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丢番图方程——二次幂

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二元广义二次丢番图方程x个和年由给定

ax^2+cy^2=k，
(1)

哪里一，c（c），和k是指定的（正或负）整数，并且x个和年是满足其值的方程的未知整数正在寻找。更一般的二阶方程

ax^2+bxy+cy^2=k
(2)

是高斯的主要论题之一算术研究根据Itó（1987），方程式(2)可以使用完全解决解决方案Pell方程尤其是，所有的解决方案

ax^2+bxy+cy^2=1
(3)

属于收敛的连分数的根轴^2+bx+c.

一般二元二次丢番图方程的解在Wolfram语言作为减少[当量（eqn）&&元素[x个|年，整数],{x个，年}]。

对于两个以上变量的二次丢番图方程，由于C.L。西格尔。

一个方程式表单的

x^2-Dy^2=1，
(4)

哪里D类是一个整数是一种非常特殊的方程一Pell方程.Pell方程，以及右侧带有负号的类似方程可以通过找到连续分数对于平方英尺（D）.更复杂的方程

x^2-Dy^2=c
(5)

也可以求解某些值c（c）和D类，但程序更复杂（Chrystal 1961）。然而，如果使用单一解决方案(5)已知，其他解决方案可以是使用标准技术发现Pell方程.

下表总结了素数的可能表示第页给定形式，其中x个和年是正整数。除所示外，无奇数素数分享这些财产（纳格尔1951年，第188页）。

形式同余第页
x ^2+y ^2=1（模式4）
x^2+2y^2=1,3（修订版8）
x^2+3y^2=1（第6版）
x^2+7y^2=1,9,11（14年款）
2x^2+3y^2=5,11（24年款）

作为研究的一部分华林问题，已知每个正整数是不超过4个正平方的和(克（2）=4;四平方和定理),每个“足够大”的整数是不超过4个正数的和正方形(G（2）=4),并且每个整数是最多3个有符号平方的和(例（2）=3). 如果零被算作正方形积极的和消极的包括数字，以及这两个正方形是不同的，雅各比表示可以写成两个平方和（r2（n）函数）是约数表单的4倍+1超过约数 表单的 4x-1型.

给出初始解决方案（x，y，z）=（m，n，p）到方程式

ax^2+bxy+cy^2=dz^2，
(6)

使用恒等式可以找到二次参数化

（ax^2+bxy+cy^2-dz^2）=（am^2+bmn+cn^2-dp^2）（au^2+buv+cv^2）^2，
（7）

哪里

x个=（am+bn）u^2+2cnuv-cmv^2
（8）
年=-anu^2+2amuv+（bm+cn）v^2
(9)
z（z）=p（au^2+buv+cv^2）
(10)

用于任意u、 v（v）（T.Piezas，pers.comm.，2006年4月28日）。

1769年，欧拉（1862）注意到了这个身份

alphab（apr+/-betaqs）^2+abeta（alphaps∓bqr）^2=（aalphap^2+bbetaq^2）（abr^2+alphabetas^2），
(11)

它给出了方程的参数解

轴^2+按^2=C
(12)

对于整数A、 B、C、x、y具有C类复合材料（Dickson 2005，第407页）。

调用包含求和的丢番图方程米 k第个权力等于总和属于n个 k第个权力a“k.m.n（英国）等式。“2.1.2二次丢番图方程

A^2=B^2+C^2，
(13)

对应于查找勾股三元组(A类，B类，C类)有一个众所周知的通用解决方案（Dickson 2005，第165-170页）。要解决等式，注意每首要的 属于表格 4倍+1可以表示为二之和相当地首要的平方英寸正好一个方式。一套整数满足2.1.3方程

A^2=B^2+C^2+D^2
(14)

称为毕达哥拉斯四联.

2.2.2方程的参数解

A^2+B^2=C^2+D^2
(15)

已知（Dickson 2005；Guy 1994，第140页）。解的数量由平方和函数 r2（n）.

方程的解表单的

（A^2+B^2）（C^2+D^2）=E^2+F^2
(16)

由斐波那契恒等式

（a^2+b^2）（c^2+d^2）=（ac+/-bd）^2+（bc∓ad）^2=e^2+f^2。
(17)

另一个类似的身份是欧拉四边形身份

（a_1^2+a_2^2）（b_1^2+b2^2）
(18)
（a_1^2+a_2^2+a_3^2+a _4^2）（b_1^2+b2^2+b_3^2+b_4^ 2）=（a_1b_1-a_2b_22-a_3b_3b_3-a_4b_4）^2+（a_1b2+a_2b_1+a_3b_4-a_4b_3）^2+。
(19)

德根的八方身份持有八个方块，但没有其他数字，正如凯利所证明的那样。双重身份在很大程度上三角学，四方形识别一些四元数和八方形身份凯莱代数（非对易的非结合代数；贝尔1945）。

陈树文发现了2.6.6等式

87^2+233^2+264^2+396^2+496^2+540^2=90^2+206^2+309^2+366^2+522^2+523^2.
(20)

拉马努扬平方方程

2^n-7=x^2
(21)

已经证明只有解决方案n=3、4、5、7和15（Schroeppel 1972；OEISA060728号).在一个未发表的证明中，欧拉证明了二次丢番图方程

2^n=7x^2+y^2
(22)

对每一个积极因素都有独特的解决方案n> =3在哪儿x个和年既奇怪又积极（恩格尔1998年，第126页）。相反令人惊讶的是，这些可以通过

x个=（2^（n/2））/（sqrt（7））|sin[tan（-1）（sqrt（7）]|
(23)
年=2^（n/2）|cos[ntan^（-1）（sqrt（7））]|，
(24)

它与二次场 Q（平方米（-7））表现出独特的因子分解（Hickerson 2002）。前几个解决方案（x，y）对于n=1, 2, 3, ... 是（1，1）、（1，3）、（1,5）、（3，1）和（1，11），(5, 9), (7, 13), (3, 31), ... （组织环境信息系统A077020型和A077021号).

另请参见

代数，炮弹问题，续分数，丢番图碱方程式，欧拉四方形恒等式，属定理，希尔伯特符号，拉格朗日数，勒贝格身份，佩尔方程，毕达哥拉斯语四倍，毕达哥拉斯三元组，二次方残留，拉马努扬平方方程，平方数字，总和平方函数，Waring的问题

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“丢番图方程——第二个权力。“发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation2ndPowers.html

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