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二次剩余


如果有整数 0<x<p这样的话

 x^2=q(模p),
(1)

即同余(1)有解决方案,那么q个称为二次剩余(mod第页). 请注意,这个微不足道的案例q=0通常不包括在二次剩余列表中(例如。,Hardy和Wright 1979年,第67页),因此二次剩余数(modn个)被认为比数字小一平方(modn个).然而,其他来源包括0作为二次剩余。

如果同余没有解,那么q个据说是一个二次的无剩余的(修订版第页).哈代和赖特(1979年,第67-68页)使用速记符号q R pq无p,表示q个分别是二次剩余或非剩余。

实际上,将范围限制为0<x<=| p/2_|,其中|_x个_|楼层功能,因为对称性(p-x)^2=x^2(mod p).

例如,4^2=6(mod 10),so6是二次剩余(mod10)。整个二次剩余集(mod 10)由1、4、5、6和9给出,因为

1^2=1(mod 10)2^2=4(mod十)3^2=9(mod十月)
(2)
4^2=6(10版)5^2=5(10版
(3)
7^2=9(mod 10)8^2=4(mod十)9^2=1(mod十月),
(4)

使数字2、3、7和8成为二次无余数(mod 10)。

二次剩余

的二次残差列表p≤20如下所示(OEISA046071号),用那些数字<p不在列表中是二次非剩余第页.

第页二次剩余
1(无)
21
1
41
51, 4
61,3, 4
71, 2, 4
81, 4
91, 4, 7
101、4、5、6、9
111,3, 4, 5, 9
121, 4,9
131, 3, 4, 9, 10,12
141, 2, 4, 7, 8,9, 11
151, 4, 6, 9,10
161, 4, 9
171, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16
181, 4, 7, 9, 10, 13, 16
191, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17
201、4、5、9、16
二次剩余数

二次剩余数(modn个)的n=1, 2, ... 是0、1、1、2、3、3、2、三、五、五、三、六、七、五,3, ... (组织环境信息系统A105612号).

最大二次剩余二元图

最大二次剩余p=2, 3, ... 是1、1、1,4、4、4,4、7、9、9、12、11。。。(组织环境信息系统A047210号).

处理二次剩余时必须小心,因为有时显然也会使用稍微不同的定义。例如,Stangl(1996)采用了明显的二次剩余的非标准定义整数 x个令人满意的0<x<p这样的话x^2=q(模p)x个相对质数第页.因此,该定义不包括非单位(mod第页). 根据这个定义,二次剩余(modn个)的n=1, 2, ... 如下所示(OEISA096103号,它们的数量是由0、1、1、2、1、3、1、三、2、5、1、6。。。(组织环境信息系统A046073号)和数量正方形 秒(n)在里面Z(_n)与数字有关q(n)中的二次剩余Z(_n)通过

 q(p^n)=s(p^n)-s(p^(n-2))
(5)

对于n> =3第页奇素数(Stangl,1996)。(请注意q个秒乘法的功能.)

n个非单位正方形(modn个)
21
1
41
51,4
61
71, 2, 4
81
91, 4, 7

给定一个奇数素数 第页和一个整数 一,然后是Legendre符号由提供

 如果a是二次剩余mod p,则(a/p)={1;否则为-1。
(6)

如果

 r^((p-1)/2)=+/-1(mod p),
(7)

然后第页是二次剩余(+)或非剩余(-). 这可以看出,因为如果第页是的二次剩余第页,则存在一个正方形x ^2(x ^2)这样的话r=x^2(mod p),所以

 r^((p-1)/2)=(x^2),
(8)

x^(p-1)等于1(mod第页)由费马小定理.

鉴于第页q个一致

 x^2=q(模p),
(9)

x个可以显式计算第页q个某些特殊形式的:

 对于p=4k+3,x={q^(k+1)(mod p);对于p=8k+5和q^。
(10)

例如,第一个表单可用于查找x个给定二次剩余q=1、3、4、5和9(modp=11,具有k=2)而第二种和第三种形式决定x个给定二次剩余q=1、3、4、9、10和12(修订版p=13,具有k=1)、和q=1, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 12, 16, 21, 25, 26, 27, 28, 30, 33,34、36(修订版p=37,k=4).

