极限定理-彼得·巴拉2012年3月5日` `这些是中点欧拉多项式的系数（参见Quade/Collatz和Schoenberg）。根据基数B样条B_n（t），这些多项式可以定义为M_n（x）=2^nn和{k=0..n}b_{n+1}（k+1/2）x^k-彼得·卢什尼2013年4月26日` `o.g.f.Godd（n，x）=和{m>=0}Sodd（n+1，k+1）x^m，其中Sodd为（n，m）=和{j=0..m}（1+2j）^n是Podd（n，x）/（1-x）^（n+2），其中Podd为；看见A000447号（n+1），对于n>=0。有关示例f.s，请参见A282628型. -沃尔夫迪特·朗2017年3月17日` `设h_0（x，y）=xy/（x+y），D=xD_x-yD_y，其中D_x是w.r.t.x等的偏导数。那么h_n（x，y）=xy/（x+y）^（n+1）f_{n}T（n+1，k+1）y^（n-k）x^k。（如果不考虑D，而是考虑D'=xD_x+yD_y，则h_0和g_0是D'的不动点。）-格雷戈里·杰拉德·沃纳2018年10月28日`
	参考文献	`G.Boros和V.H.Moll，《不可抗拒的积分：积分评估中的符号学、分析和实验》，剑桥大学出版社，2004年。` `T.K.Petersen，《欧拉数字》，Birkhauser，2015年，第11章。` `W.Quade和L.Collatz，Zur Interpolationtheorie der relelen periodischen Funktitonen。Sitzungsbericht der Preuss公司。阿卡德。威斯康星州。，物理学-数学。Kl，（1938），第383-429页。`
	链接	`穆尼鲁·A·阿西鲁，n=1..1275时的n，a（n）表` `Jean-Christophe Aval、Adrien Boussicault、Philippe Nadeau、，树状Tableaux《组合数学电子杂志》，20（4），2013，#P34。` `Eli Bagno、David Garber、Mordechai Novick、，有符号和均匀排列群的Worpitzky恒等式，arXiv:2004.03681[math.CO]，2020年。` `保罗·巴里，使用指数Riordan阵列作为矩的一般欧拉多项式《整数序列杂志》，16（2013），#13.9.6。` `保罗·巴里，关于Riordan矩序列的一个变换，arXiv:1802.03443【math.CO】，2018年。` `保罗·巴里，广义欧拉三角和一些特殊的生产矩阵，arXiv:1803.10297[math.CO]，2018年。` `Jose Bastidas，广义置换面体的多面体代数，arXiv:2009.05876[math.CO]，2020年。` `V.Batyrev和M.Blume，经典根系Losev-Manin模系的推广arXiv:0912.2898[math.AG]，2009-2011，（第13页）-汤姆·科普兰，2014年10月3日` `Anna Borowiec、Wojciech Mlotkowski、，D型新欧拉数，arXiv:1509.03758[math.CO]，2015年。` `Chak-On Chow和I.M.Gessel，关于超八面体群的下降数和主要指数，高级申请。数学。38，第3期，275-301（2007年）。` `Sandrine Dasse-Hartaut和Pawel Hitczenko，随机楼梯表中的希腊字母，arXiv:1202.3092[math.CO]，2012年。` `S.Fomin、N.Reading、，根系和广义结合面体，IAS/Park-City 2004课堂讲稿，arXiv:math/0505518[math.CO]，2005-2008。` `Ghislain R.Franssens，与二项式、Deleham、Eulerian、MacMahon和Stirling数字三角形相关的数字金字塔《整数序列杂志》，第9卷（2006年），第06.4.1条。` `P.Hitchzenko和S.Janson，加权随机楼梯表，arXiv:12122.5498[math.CO]，2012年。` `斯万特·詹森，Euler-Robenius数和四舍五入，arXiv:1305.3512[math.PR]，2013年。` `Wolfdieter Lang，算术级数的幂和与广义Stirling、Euler和Bernoulli数，arXiv:math/1707.04451[math.NT]，2017年7月。