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Pólya的随机游动常数


第(d)页是a的概率随机游走在上d日-D晶格返回原点。1921年,Pólya证明那个

 p(1)=p(2)=1,
(1)

但是

 p(d)<1
(2)

对于d> 2个.沃森(1939年)、麦克雷和惠普尔(1940年)、多姆(1954年)和格拉泽和扎克(1977年)表明了这一点

 p(3)=1-1/(u(3))=0.3405373296。。。
(3)

(组织环境信息系统A086230型),其中

u(3)=3/((2pi)^3)整数_(-pi)^piint_(-pi)^piint _(-p1)^pi(dxdydz)/(3-cosx-cosy-cosz)
(4)
=(12) /(pi^2)(18+12sqrt(2)-10sqrt
(5)
=3(18+12平方(2)-10平方(3)-7平方(6))[1+2sum_(k=1)^(infty)exp(-k^2pisqrt(6)]^4
(6)
=3(18+12平方(2)-10平方(3)-7平方(6))θ3^4(0,e^(-pisqrt(6)
(7)
=(sqrt(6))/(32pi^3)伽马(1/(24))伽马
(8)
=1.5163860592...
(9)

(组织环境信息系统A086231号; Borwein and Bailey 2003,Ch.2,Ex.20)是沃森三重积分模乘常数,K(K)是一个完成第一类椭圆积分,θ3(0,q)是一个雅各比θ函数、和伽马(z)伽马函数.

已关闭的表单d> 3个尚不清楚,但Montroll(1956)表明d> 3个,

 p(d)=1-[u(d)]^(-1),
(10)

哪里

u(d)=d/((2pi)^d)int_(-pi)^piint_(-pi)^π。。。int_(-pi)^pi_()_(d)(d-sum_(k=1)^(d)cosx_k)^
(11)
=int_0^infty[I_0(t/d)]^de^(-t)dt,
(12)

I_0(z)是一个修正贝塞尔函数第一类.

的数值第(d)页来自Montroll(1956)和Flajolet(Finch 2003)在下表中。

d日组织环境信息系统第(d)页
A086230型0.340537
4A086232美元0.193206
5A086233号0.135178
6A086234号0.104715
7A086235型0.0858449
8A086236号0.0729126

另请参见

随机漫游,沃森的三重积分

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工具书类

Borwein,J.和Bailey,D。实验数学:21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利:AK Peters,2003年。芬奇,S.R。“Pólya的随机行走常数。”§5.9英寸数学常量。英国剑桥:剑桥大学出版社,第322-331页,2003Domb,C.“关于随机游走问题中的多重回报”程序。剑桥菲洛斯。Soc公司。 501954年,第586-591页。格拉泽,M.L.公司。和I.J.Zucker。“立方晶格的扩展Watson积分。”程序。美国国家科学院。科学。美国。 74, 1800-1801, 1977.麦克雷,W.H.公司。和F.J.Whipple。W。“二维和三维随机路径。”程序。罗伊。Soc.爱丁堡 60, 281-298, 1940.蒙罗尔,东-西。“多维空间中的随机游动,特别是在周期空间中格子。"J.暹罗 4, 241-260, 1956.新泽西州斯隆。A。序列A086230型,A086231号,A086232型,A086233号,A086234号,A086235型,A086236号在线百科全书整数序列的。"G.N.沃森。“三重积分。”夸脱。数学杂志。,牛津大学。2 10, 266-276, 1939.

引用的关于Wolfram | Alpha

Pólya随机数行走常数

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Pólya的随机行走常数”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PolyasRandomWalkConstants.html

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