A052750-OEIS公司

抵消

0,3

a（n+1）是n个顶点上标记的不完全三元树的数目，其中每个左子树的标签比其父树的标签大-布莱恩·德雷克2008年7月28日

设a（0）=1。对于n>0，设x（n，k）=2*cos（（2*k-1）*Pi/（2*n+1）对于n>0，a（n）=Product_{k=1..n}（和_{m=0..n-1}S（n；2*m，x（n，k））^2）-L.埃德森·杰弗里2013年9月11日

发件人沃尔夫迪特·朗2013年12月16日：（开始）

切比雪夫S多项式第一差分的判别式。

第一差分多项式P（n，x）=S（n，x）-S（n-1，x），n>=0，S（-1，x）=0的系数表，以及Chebyshev S多项式（参见A049310型)，在中给出A130777号.

关于多项式根据Vandermonde矩阵行列式平方的判别式，请参见，例如。，A127670型.

为了证明D（n）：=判别式（P（n，x））=（2*n+1）^（n-1），n>=1，使用给定的公式，例如，在Rivlin参考文献第218页，定理5.13，等式（5.3）中，即D（n）（请参见A130777号). P'（n，x（n，j））=（2*n+1）*P（n-1，x（n，j））/（2*sin（Pi*j/（2*n+1））*2*cos（Pi*j/（2*n+1））^2。P（n-1，x（n，j））=（-1）^（n+j）*2*cos（Pi*j/（2*n+1））。Product_{j=1..n}2*sin（Pi*j/（2*n+1））=2*n+1（参见2013年10月10日的公式A005408号.Product_{j=1..n}2*cos（Pi*j/（2*n+1））=1，因为S（2*n，0）=（-1）^n。

（结束）

a（n）是具有n+2个顶点、以给定边为根的标记2树的数量-尼科斯·阿波斯托拉基斯2018年11月30日

a（n）也是具有n个标记三角形且具有可分辨定向边的2棵树的数目-尼科斯·阿波斯托拉基斯2018年12月14日

参考文献

L.W.Beineke和J.W.Moon，《带标签的二维树数量的几个证明》，《图论中的证明技术》（F.Harary编辑）。学术出版社，纽约，1969年，第11-20页。

西奥多·里夫林，切比雪夫多项式：从近似理论到代数和数论，2。编辑，威利，纽约，1990年。

链接

G.C.格鲁贝尔，n=0..350时的n、a（n）表

T.Fowler、I.Gessel、G.Labele和P.Leroux，2棵树的规格，高级申请。数学。28（2）（2002）145-168，等式（9）。

INRIA算法项目，组合结构百科全书706

亨利·穆勒和菲利普·纳多，3-圈生成的交替群上的一种偏序结构，arXiv:1803.00540[math.CO]，2018年。

J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon，m-置换、（m+1）元树和m-停车函数的Hopf代数，arXiv预印本arXiv:1403.5962[math.CO]，2014。

与切比雪夫多项式相关的序列的索引项。

配方奶粉

例如：exp（-1/2*W（-2*x）），其中W是Lambert的W函数。

例如，满足：A（x）=sqrt（1+2*Sum_{n>=1}x^（2*n-1）/（2*n-1）！*A（x）^（4*n-1））-保罗·D·汉纳2012年9月7日

例如，满足：A（x）=1/A（-x*A（x）^4）-保罗·D·汉纳2012年9月7日

a（n）=P（n，x）=S（n，x）-S（n-1，x）的判别式，n>=1，其中Chebyshev S多项式来自A049310型有关证据，请参阅上面的注释。a（n）也是S（n，x）+S（n-1，x）=（-1）^n*（S（n、-x）-S（n-1和-x））的判别式-沃尔夫迪特·朗2013年12月16日

发件人彼得·巴拉2013年12月19日：（开始）

例如，f.A（x）=1+x+5*x^2/2！+49*x^3/3！+729*x^4/4！+。。。满足：

1） A（x*exp（-2*x））=exp（x）=1/A；

2） A^2（x）=1/x*系列反转（x*exp（-2*x））；

3） A（x^2）=1/x*系列反转（x*exp（-x^2；

4） A（x）=exp（x*A（x）^2）。（结束）

例如：sqrt（-LambertW（-2*x）/（2*x））-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年12月7日

