A000897-OEIS公司

A000897号

a（n）=（4*n）！/（2*n）*不^2).

1, 12, 420, 18480, 900900, 46558512, 2498640144, 137680171200, 7735904619300, 441233078286000, 25467973278667920, 1484298740174927040, 87202550985276963600, 5157850293780050462400, 306839461354466267304000, 18344908596179023234548480

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,2

出现在Ramanujan的签名椭圆函数理论4中。

H.A.Verrill证明了A（n）=Sum_{p+q+r=3n}w^（p-q）*{（3n）！/（p！q！r！）}^2，其中p，q，r>=0且w=原单位第三根。

椭圆曲线族“x=2*H1=p^2+q^2-（1/4）*q^4，0<x<1”生成这些a_n作为周期能量函数“T（x）=2*Pi*2F1（1/4,3/4；1；x）”的系数。将复数变换“q->sqrt（-1）*q”应用于H1会产生“x=2*H2=p^2-q^2-（1/4）*q^4，0<x<1”，其中“T（x）=sqrt（2）*Pi*2F1（1/4；1；1-x）”。这解释了因子sqrt（2）/2在Ramanujan的nome q_1中的出现-布拉德利·克莱2018年2月25日

有理函数1/（1-（x^2+y^2+z））对角线中的均阶项-Gheorghe Coserea公司，2018年8月9日

参考文献

E.R.Hansen，《系列和产品表》，Prentice-Hall，恩格尔伍德悬崖，新泽西州，1975年，第96页。

链接

文森佐·利班迪，n=0..200时的n，a（n）表

Alin Bostan、Armin Straub和Sergey Yurkevich，序列作为常数项的可表示性，arXiv:2212.10116[math.NT]，2022。

H.J.Brothers，帕斯卡棱镜：补充材料

B.Klee，Ramanujan时期的几何G.F，seqfan邮件列表，2017年。

S.Ramanujan，模方程和Pi的逼近《数学季刊》，XLV（1914），350-372。

沈立中，关于超几何函数2F1（1/6,5/6；1；z）的Ramanujan恒等式的注记《拉马努扬杂志》，30.2（2013），211-222。

H.A.Verrill，二项式系数的平方和及其在Picard-Fuchs方程中的应用，arXiv:math/0407327v1[math.CO]，2004年。

配方奶粉

例如：和{k>=0}（-1）^k*a（k）*x^（4*k）/（4*k）！=贝塞尔I（0，2x）*贝塞尔J（0，2x）。

G.f.：f（1/4，3/4；1；64*x）-迈克尔·索莫斯2005年10月31日

a（n）=A008977号（n）/A000984号（n）-零入侵拉霍斯2007年6月28日

求和{k>=0}a（k）*x^（3k）/（3k）^2=f（x）*f（x*w）*f-迈克尔·索莫斯2007年7月25日

一般来说，对于（贝塞尔I（b，2x））*（贝塞尔J（b，2 x））=（（x^（2*b））/（γ（b+1））^2）*（1-（x^4）/（Q（0）+（x^3）））；Q（k）=（k+1）*（k+b+1）*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月24日

对于Z中的所有n，具有递归的D-有限0=a（n）*4*（4*n+1）*（4*n+3）-a（n+1）*（n+1）^2-迈克尔·索莫斯，2014年8月12日

0=a（n）*（-4026531840*a（n+2）+2005401600*a（n+3）-103896576*a 105*a（n+5）），用于Z中的所有n-迈克尔·索莫斯，2014年8月12日

发件人彼得·巴拉2016年7月12日：（开始）

a（n）=二项式（3*n，n）*二项式=A005809号（n）*A005810号（n） =（[x^n]（1+x）^（3*n））*（[x*n]（1+x）（4*n）。。。似乎具有整数系数。囊性纤维变性。A002894号,A002897号,A006480元,A008977号,A186420个和A188662号.（完）

a（n）~2^（6*n-1/2）/（Pi*n）-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月12日

G.f.：2*EllipticK（sqrt（（sqrt（1-64*x）-1）/（2*sqrt）（1-64*x）））/（Pi*（1-64**）^（1/4）），其中ElliptiK是第一类完整的椭圆积分（用Maple符号表示）-罗伯特·伊斯雷尔2016年7月12日

a（n）=和{k=0..3*n}（-1）^k*C（3*n，k）*C（6*n-k，3*n）*C-彼得·巴拉2018年2月10日

发件人布拉德利·克莱，2018年2月27日：（开始）

a（n）=A000984号（n）*A001448号（n） ●●●●。

G.f.：（1/（sqrt（2）*Pi））*Integral_{q=-oo..oo}1/平方（q^2+（1/4）*q^4+（1-64*x））dq。

G.f.：（1/（2*Pi））*Integral_{phi=0..2*Pi}1/sqrt（1-64*x*sin^4（phi））dphi。（结束）

发件人彼得·巴拉，2022年3月20日：（开始）

以下恒等式的右侧对n>=1有效：

求和{k=0..2*n}2*n*（2*n+k-1）/（k！*n！^2）=（4*n）/（2*n）*不^2;

（3/2）*Sum_{k=0..n}2*n*（3*n+k-1）/（k！*n！*（2*n）！）=（4*n）/（2*n）*不^2).

囊性纤维变性。A001451号.（完）

a（n）=（4^n/n！^2）*乘积_{k=0..2*n-1}（2*k+1）-彼得·巴拉2023年2月26日

例子

通用编号：1+12*x+420*x^2+18480*x^3+900900*x^4+46558512*x^5+2498640144*x^6+。。。

MAPLE公司

seq（（4*n）/（n！）^4/二项式（2*n，n），n=0..14）#零入侵拉霍斯2007年6月28日

数学

表[（4n）！/（（2n）！n！^2），{n，0，30}](*Stefan Steiner伯格2006年4月14日*）

a[n]：=二项式[4n，2n]二项式[2n，n]；(*迈克尔·索莫斯2013年3月24日*）

a[n_]：=级数系数[Hypergeometric2F1[1/4，3/4，1，64x]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2013年3月24日*）

a[n_]：=如果[n<0，0，With[{m=4n}，（-1）^n m！级数系数[BesselI[0，2x]BesselJ[0，2 x]，{x，0，m}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年8月12日*）

a[n_]：=64^n Pochhammer[1/4，n]Pochhamme[3/4，n]/n^2; (*迈克尔·索莫斯2014年8月12日*）

黄体脂酮素

（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，（4*n）！/（（2*n））！*n！^2）}/*迈克尔·索莫斯2005年10月31日*/

（GAP）a:=n->总和（[0..3*n]，k->（-1）^k*二项式（3*n，k）*二项法（6*n-k，3*n）*

二项式（2*k，k）；；

A000897号：=列表（[0..14]，n->a（n））#穆尼鲁A阿西鲁2018年2月11日

交叉参考

囊性纤维变性。A002897号,A008977号,A186420个,A188662号.椭圆积分：A002894号,A113424号,A006480元.因素：A005809号,A005810号,A000984号,A001448号.

上下文中的序列：A340306型 A249065型 A098602型*A036687号 A262858型 A123778号

相邻序列：A000894号 A000895号 A000896号*A000898号 A000899号 A000900型

关键词

非n,容易的

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的