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A006141号 |
| n的整数分区数,其最小部分等于部分数。 (原名M0260)
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63
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1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 25, 29, 33, 38, 42, 49, 54, 62, 69, 78, 87, 99, 109, 123, 137, 154, 170, 191, 211, 236, 261, 290, 320, 357, 392, 435, 479, 530, 582, 644, 706, 779, 854, 940, 1029, 1133, 1237, 1358, 1485
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,9
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评论
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或者,最大部分的数量等于最大部分的n个分区的数量。
a(n)是n-1的分区数,其中没有相差小于2的部分,并且没有小于3的部分。[麦克马洪]
在这个序列中,偏移量有两个相互冲突的选择。对于这里给出的定义,偏移量是1,这就是我们要采用的。另一方面,如果通过Rogers-Ramanujan恒等式(请参阅下一条注释)到达该序列,则自然偏移量为0。
与Rogers-Ramanujan恒等式相关:设G[1](q)和G[2](q)是A003114号和A003106号,从常数项1开始。当前序列的g.f.为g[3](q)=(g[1](q)-g[2](q))/q=1+q^3+q^4+q^5+q^6+q^7+2*q^8+2*qq^9+3*q^10+-乔格·阿恩特2012年10月8日;N.J.A.斯隆2015年11月18日
有关广义Rogers-Ramanujan级数G[i](x)的更多信息,请参阅Andrews-Baxter和Lepowsky-Zhu的论文。本系列为G[3](x)-N.J.A.斯隆2015年11月22日
根据Hardy(H)第94页,等式(6.12.1)和Hardy-Wright(H-W),第293页,H_2(a,x)-H_1(a,x)=a*H_1(a*x,x)的等式(19.14.3),在将a=x,a(n)的o.g.f=A003114号(n)-A003106号(n) ,n>=0,a(0)=0表示和{m>=0}x^((m+1)^2)/Product_{j=1..m}(1-x^j)。m=0项是1*x^1。参见公式乔格·阿恩特2011年1月29日。
该公式有一个组合解释(与(H)第6.0节第91-92页或(H-W)第290-291页中给出的公式类似):a(n)是n的分区数,其中部分差异至少为2,部分差异为1。参见下面的示例a(15)。(结束)
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参考文献
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G.H.Hardy,Ramanujan,AMS切尔西出版社。,普罗维登斯,罗得岛州,2002年,第92-95页。
G.H.Hardy和E.M.Wright,《数字理论导论》,第五版,克拉伦登出版社,牛津,2003年,第292-294页。
P.A.MacMahon,《组合分析》,剑桥大学出版社,伦敦和纽约,1915年第1卷和1916年第2卷;见第2卷第45页第293节。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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詹姆斯·列波夫斯基和朱敏贤,戈登身份的有力证明,arXiv:1205.6570【math.CO】,2012年;《拉马努扬杂志》29.1-3(2012):199-211。
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
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公式
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通用公式:和{m>=1}(x^(m^2)-x^,m*(m+1))/产品{i=1..m}(1-x^i)。
通用公式:和{n>=1}x^(n^2)/产品{k=1..n-1}(1-x^k)-乔格·阿恩特,2011年1月29日
普劳夫在1992年的论文中推测这是g.f.=(1+z+z^4+2*z^5-z^3-z^8+3*z^10-z^7+z^9)/(1+z z^4-2*z^3-z ^8+z^10),但是迈克尔·索莫斯2008年1月22日指出,这是错误的。
(f(-x^2,-x^3)-f(-x,-x*4))/f(-x)的x次幂展开式,其中f(,)是Ramanujan的一般θ函数-迈克尔·索莫斯2007年1月22日
a(n)~平方(1/sqrt(5)-2/5)*exp(2*Pi*sqrt)(n/15))/(2*3^(1/4)*n^(3/4))-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年11月1日
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例子
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G.f.=x+x ^4+x ^5+x ^6+x ^7+x ^8+2*x ^9+2*x^10+3*x ^11+3*x^12+。。。
a(15)=5,因为最小部分等于部分数的15的分区为
3 + 6 + 6,
3 + 5 + 7,
3 + 4 + 8,
3+3+9,以及
2 + 13.
a(15)=5,因为存在部分差异至少为2和部分1的15的分区是:[14,1]从具有一个部分的11的分区[11]中获得,添加到4的特殊分区[3,1]和[11,3,1]的第一部分,[10,4,1],[9,5,1],[08,6,1],将所有15-9=6的分区与一个部分[6]和具有两个部分的分区相加,[5,1]、[4,1]、[3]到9的特殊分区[5,3,1]-沃尔夫迪特·朗2016年10月31日
a(15)=5,因为部分>=3的14的分区和差异至少为2的部分是[14]、[11,3]、[10,4]、[9,5]和[8,6]。请参阅[MacMahon]的第二条评论。这是根据安德鲁斯-巴克斯特(Andrews-Baxter)中给出的g.f.g[3](q)得出的公式(5.1),其中i=3(使用总和指数m)和m*(m+2)=3+5+…+(2*m+1)-沃尔夫迪特·朗2016年11月2日
a(8)=1到a(15)=5个整数分区:
(6,2) (7,2) (8,2) (9,2) (10,2) (11,2) (12,2) (13,2)
(3,3,3) (4,3,3) (4,4,3) (5,4,3) (5,5,3) (6,5,3) (6,6,3)
(5,3,3) (6,3,3) (6,4,3) (7,4,3) (7,5,3)
(7,3,3) (8,3,3) (8,4,3)
(9,3,3)
(结束)
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MAPLE公司
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b: =proc(n,i)选项记住`如果`(n<0,0,`如果`(n=0,1,
`如果`(i<1,0,b(n,i-1)+`如果`(i>n,0,b(n-i,i)))
结束时间:
a: =n->加(b(n-j^2,j-1),j=0.isqrt(n)):
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数学
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b[n_,i_]:=b[n,i]=如果[n<0,0,如果[n==0,1,如果[i<1,0,b[n,i-1]+如果[i>n,0,b[n-i,i]]];a[n_]:=总和[b[n-j^2,j-1],{j,0,Sqrt[n]}];表[a[n],{n,1,80}](*Jean-François Alcover公司2014年3月17日之后阿洛伊斯·海因茨*)
表[Length[Select[Integer Partitions[n],Min[#]==Length[#]&]],{n,30}](*古斯·怀斯曼2019年3月9日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<1,0,polcoeff(和(k=1,平方(n),x^k^2/prod(j=1,k-1,1-x^j,1+O(x^(n-k^2+1))),n))}/*迈克尔·索莫斯2008年1月22日*/
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交叉参考
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与平衡相关的序列:
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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更多来自Kok Seng Chua(chuaks(AT)ihpc.nus.edu.sg)的条款,2000年6月20日
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状态
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已批准
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