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评论
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克雷韦拉斯称之为nXn网格的复杂性。
a(n)是由n个X n个细胞组成的网格形成的完美迷宫的数量-勒罗伊·奎特2007年9月8日
此外,去掉左上角的(2n-1)X(2n-1)正方形的多米诺瓷砖数量。对于n=2,去掉左上角的3 X 3方形的4块多米诺瓷砖为:
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|_|___| |_|_|_| |_|___| |___|_| -阿洛伊斯·海因茨2011年4月15日
事实上,更多是真的。设L表示顶点为(i,j),1<=i,j<=2*n-1的(2*n-1)X(2*n-1)方格图。如果坐标i和j都是奇数,则称顶点(i,j)为奇数。然后,在正方形nXn网格上的生成树集和去掉奇数边界点的L多米诺贴片集之间存在一个双射。见Tzeng和Wu,2002年。这是一个可除序列,即如果n除以m,则a(n)除以a(m)-彼得·巴拉2014年4月29日
此外,a(n)是(n-1)X(n-1”网格图中沙堆群的顺序。这是因为n×n网格与(n-1)×(n-l)网格+下沉顶点是对偶的,后者通过燃烧双射与沙堆有关。参见Járai第4.1节或Redig第2.2节。在M.F.哈斯勒在下面的评论中,指数n是指沙堆下方网格的大小-安德烈·扎博洛茨基,2018年3月27日
两个n×n矩阵的沙堆加法(+)被定义为普通加法,然后是倾倒过程,其中大于3的每个元素减少4,其每个von Neumann邻居增加1。
对于任意n,都有一个中性元素e_n,使得在e_n的沙堆加法下不变的矩阵M_n({0..3})|a(+)e_n=a}中的集S(n)={a形成一个群,即S(n。,所有1的矩阵1_n不能有一个逆X,使得1_n(+)X=O_n。元素e_n是唯一的非零矩阵,使得e_n(+)e_n=e_n。)
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例子
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对于n=1,只存在一个0 X 0矩阵,e_0=[];它是单原子群S(0)={[]}的中性元素。
对于n=2,沙堆加法与Z/4Z中的加法同构,中性元素为e_1=[0],得到群S(1)同构于(Z/4Z,+)。
对于n=3,我们发现e_2=[2,2;2,2]是沙堆加成的中性元素,仅限于S(2),有192个元素,列于A300006型.
对于n=4,我们发现e_3=[2,1,2;1,0,1;2,1,2]是沙堆添加的中性元素,限制为S(3),具有100352个元素。
对于n=5,中性元素为e_4=[2,3,3,2;3,2,2,3;3,2,3;2,3,3,1]。(结束)
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