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随机行走——一维

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让N个沿线.让第页是向右迈出一步的概率，q个向左迈出一步的概率，氮1向右走的步数，以及氮气向左走的步数。工程量第页,q个,氮1,氮气,和N个与…相关

p+q=1
(1)

和

n_1+n_2=n。
(2)

现在检查准确服用的概率氮1步数（共步）N个右边。有（N；n1）=（n1+n2；n1采取的方式氮1向右走几步氮气左边，其中（n；m）是一个二项式系数.取特定有序序列的概率氮1和氮气步骤是p（n1）q（n2）因此，

P（n_1）=（（n_1+n_2）！）/（n1！n2！）p^（n1）q^（n 2）=（n！）/（n 1！（n-n 1）！）p^（n_1）q^（n-n_1，
(3)

哪里不！是一个阶乘的。但这只是一个二项式分布，所以意思是步骤数氮1右边是

<n_1>=pN，
(4)

左边的平均步数是

<n_2>=n-<n_1>=n（1-p）=qN。
(5)

类似地方差由提供

σ_（n_1）^2=<n_1^2>-<n_1>^2=Npq，
(6)

和根-平方偏差为

σ_（n_1）=sqrt（Npq）。
(7)
随机行走偏差

现在考虑距离的分布d_N（数字）在给定步数后行驶，

d_N=N_1-N_2=2n_1-N，
(8)

而不是数给定方向上的步骤。以上图表显示d_N（p）对于N=200和三个值p=0.1,p=0.5、和p=0.9分别是。很明显，将步骤加权为一方向或其他因素影响整体趋势，但仍有很多随机散布，如下图所示，图中显示了三次随机漫步全部与p=0.5.

随机行走

令人惊讶的是，行走中最可能发生的符号变化数是0，其次是1，然后是2，依此类推。

对于随机行走p=1/2，概率P_N（d）行驶一定距离d日之后N个下表给出了步骤。

步骤-5-4-3-2-1012三45
01
11/201/2
21/402/401/4
三1/803/803/801/8
41/(16)04/(16)06/(16)04/(16)01/(16)
51/(32)05/(32)0(10)/(32)0(10)/(32)05/(32)01/(32)

在该表中，通过添加一半将给定行中的每个单元格转换为其斜下方的两个单元格中的每个。事实上，很简单帕斯卡三角形用介入物填充零，每行乘以1/2的额外因子。这个系数在这个三角形中

P_N（d）=1/（2^N）（N；（d+N）/2）
(9)

（帕普利斯1984年，第291页）。那些时刻

mu_p=sum_（d=-N，-（N-2），。。。，N） d^pP_N（d）
(10)

of this distribution of签署距离由下式给出

亩=0
(11)
二氧化锰=N个
(12)
mu_3=0
(13)
四氧化二锰=N（3N-2），
(14)

所以意思是是μ=0，的偏斜度是γ_1=0、和峰态超越是

γ_2=-2/N。
(15)

之后绝对距离的期望值N个因此，步骤如下所示

<d_N>=总和（d=-N，-（N-2），…）^（N） |d|P_N（d）
(16)
=1/（2^N）总和_（d=-N，-（N-2），…）^（N） （|d|N！）/（（N+d）/2）！（（N-d）/2）！）。
(17)

这个总和可以通过单独考虑案例来象征性地完成N个 即使和N个 古怪的首先，考虑即使 N个以便N=2焦耳.然后

<d_（2J）>=（N！）/（2^N）[总和_（d=-2J，；-2（J-1），…）^（-2）（|d|）/（（2J+d）/2）！（2J-d）/2
(18)
=（N！）/（2^N）[sum_（d=-J，-（J-1），…）^（-1）（|2d|）/（（2J+2d）/2）！（2J-2d）/2
(19)
=（N！）/（2^N）[2sum_（d=1）^（J）（2d）/（（J+d）！（J-d）！）]
(20)
=（N！）/（2^（N-2））总和_（d=1）^（J）d/（（J+d）！（J-d）！）。
(21)

但这个总和可以通过分析计算为

sum_（d=1）^Jd/（（J+d）！（J-d）！）=1/（2伽马（J）伽马（1+J））。
(22)

写作J=无,重新插入并简化

<d_（N偶数）>=2/（sqrt（pi））（伽马（1/2+1/2N））/（伽玛（1/2N））=（（N-1）！）/（（N-2）！！），
(23)

哪里不！！是双阶乘.

现在考虑一下N个 古怪的，所以N=2J-1.然后

<d_（奇数N）>=<d_（2J-1）>
(24)
=（N！）/（2^N）[总和_（d=-（2J-1），；-（2J+1），…）^（-1）（|d|）/（（2J-1+d）/2）
(25)
=（N！）/（2^（N-1））[sum_（d=1,3，…）^（2J-1）d/（（（2J-1+d）/2）！（（2J-1-d）/2）！）]
(26)
=（N！）/（2^（N-1））[总和_（d=2.4，…）^（2J）（d-1）/（（2J-2+d）/2）！（2J-d）/2！）]
(27)
=（N！）/（2^（N-1））[sum_（d=1）^（J）（2d-1）/（（J+d-1）！（J-d）！）]。
(28)

但这个总和可以通过分析计算为

sum_（d=1）^J（2d-1）/（（J+d-1）！（J-d）！）=1/（[γ（J）]^2）。
(29)

写作J=（N+1）/2,重新插入并简化

<d_（奇数N）>=（N！）/（2^（N-1）[伽马（1/2+1/2N）]^2）
(30)
=2/（平方（pi））（伽马（1/2N+1））/（伽玛（1/2 N+1/2））
(31)
=（N！！）/（N-1）！！）。
(32)

两者都是即使和古怪的解决方案可以用J作为

<d_J>=2/（平方（pi））（伽马（J+1/2））/（伽玛（J））=（（2J-1）！）/（（2J-2）！！），
(33)

或明确表示N个作为

<d_N>=2^（1-n）[n/2]（n；[n/2）
(34)
={（（N-1）！！）/（（N-2）。
(35)

的前几个值<d_N>对于N=0, 1, ... 因此是0、1、1、3/2、3/2，15/8、15/8，35/16，35/16, ... （组织环境信息系统A086116号和A060818型;Abramowitz和Stegun 1972，Prévost 1933，Hughes 1995），其中条款每对都由生成函数

（1-x）^（-3/2）=1+3/2x+（15）/8x^2+（35）/（16）x^3+（315）/（128）x^4+。。。。
(36)

这些数字也出现在头尾相连分布.

现在，检查<d_N>。的渐近展开伽马射线功能比率为

（伽马射线（J+1/2））/（伽马（J））=平方（J）（1-1/（8J）+1/（128J^2）+…）
(37)

（格雷厄姆等。1994），因此插入以下表达式<d_N>给出了渐近级数

<d_N>=sqrt（（2N）/pi）（1∓1/（4N）+1/（32N^2）+/-5/（128N^3）-（21）/（2048N^4）∓…），
(38)

上面的标志被视为N个 即使和底部标志N个 古怪的因此，对于大型N个,

<d_N>～sqrt（（2N）/pi），
(39)

Grünbaum（1960）、Mosteller也展示了这一点等。（1961年，第14页），和科尼格等。(1999).

Tóth（2000）已经证明，在具有单位步长的一维简单对称随机行走中，最多访问的站点不超过三个。

另请参见

二项式分布,加泰罗尼亚数字,头-负-尾分发,第页-好的道路,Pólya的随机行走常数,随机行走——二维,随机行走——三维,自我回避步行,维纳过程

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工具书类

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“随机行走——一维。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/RandomWalk1-Dimensional.html

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