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Pólya的随机游动常数

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让第（d）页是a的概率随机游走在上d日-D晶格返回原点。1921年，Pólya证明那个

p（1）=p（2）=1，
(1)

但是

p（d）<1
(2)

对于d> 2个.沃森（1939年）、麦克雷和惠普尔（1940年）、多姆（1954年）和格拉泽和扎克（1977年）表明了这一点

p（3）=1-1/（u（3））=0.3405373296。。。
(3)

（组织环境信息系统A086230型)，其中

u（3）=3/（（2pi）^3）整数_（-pi）^piint_（-pi）^piint _（-p1）^pi（dxdydz）/（3-cosx-cosy-cosz）
(4)
=（12） /（pi^2）（18+12sqrt（2）-10sqrt
(5)
=3（18+12平方（2）-10平方（3）-7平方（6））[1+2sum_（k=1）^（infty）exp（-k^2pisqrt（6）]^4
(6)
=3（18+12平方（2）-10平方（3）-7平方（6））θ3^4（0，e^（-pisqrt（6）
(7)
=（sqrt（6））/（32pi^3）伽马（1/（24））伽马
(8)
=1.5163860592...
(9)

（组织环境信息系统A086231号; Borwein and Bailey 2003，Ch.2，Ex.20）是沃森三重积分模乘常数，K（K）是一个完成第一类椭圆积分,θ3（0，q）是一个雅各比θ函数、和伽马（z）是伽马函数.

已关闭的表单d> 3个尚不清楚，但Montroll（1956）表明d> 3个,

p（d）=1-[u（d）]^（-1），
(10)

哪里

u（d）=d/（（2pi）^d）int_（-pi）^piint_（-pi）^π。。。int_（-pi）^pi_（）_（d）（d-sum_（k=1）^（d）cosx_k）^
(11)
=int_0^infty[I_0（t/d）]^de^（-t）dt，
(12)

和I_0（z）是一个修正贝塞尔函数第一类.

的数值第（d）页来自Montroll（1956）和Flajolet（Finch 2003）在下表中。

d日组织环境信息系统第（d）页
三A086230型0.340537
4A086232型0.193206
5A086233号0.135178
6A086234号0.104715
7A086235型0.0858449
8A086236号0.0729126

另请参阅

随机漫游,沃森氏三重积分

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Borwein，J.和Bailey，D。实验数学：21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利：AK Peters，2003年。芬奇，S.R.“Pólya的随机行走常数”§5.9英寸数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第322-331页，2003Domb，C.“关于随机游走问题中的多重回报”程序。剑桥菲洛斯。Soc公司。 50, 586-591, 1954.格拉泽，M.L.和Zucker，I.J.《立方晶格的扩展Watson积分》程序。美国国家科学院。科学。美国。 74, 1800-1801, 1977.麦克雷，W.H.和Whipple，F.J.W.，《二维和三维随机路径》程序。罗伊。Soc.爱丁堡 60, 281-298, 1940.蒙罗尔，E.W.“多维空间中的随机游动，特别是在周期上格子。"J.SIAM公司 4, 241-260, 1956.新泽西州斯隆。序列A086230型,A086231号,A086232型,A086233号,A086234号,A086235型,和A086236号在线百科全书整数序列的。"Watson，G.N.“三重积分”夸脱。数学杂志。，牛津大学。2 10, 266-276, 1939.

引用关于Wolfram | Alpha

Pólya的随机漫游常量

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Pólya的随机漫步常数。”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PolyasRandomWalkConstants.html

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