如果有整数 这样的话
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(1)
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即同余(1)有解决方案,那么称为二次剩余(mod). 请注意,这个微不足道的案例通常不包括在二次剩余列表中(例如。,Hardy和Wright 1979年,第67页),因此二次剩余数(mod)被认为比数字小一平方(mod).然而,其他来源包括0作为二次剩余。
如果同余没有解,那么据说是一个二次的无剩余的(修订版).哈代和赖特(1979年,第67-68页)使用速记符号和,表示分别是二次剩余或非剩余。
实际上,将范围限制为,其中是楼层功能,因为对称性.
例如,,so6是二次剩余(mod10)。整个二次剩余集(mod 10)由1、4、5、6和9给出,因为
使数字2、3、7和8成为二次无余数(mod 10)。
的二次残差列表如下所示(OEISA046071号),用那些数字不在列表中是二次非剩余.
| 二次剩余 |
1 | (无) |
2 | 1 |
三 | 1 |
4 | 1 |
5 | 1, 4 |
6 | 1,3, 4 |
7 | 1, 2, 4 |
8 | 1, 4 |
9 | 1, 4, 7 |
10 | 1、4、5、6、9 |
11 | 1,3, 4, 5, 9 |
12 | 1, 4,9 |
13 | 1, 3, 4, 9, 10,12 |
14 | 1, 2, 4, 7, 8,9, 11 |
15 | 1, 4, 6, 9,10 |
16 | 1, 4, 9 |
17 | 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16 |
18 | 1, 4, 7, 9, 10, 13, 16 |
19 | 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17 |
20 | 1、4、5、9、16 |
二次剩余数(mod)的, 2, ... 是0、1、1、2、3、3、2、三、五、五、三、六、七、五,3, ... (组织环境信息系统A105612号).
最大二次剩余, 3, ... 是1、1、1,4、4、4,4、7、9、9、12、11。。。(组织环境信息系统A047210号).
处理二次剩余时必须小心,因为有时显然也会使用稍微不同的定义。例如,Stangl(1996)采用了明显的二次剩余的非标准定义整数 令人满意的这样的话和是相对质数到.因此,该定义不包括非单位(mod). 根据这个定义,二次剩余(mod)的, 2, ... 如下所示(OEISA096103号,它们的数量是由0、1、1、2、1、3、1、三、2、5、1、6。。。(组织环境信息系统A046073号)和数量正方形 在里面与数字有关中的二次剩余通过
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(5)
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对于和奇素数(Stangl,1996)。(请注意和是乘法的功能.)
| 非单位正方形(mod) |
2 | 1 |
三 | 1 |
4 | 1 |
5 | 1,4 |
6 | 1 |
7 | 1, 2, 4 |
8 | 1 |
9 | 1, 4, 7 |
给定一个奇数素数 和一个整数 ,然后是Legendre符号由提供
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(6)
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如果
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(7)
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然后是二次剩余(+)或非剩余(). 这可以看出,因为如果是的二次剩余,则存在一个正方形这样的话,所以
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(8)
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和等于1(mod)由费马小定理.
鉴于和一致
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(9)
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可以显式计算和某些特殊形式的:
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(10)
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例如,第一个表单可用于查找给定二次剩余、3、4、5和9(mod,具有)而第二种和第三种形式决定给定二次剩余、3、4、9、10和12(修订版,具有)、和, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 12, 16, 21, 25, 26, 27, 28, 30, 33,34、36(修订版,有).
一般来说,让是模an的二次剩余奇数素数 。选择这样Legendre符号 .然后定义
给予
以及二次型的一个解同余是
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(16)
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Schoof(1985)给出了一个求带运行时间(哈迪等人。1990). 同余可以求解由Wolfram语言命令电源模块[q个,1/2,第页].
下表给出了素数它们有一个给定的数字作为二次剩余。
查找连续分数的平方根 并使用关系
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(17)
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对于第个收敛的 给予
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(18)
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因此,是的二次剩余.但自从,是二次剩余,必须如此.但自从是二次剩余,也是我们看到了都是的二次剩余.此方法不能保证生成所有二次剩余,但在大的情况下通常可以产生几个小的,启用需要考虑因素。
另请参见
员工,欧拉准则,雅各比符号,克罗内克符号,Legendre符号,模乘法组,乘法函数,二次方,二次方无残留,二次互惠定理,黎曼假设
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工具书类
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二次剩余
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“二次剩余。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/QuadraticRestival.html
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