帕斯卡三角形

帕斯卡三角形是递归生成的数字的几何排列，它生成二项式系数.它以法国数学家的名字命名布莱斯·巴斯卡（他在17年学习过^第个尽管在意大利、印度、波斯和中国，其他数学家早于他几个世纪就对它进行了研究。因此，三角形被称为其他名称，例如塔塔格里亚三角在意大利和更早的时期（约公元前500年）杨辉三角在中国。

帕斯卡三角形的矩形版本
（数字三角形）

${\显示样式\脚本样式n\，}$= 0	1
1	1	1
2	1	2	1
三	1	三	三	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1
11	1	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1
12	1	12	66	220	495	792	924	792	495	220	66	12	1
	${\显示样式\脚本样式d\，}$= 0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12

在帕斯卡三角形的等边形式，我们从一个空（0）单元格交错数组中初始化为1的单元格（第0行）开始。然后，我们递归地将单元格计算为上面交错排列的两个单元格的总和。这样三角形就长成了等边三角形。

在帕斯卡三角形的矩形形式，我们从一个空（0）单元格的常规数组中初始化为1的单元格（第0行）开始。然后，我们递归地将单元格计算为左上方单元格和正上方单元格的总和。这样，三角形就变成了一个矩形三角形。

因此，每行上最外层的非零单元格设置为1。所有内部单元格必须大于或等于2，行0到行的单元格数$｛\displaystyle\scriptstyle n\，｝$等于1的是$｛\displaystyle\scriptstyle 2n+1\，｝$（参见。A005408号)以及从第0行到第0行的单元格数${\显示样式\脚本样式n\，}$大于或等于2的是${\显示样式\脚本样式P_{3}^{（2）}（n-1）\，}$，的${\显示样式\脚本样式（n-1）\，}$^第个 三角形数.

递归规则

帕斯卡的三角形递归规则是

$｛\displaystyle T（n，0）=T（n，n）=1，\，｝$

${\显示样式T（n，d）=T（n-1，d-1）+T（n-1，d），\四元0<d<n，\，}$

或等效地，使用二项式系数表示法

${\显示样式{\binom{n}{0}={\binom{n}}=1，\，}$

${\显示样式{\binom{n}{d}}={\binrom{n-1}{d-1}}+{\binom{n-1{d}，\quad 0<d<n.\，}$

帕斯卡三角形和二项式系数

帕斯卡三角形是一张表二项式系数，即展开二项式的系数

${\显示样式（1+x）^{n}=\sum_{d=0}^{n{{\binom{n}{d}}~x^{d}\equiv\sum_{d=0.}^{n}{\frac{n！}{d！（n-d）^{n} T型（n，d）~x^{d}，\quadn\geq0，\，}{n} T型（n，d）~x^{d}，\quadn\geq0，\，}$

哪个是生成函数对于${\显示样式\脚本样式n\，}$^第个帕斯卡三角形的行（有限序列）。

帕斯卡三角形行

${\显示样式\脚本样式n\，}$= 0	1
1	1	1
2	1	2	1
三	1	三	三	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1
11	1	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1
12	1	12	66	220	495	792	924	792	495	220	66	12	1
	${\显示样式\脚本样式d\，}$= 0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Pascal的三角形行给出了有限序列的无限序列

{{1}, {1, 1}, {1, 2, 1}, {1, 3, 3, 1}, {1, 4, 6, 4, 1}, {1, 5, 10, 10, 5, 1}, {1, 6, 15, 20, 15, 6, 1}, {1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1}, {1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1}, {1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1}, ...}

的生成函数${\显示样式\脚本样式d\，}$^第个,${\显示样式\脚本样式d\，\geq\，0\，}$，的成员$｛\displaystyle\scriptstyle n\，｝$^第个,${\显示样式\脚本样式n\，\geq\，0\，}$，子序列为

$显示样式G_{{T_{（1,1）}（n，d）}}（x）=（1+x）^{n}，}$

有限序列的无限序列的串联给出了无限序列（Cf。A007318号)

{1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 5, 10, 10, 5, 1, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1, ...}

的生成函数${\显示样式\脚本样式i\，}$^第个,${\显示样式\脚本样式i\，\geq\，0\，}$，成员是

$显示样式G_{{T_{（1,1）}（i={frac{n（n+1）}{2}+d）}}（x）=\sum_{n=0}^{infty}x^{\tfrac{n（n+1）}{2]}~（1+x）^{n}\，}$

帕斯卡三角形行和

相应有限序列的和给出了无限序列（Cf。A000079号)

{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, ...}

The sum for the${\显示样式\脚本样式n\，}$^第个行给出了2的幂,${\显示样式\脚本样式2^{n}\，}$

${\显示样式\sum_{d=0}^{n} T型（n，d）=\sum_{d=0}^{n}{\binom{n}}{d}}=2^{n{，\，}{n} T型（n，d）=\sum_{d=0}^{n}{\binom{n}}{d}}=2^{n{，\，}$

对应于${\显示样式\脚本样式（1+x）^{n}\，}$评估时间：${\显示样式\脚本样式x\，=\，1.\，}$

这个生成函数是

$｛\displaystyleG_｛\sum_｛d=0｝^{n} T型（n，d）}（x）=G{{2^{n}}（x）={1}{1-2x}}，}{n} T型（n，d）}（x）=G{{2^{n}}（x）={1}{1-2x}}，}$

跨行的部分和帕斯卡三角形，即部分和二项式系数，给出伯努利三角形.