与相关A001705号通过求和{n>=1}a（n）*x^n/n！=序列反转（1/（1+x）^2*log（1+x））=序列反转（x-5*x^2！+26*x^3/3！-154*x^4/4！+…）。囊性纤维变性。A000272号,A052752美元,A052774号,A052782号. -彼得·巴拉2016年6月15日

发件人彼得·巴拉，2022年12月13日：（开始）

例如，f.A（x）=1/x*级数是x^2/T（x）的反转，其中树函数T（x）=Sum_{n>=1}n^（n-1）*x^n/n！。请参见A000169号.

对于c中的c，A（x）^c=1+Sum_{n>=1}c*（2*n+c）^（n-1）*x^n/n！。

一阶导数A'（x）=A（x）^3/（1-2*x*A（x，^2）。

（1-A（-z））=-log（1-z）/（1-zA001705号.

z/A（z）=1+z+7*z^2/2！+的1/z*级数反转（10^2）*z^3/3！+（13^3）*z^4/4！+。。。是的e.g.fA052752号.

z/A（z^2）=1+z^2+9*z^4/2！+的1/z*级数反转（13^2）*z^6/3！+（17^3）*z^8/4！+…=和{n>=0}A052774美元（n） *z^（2*n）/n！。

z/A（z^3）=1+z^3+11*z^6/2！+的1/z*级数反转（16^2）*z^9/3！+（21^3）*z^12/4！+…=和{n>=0}A052782号（n） *z^（3*n）/n！。

z/A（z）^2=A（2*z）=2*Sum_{n>=0｝（4*n+2）^（n-1）*z^n/n！的1/z*级数反转！。

z/A（z）^k=k*Sum_{n>=0}（（k+2）*n+k）^（n-1）*z^n/n！的1/z*级数反转！。（结束）

例子

判别式：n=4:P（4，x）=1+2*x-3*x^2-x^3+x^4，零为x[1]=-2*cos（（2/9）*Pi），x[2]=-2*cos（4/9）*Pi），x[3]=1，x[4]=2*cos。D（4）=（Det（Vandermonde（4，[x[1]，x[2]，x[3]，x[4]））^2=729=a（4））-沃尔夫迪特·朗，2013年12月16日

MAPLE公司

规范：=[S，{B=Prod（Z，S，S），S=Set（B）}，标记]：seq（组合结构[count]（规范，大小=n），n=0..20）；

数学

最大值=16；（系列[Exp[-1/2*ProductLog[-2*x]]，{x，0，max}]//系数列表[#，x]&）*范围[0，max]！(*Jean-François Alcover公司2013年6月20日*）

黄体脂酮素

（PARI）a（n）=（2*n+1）^（n-1）\\查尔斯·格里特豪斯四世，2011年11月20日

（PARI）{a（n）=局部（a=1+x）；对于（i=1，21，a=sqrt（1+2*和（n=1，21,x^（2*n-1）/（2*n-1）！*a^（4*n-1”）+x*O（x^n））；n！*polcoff（a，n）}\\保罗·D·汉纳2012年9月7日

（岩浆）[（2*n+1）^（n-1）：n in[0..20]]//韦斯利·伊万·赫特2017年1月20日

（Python）对于范围（0，20）中的n：打印（（2*n+1）**（n-1），end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚，2018年12月1日

（GAP）列表（[0..20]，n->（2*n+1）^（n-1））#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年12月5日

交叉参考

囊性纤维变性。A127670型,A130777号,A000169号,A052752号,A052774号,A052782号,A000272美元,A001705号.

上下文中的序列：A028575号 A368438型 A006554号*145088英镑 A301386型 92557英镑

相邻序列：A052747号 A052748号 A052749号*A052751号 A052752号 A052753号

关键词

容易的,非n

作者

百科全书（AT）pommard.inia.fr，2000年1月25日

扩展

更好的描述来自弗拉德塔·乔沃维奇2003年9月2日

状态

经核准的