一般来说,让q个是模an的二次剩余奇数素数 第页。选择小时这样Legendre符号 (h^2-4q/p)=-1.然后定义

第1版=小时
(11)
第2版=小时2至2个
(12)
V _ i=i>=3时的hV_(i-1)-qV_(i-2),
(13)

给予

V_(2i)=V_i^2-2q^i
(14)
V_(2i+1)=V_iV_(i+1)-hq^i,
(15)

以及二次型的一个解同余

 x=1/2(p+1)V_((p+1/2)(mod p)。
(16)

Schoof(1985)给出了一个求x个带运行时间O(ln^(10)n)(哈迪等人。1990). 同余可以求解Wolfram语言命令电源模块[q个,1/2,第页].

下表给出了素数它们有一个给定的数字d日作为二次剩余。

d日素数
-624公里+1,5,7,11
-520k+1,3,7,9
-36公里+1
-28k+1,3
-14公里+1
28k+/-1
12公里+/-1
510公里+/-1
624千+/-1.5

查找连续分数平方根 平方米(D)并使用关系

 Q_n=(D-P_n^2)/(Q_(n-1))
(17)

对于n个第个收敛的 P_n/Q_n给予

 P_n^2=-Q_nQ_(n-1)(模D)。
(18)

因此,-Q_nQ_(n-1)是的二次剩余D类.但自从Q_1=1,-问题2是二次剩余,必须如此-问题2问题3.但自从-问题2是二次剩余,也是问题3我们看到了(-1)^(n-1)Q_n都是的二次剩余D类.此方法不能保证生成所有二次剩余,但在大的情况下通常可以产生几个小的D类,启用D类需要考虑因素。


另请参见

员工,欧拉准则,雅各比符号,克罗内克符号,Legendre符号,乘法组,乘法函数,二次方,二次方无残留,二次互惠定理,黎曼假设

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工具书类

伯吉斯,D.A。“二次剩余和无剩余的分布。”马西马蒂卡 4, 106-112, 1975.伯顿,D.M.博士。初级数论,第4版。纽约:McGraw-Hill,第201页,1997年。库兰特,R.和Robbins,H.“二次剩余”,第1章增补部分第2.3条在里面什么数学吗思想和方法的基本方法,第2版。牛津,英国:牛津大学出版社,第38-40页,1996年。盖伊,R.K。“二次剩余.舒尔猜想”和“二次型”残留物。“§F5和F6未解决数论中的问题,第二版。纽约:Springer-Verlag,第244-248页,1994哈代,K。;马斯卡特,J.B。;和Williams,K.S。“A求解的确定性算法n=fu^2+gv^2以互质整数表示u个v(v)."数学。计算。 55, 327-343, 1990.哈代,G.H.公司。和Wright,E.M。“二次剩余”第6.5节数字理论导论,第5版。英国牛津:克拉伦登出版社,第67-681979页。希尔顿,P。;霍尔顿,D。;和J.Pedersen。数学有许多镜子的房间里的倒影。纽约:Springer-Verlag出版社,第43页,1997G.A.琼斯。和Jones,J.M。“二次剩余。”通道7英寸初级数论。柏林:Springer-Verlag,第119-141页,1998年。纳格尔,T.“二次残数理论”,第4章介绍数字理论。纽约:Wiley,第115和132-1551951页。尼文,I.和Zuckerman,H。数字理论导论,第四版。纽约:Wiley,第84页,1980罗森,K.H。通道9英寸初级数论及其应用,第三版。马萨诸塞州雷丁:Addison-Wesley,1993有限域上的Schof,R.“椭圆曲线及其计算平方根mod第页."数学。计算。 44, 483-494, 1985.Séroul,R.“二次曲线残留物。“§2.10编程对于数学家来说。柏林:Springer-Verlag,第17-18页,2000年。柄,D。解决了的《数论中未解决的问题》,第四版。纽约:切尔西,第63-66页,1993新泽西州斯隆。答:。序列A046071号,A046073号,A047210号,A096103号在线百科全书整数序列的。"斯坦格尔,W.D。“计数平方在里面Z(_n)."数学。美格。 69, 285-289, 1996.A.托内利“Bemerkung在Congruenzen,Auflösung quartarischer。"哥廷根·纳克尔。,344-346, 1891.Wagon,S.“二次剩余”第9.2节数学软件正在运行。纽约:W.H。弗里曼,第292-2961991页。韦德尼夫斯基,《换向器曲线的基本性测试》,论文。杜宾根,德国,2001年。http://www.hipilib.de/prime/primality-tests-on-communiator-curves.pdf.

引用的关于Wolfram | Alpha

二次剩余

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“二次剩余。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/QuadraticRestival.html

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