` `L.Liu、Y.Wang、，唯一实零点多项式序列的统一方法，arXiv:math/0509207[math.CO]，2005-2006。` `彼得·卢什尼，欧拉多项式。` `马仕美，与上下文无关语法相关的一些组合序列，arXiv:1208.3104v2[math.CO]，2012.-来自N.J.A.Sloane，2012年8月21日` `马仕美，关于gamma向量及正切函数和割线函数的导数，arXiv:1304.6654[math.CO]，2013年。` `马仕美，正切和割线的一类二元导数多项式，El J.Combinat。20（1）（2013）第11页。` `马仕美、齐芳、图菲克·曼苏尔、Yeong-Nan Yeh、，交替欧拉多项式和左峰多项式，arXiv:2104.093742021` `Shi Mei Ma、Jun Ma、Yeong Nan Yeh、，下降多项式的某些组合展开式与文法的变化，arXiv:1802.02861[math.CO]，2018年。` `马世美、T.Mansour、D.Callan、，与Lotka-Volterra系统相关的一些组合数组，arXiv:1404.0731[math.CO]，2014年。` `马世美、王海娜、，通过交替运行枚举对偶Stirling置换集，arXiv:1506.08716[math.CO]，2015年。` `P.A.MacMahon，数字的除数，程序。伦敦数学。《社会学杂志》，（2）19（1921），305-340；科尔。论文II，第267-302页。` `F.Nakano、T.Sadahiro、，进位过程和欧拉数的推广，arXiv:1306.2790[math.PR]，2013年。` `G.Rzadkowski，特殊数与多项式的分析方法，J.国际顺序。18 (2015) 15.8.8.` `I.J.勋伯格，基数插值与样条函数Ⅳ.指数欧拉样条ISNM 20（1972），382-404。` `R.P.Stanley和F.Zanello，Ferrers形状内具有不同部件的隔墙的单一性，arXiv:1305.6083[math.CO]，2013年。` `R.P.Stanley、F.Zanello、，关于q系数的一些渐近结果, 2014.` `埃纳尔·斯坦格利姆松，索引排列的排列统计《欧洲联合杂志》第15卷（1994年），第2期，187-205。` `G.斯特拉瑟，Euler adic的推广，数学。程序。外倾角。Phil.Soc.150（2010）241-256，三角形A_2（n，k）。`
	配方奶粉	`T（s，2）=3^（s-1）-s求和{T=1..s}T（s）=2^（s-1）（s-1！。` `发件人彼得·巴拉2008年10月26日：（开始）` `T（n，k）=和{i=1..k}（-1）^（k-i）二项式（n，k-i）x（2i-1）^。` `例如：（1-x）exp（（1-x）t）/（1-xexp（2（1-x）t））=1+（1+x）t+（1+6x+x^2）t^2！+。` `行多项式R（n，x）满足R（n、x）/（1-x）^n=Sum_{i>=1}（2i-1）^（n-1）x^i。例如，行3给出（x+6x^2+x^3）/（1-x）^3=x+3^2x^2+5^2x^3+。` `递推关系R（n+1，x）=[（2n+1）x-1]R（n，x）+2x（1-x）R'（n，x）表明行多项式R（n、x）只有实数零（应用[Liu和Wang]的推论1.2）。` `Worpitzky型恒等式：求和{k=1..n}T（n，k）二项式（x+k-1，n-1）=（2x+1）^（n-1）。` `非零交替行和为（-1）^（n-1）A002436号（n） ●●●●。（结束）` `exp（x）（d/dx）^n[导出（x）/（1-导出（2x））]=R（n+1，导出（2））/（1-exp（2x））^（n+1）。` `与示例12.3.1进行比较。在[Boros和Moll]-彼得·巴拉2008年11月7日` `第n行多项式R（n，x）=Sum_{k=0..n}A145901号（n，k）x^k（1-x）^（n-k）=和{k=0..n}A145901号（n，k）（x-1）^（n-k）-彼得·巴拉2014年7月22日` `假设偏移量为0，第n行多项式=（x-1）^nlog（x）Integral_{u=0..inf}（2floor（u）+1）^nx^（-u）du，前提是x>1-彼得·巴拉2015年2月6日` `从这个数字三角形导出了连续奇数整数幂的有限和：和{k=1..n}（2k-1）^m=和{j=1..m+1}二项式（n+m+1-j，m+1）T（m+1，j）-托尼·福斯特三世2018年2月9日`
