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| A006995号 |
| 二进制回文：二进制展开为回文的数字。
（原名M2403）
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229
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0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, 45, 51, 63, 65, 73, 85, 93, 99, 107, 119, 127, 129, 153, 165, 189, 195, 219, 231, 255, 257, 273, 297, 313, 325, 341, 365, 381, 387, 403, 427, 443, 455, 471, 495, 511, 513, 561, 585, 633, 645, 693, 717, 765, 771, 819, 843
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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Rajasekaran、Shallit和Smith表示，这是第4阶的加法基础-查尔斯·格里特豪斯四世2018年11月6日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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James Haoyu Bai、Joseph Meleshko、Samin Riasat和Jeffrey Shallit，回文数和反回文数的商，arXiv:2022.13694[math.NT]，2022年。
Manfred Madritsch和Stephan Wagner，整数分块的中心极限定理《Monatsheft für Mathematik》，第161卷，第1期（2010年），第85-114页，备用链路.doi:10.1007/s00605-009-0126-y。
Kritkhajohn Onphaeng、Tammatada Khemaratchatakumthorn、Phakhinkon Napp Phunphayap和Prapanpong Pongsriam，某些算术级数中回文数的精确公式《整数序列杂志》，第27卷（2024年），第24.4.8条。见第2页。
Aayush Rajasekaran、Jeffrey Shallit和Tim Smith，回文和：一种基于嵌套字自动机的方法，预印arXiv:1706.10206[cs.FL]，2017年6月30日。
Aayush Rajasekaran、Jeffrey Shallit和Tim Smith，基于自动机理论的加法数理论《计算系统理论》，第64卷（2020年），第542-567页。
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公式
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写为十进制，a（10^n）有2*n个数字。对于n>1，（10^n）的十进制展开式从22…、23…或24…开始：
a（1000）=249903，
a（10^4）=24183069，
a（10^5）=2258634081，
a（10^6）=249410097687，
a（10^7）=24350854001805，
a（10^8）=2229543293296319，
a（10^9）=248640535848971067，
a（10^10）=24502928886295666773。
不等式：（2/9）*n^2<a（n）<（1/4）*（n+1）^2，如果n>1。
lim-sup{n->oo}a（n）/n^2=1/4，lim-inf-{n->oo}a（n）/n^2=2/9。
对于n>=2，a（2^n-1）=2^（2n-2）-1；a（2^n）=2^（2n-2）+1；
a（2^n+1）=2^（2n-2）+2^（n-1）+1；a（2^n+2^（n-1））=2^（2n-1）+1。
n>2的递归：a（n）=2^（2k-q）+1+2^p*a（m），其中k=楼层（log_2（n-1）），p、q和m的确定如下：
情形1：如果n=2^（k+1），则p=0，q=0，m=1；
情形2：如果2^k<n<2^k+2^（k-1），则p=k-floor（log_2（i））-1，i=n-2^k，q=2，m=2^floor；
情形3：如果n=2^k+2^（k-1），则p=0，q=1，m=1；
情况4：如果2^k+2^（k-1）<n<2^（k+1），则p=k-floor（log_2（j））-1，j=n-2^k-2^。
非递归公式：
设n>=3，m=楼层（log_2（n）），p=楼层（（3*2^（m-1）-1）/n），则
a（n）=2^（2*m-1-p）+1+p*（1-（-1）^n）*2^。【作者于2018年9月5日消除了第三和项最后一次指数的错误】
a（n）=2^（2*m-2）+1+2*层（（n-2^m）/2^（m-1））+2^（m-1）*层（1/2）*最小（n+1-2^m，2^（m/1）+1））+3*2^。[对于n>3似乎是正确的。-编辑们]
反演公式：任意二元回文b=a（n）>0的索引为n=palindromicIndex（b）=（（5-（-1）^m）/2+Sum_{k=1..[m/2]}（[b/2^k]mod2）/2^k）*2^[m/2]，其中[.]=floor（.），m=[log_2（b）]。
（结束）
G.f.：G（x）=x^2+3x^3+sum_{j=1..oo}（3*2^j*（1-x^floor（（j+1）/2））/
