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随机行走——二维


随机漫游2D

在一个飞机,考虑以下总和N个二维的向量随机方向。使用相量记法,并让每个矢量随机的,随机的.假设N个在任意方向(即角度θ均匀分布于[0,2pi)在上晶格),如上所示。职位z(z)在中复平面之后N个步骤如下所示

 z=总和(j=1)^Ne^(itheta_j),
(1)

其中有绝对平方

|z|^2(z)=sum_(j=1)^(N)e^(itheta_j)sum_
(2)
=总和_(j=1)^(N)总和_(k=1)*(N)e^(i(theta_j-theta_k))
(3)
=N+总和_(j,k=1;k!=j)^(N)e^(i(theta_j-theta_k))。
(4)

因此,

 <|z|^2>=N+<sum_(j,k=1;k!=j)^Ne^(i(theta_j-theta_k))>。
(5)

每个单元步骤都有可能朝任何方向(θjθ_k). 位移为随机的,随机的变量具有相同的方法以及它们之间的差异也是一个随机变量。此分布的平均值积极的消极的产生的期望值为0,因此

 <|z|^2>=N。
(6)

之后的均方根距离N个因此,单位步数为

 |z | _(rms)=平方(N),
(7)

所以步长为我,这变成

 d_(rms)=lsqrt(N)。
(8)

为了旅行一段距离天,

 N约(d/l)^2
(9)

因此需要步骤。

RandomWalk2D晶格

令人惊讶的是,已经证明在二维上晶格,随机游走到达任意点(包括起点)的概率为1点)随着步长的增加无穷.


另请参见

Pólya的随机游动常数,随机行走——一维,随机行走——三维

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工具书类

W.H.麦克雷。和F.J.Whipple。西。“二维和三维随机路径。”程序。罗伊。Soc.爱丁堡 60,281-298, 1940.

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“随机漫游——二维。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/RandomWalk2-Dimensional.html

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