	例子	`三角形T（n，k）开始于：` `n\k 1 2 3 4 5 6 7 8。。。` `1: 1` `2: 1 1` `3: 1 6 1` `4: 1 23 23 1` `5: 1 76 230 76 1` `6: 1 237 1682 1682 237 1` `7: 1 722 10543 23548 10543 722 1` `8: 1 2179 60657 259723 259723 60657 2179 1` `。。。` `行n=9:1 6552 331612 2485288 4675014 2485288331612 6552 1，` `行n=10:1 19673 1756340 21707972 69413294 6941329421707962 1756340 19673 1，` `行n=11:1 59038 9116141 178300904 906923282 1527092468 906923282 178300904 9116141 59038 1。。。重新格式化-沃尔夫迪特·朗2017年3月17日`
	MAPLE公司	`A060187号：=（n，k）->加（（-1）^（k-i）二项式（n，k-i）x（2i-1）^` `对于从1到10的n，执行以下操作(A060187号（n，k），k=1..n）；结束do#彼得·巴拉，2008年10月26日` `T： =proc（n，k，l）选项记忆；如果（n=1或k=1或k=n），则1其他` `（ln-lk+1）T（n-1，k-1，l）+；fi；结束；` `对于从1到10的n，进行lprint（[seq（T（n，k，2），k=1..n）]）；od#N.J.A.斯隆2013年5月8日` `P:=proc（n，x）选项记忆；如果n=0，则为1` `（nx+（1/2）（1-x））P（n-1，x）+x（1-x）diff（P（n-1,x），x）；` `扩展（%）fi结束：` `A060187号：=（n，k）->2^n*系数（P（n，x），x，k）：` `seq（打印（seq(A060187号（n，k），k=0..n），n=0..10）#彼得·卢什尼2014年3月8日`
	数学	`p[x_，n_]=2^n（1-x）^（1+n）LerchPhi[x，-n，1/2]；表[系数列表[p[x，n]，x]，{n，0，10}]//展平(罗杰·巴古拉2008年9月16日）` `T[n_，k_]：=和[（-1）^（k-i）二项式[n，k-i]（2i-1）^，（n-1），{i，1，k}]；表[T[n，k]，{n，1，10}，{k，1，n}]//扁平(Jean-François Alcover公司2015年11月23日，之后彼得·巴拉*)`
	黄体脂酮素	`（PARI）{T（n，k）=如果（n<k \| \| k<1，0，和（i=1，k，（-1）^（k-i）二项式（n，k-i）x（2i-1）^/迈克尔·索莫斯2011年1月7日/` `（鼠尾草）` `@缓存函数` `定义A060187号（n，k）：` `如果n=0：如果k=0则返回1，否则返回0` `返回（2（n-k）+1）A060187号（n-1，k-1）+（2k+1）A060187号（n-1，k）` `对于（0..8）中的n：[A060187号（n，k）对于k in（0..n）]#彼得·卢什尼2013年4月26日` `（GAP）a:=平面（列表（[1..11]，n->列表（[1.n]，k->总和（[1..k]，i->（-1）^（k-i）二项式（n，k-i）x（2i-1）^#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年2月9日` `（岩浆）[[（&+[（-1）^（k-j）二项式（n，k-j）x（2j-1）^（n-1）：j in[1..k]]）：k in[1..n]]：n in[1..10]]//G.C.格雷贝尔2018年11月8日`
	交叉参考	`对角线给出A060188型,A060189号,A060190型.参见。A008292号.` `另请参阅A000165号（行总和），A002436号（可选行总和），A008292号,A145901号,A145905号（希尔伯特变换）。A062715号.` `上下文中的序列：A152936号 A152969号 138076英镑A174527号 A156139号 A309280型` `相邻序列：A060184号 A060185美元 A060186号A060188型 A060189号 A060190型`
	关键词	`非n,表,容易的,美好的`
	作者	`N.J.A.斯隆2001年3月20日`
	状态	`经核准的`