f_1（x）=x^（1/2），对于j>1，
f_j（x）=x^（1/2）*sum_{i=0..2^楼层（（j-1）/2）-1}（（3+（1/2 b（j，1）=（2+（-1）^j）*2^（楼层（（j-1）/2）+1）-Hieronymus Fischer公司2012年4月4日
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示例
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a（3）=3，因为3=11_2是第三对称二进制数；
a（6）＝9，因为9＝1001_2是第六个对称二进制数。
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MAPLE公司
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dmax：=15；#获取最多包含dmax二进制数字的所有项
revdigs:=进程（n）
局部L，Ln，i；
L： =转换（n，基数，2）；
Ln:=nops（L）；
加（L[i]*2^（Ln-i），i=1..Ln）；
终末程序；
A： ={0，1}：
对于从2到dmax的d do
如果d:：即使如此
A： =联合{seq（2^（d/2）*x+revdigs（x），x=2^（d_2-1）..2^
其他的
m： =（d-1）/2；
B： ={seq（2^（m+1）*x+revdigs（x），x=2^（m-1）..2^m-1）}；
A： =联合B联合映射（`+`，B，2^m）
fi（菲涅耳）
日期：
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数学
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palQ[n_Integer，base_Integer]：=模块[{idn=IntegerDigits[n，base]}，idn==反向[idn]]；选择[Range[1000]，palQ[#，2]&]
选择[Range[0，1000]，#==Integer Reverse[#，2]&](*罗伯特·威尔逊v2018年2月24日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）用于（n=0，999，n-subst（Polrev（binary（n）），x，2）||print1（n，“，”））\\托马斯·布赫霍尔茨2014年8月16日
（PARI）表示（n=0，10^3，my（d=数字（n，2））；如果（d==Vecrev（d），打印1（n，“，”））\\乔格·阿恩特2014年8月17日
（PARI）A006995号（n，m=logint（n，2），c=1<<（m-1），a，d）={if（n>=3*c，a=n-3*c；d=2*c^2，a=n~2*c；n%2*c+d=c^2）+总和（k=1，m-2^（n<3*c），if（比特（a，m-1-k），1<k+d>>k））+（n>2）}基于Fischer的小对话程序-M.F.哈斯勒2018年2月23日
（岩浆）[0.850]|Intseq（n，2）eq Reverse（Intseq，2）]中的n：n//布鲁诺·贝塞利2011年8月29日
（哈斯克尔）
a006995 n=a006995_列表！！（n-1）
a006995_list=0：过滤器（（==1）。a178225）a005408_列表
（Smalltalk）
回答第n个二进制回文
（非递归实现）”
|m n a b c d k 2|
n:=自我。
n=1如果为真：[^0]。
n=2，如果为真：[^1]。
m:=n integerFloorLog:2。
c:=2 raisedToInteger:m-1。
n>=（3*c）
如果为True：
[a:=n-（3*c）。
d：=2*c*c。
b：=d+1。
k2:=1。
1至：m-1
执行：
[：k|
k2：=2*k2。
b:=b+（a*k2//c\\2*（k2+（d//k2）））]]
如果为False：
[a:=n-（2*c）。
d：=c*c。
b:=d+1+（n\\2*c）。
k2:=1。
1至：m-2
执行：
[：k|
k2：=2*k2。
b:=b+（a*k2//c\\2*（k2+（d//k2））]]。
（鼠尾草）
def palgenbase2（）：#以2为基数的回文生成器
产量0
x、 n，n2=1，1，2
为True时：
对于范围（n，n2）中的y：
s=格式（y，‘b’）
产量int（s+s[-2:：-1]，2）
对于范围（n，n2）中的y：
s=格式（y，‘b’）
产量int（s+s[：：-1]，2）
x+=1
n*=2
（鼠尾草）
[n表示（0..843）中的n，如果Word（n位数字（2））.is_plindrome（）]#彼得·卢什尼2018年9月13日
（Python）
来自itertools导入计数、islice、product
def bin_pals（）：#以10为基数的二进制回文生成器
[0,1]的收益
数字，中间值=2，[[“”]，[“0”，“1”]]
对于计数（2）中的数字：
对于产品中的p（“01”，重复=数字//2-1）：
left=“1”+“”.join（p）
对于中端[数字%2]：
yield int（left+middle+left[：：-1]，2）
打印（列表（islice（bin_pals（），58））#迈克尔·布拉尼基2023年1月9日
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交叉参考
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