帕斯卡三角形行交替符号和

相应有限序列的交替符号和给出了无限序列（Cf。A000007号)

{1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...}

的交替符号和${\显示样式\脚本样式n\，}$^第个行给出了0的幂,${\显示样式\脚本样式0^{n}\，}$（等于1${\显示样式\脚本样式n\，=\，0\，}$的和0${\显示样式\脚本样式n\，>\，0）\，}$

${\显示样式\sum_{d=0}^{n}（-1）^{d}\T（n，d）=\sum_{d=0.}^{n}（-1）^{d\binom{n}{d}}=0^{n，\，}$

对应于${\显示样式\脚本样式（1+x）^{n}\，}$评估时间：${\显示样式\脚本样式x\，=\，-1\，}$.

生成函数为

$显示样式G_{\{\sum_{d=0}^{n}（-1）^{d}\T（n，d）}}（x）=G_{$

帕斯卡的三角行和施勒弗利的(n个-1） -维多面体公式

Schläfli的${\显示样式\脚本样式（n-1）\，}$-维多面体公式（对于亏格0的凸多面体）是笛卡尔-欧拉多面体公式（用于凸多面体属0）到大于3的尺寸。

行的备用总和${\显示样式\脚本样式n\，}$内部数字的Euler-Poincaré特性对于凸面${\显示样式\脚本样式（n-1）\，}$-属0的维多面体，例如。

${\显示样式\sum_{d=1}^{n-1}（-1）^{d+1}~T（n，d）=\chi_{n-1{（0）=1-（-1）$

其为0${\显示样式\脚本样式n-1\，}$偶数，2表示${\显示样式\脚本样式n-1\，}$奇怪。

如果我们考虑$｛\displaystyle\scriptstyle d\，=\，0\，｝$（选择空顶点集的一种方法）和$｛\displaystyle\scriptstyle d\，=\，n\，｝$（选择完整顶点集的一种方法，即多边形本身），然后我们得到

${\显示样式\sum_{d=0}^{n}（-1）^{d+1}~T（n，d）=0^{n{，，}$

从而表明${\显示样式\脚本样式\chi_{n-1}（0）\，=\，1-（-1）^{n-1{，}$就是不计算选择空顶点集和选择完整顶点集的方法的结果。

帕斯卡三角形行数和(d日-1） -尺寸元素(n个-1） -维单纯形

的数量${\显示样式\脚本样式（d-1）\，}$-的维度元素${\显示样式\脚本样式（n-1）\，}$-维单纯形是

${\显示样式{\binom{n-1}{d-1}}=T（n-1，d-1），\，}$

其中0维元素是点，1维元素是边，2维元素是面。。。

帕斯卡的三角形行和素数（和素数幂？）

${\显示样式\脚本样式n\，}$如果GCD公司所有内部单元的${\显示样式\脚本样式n\，}$^第个行是${\显示样式\脚本样式n\，}$.

实际上，看起来${\显示样式\脚本样式n\，}$是一个主要功率 ${\显示样式\脚本样式p^{\alpha}，\，\alpha\，\geq\，1\，}$，如果所有内部单元的GCD${\显示样式\脚本样式n\，}$^第个行是${\显示样式\脚本样式p\，}$，否则为1。（这需要确认……）

所有内部单元的GCD${\显示样式\脚本样式n\，}$^第个行${\显示样式\脚本样式n\，=\，}$2至12

{2,3,2,5,1,7,2,3,1,11,1…}（对比。A014963号${\显示样式\脚本样式（n）\，}$)

帕斯卡（矩形）三角形列（或下降对角线，由于对称）和简单多面体数

（交感多面体）数字三角形

${\显示样式\脚本样式n\，}$= 0	1
1	1	1
2	1	2	1
三	1	三	三	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1
11	1	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1
12	1	12	66	220	495	792	924	792	495	220	66	12	1
	${\显示样式\脚本样式d\，}$= 0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12

的部分和${\显示样式\脚本样式d\，}$^第个列，${\显示样式\脚本样式d\，\geq\，0\，}$，生成$｛\displaystyle\scriptstyle（d+1）\，｝$^第个列，从而产生$｛\displaystyle\scriptstyle（d+1）\，｝$-由$｛\displaystyle\scriptstyle d\，｝$-维度的

${\显示样式\sum_{i=0}^{n} T型（i，d）=和{i=d}^{n} T型（i，d）=T（n+1，d+1）=\左（{\frac{n+1}{d+1}}\右）~T（n，d）.\，}{n} T型（i，d）=和{i=d}^{n} T型（i，d）=T（n+1，d+1）=\左（{\frac{n+1}{d+1}}\右）~T（n，d）.\，}$

的部分和${\显示样式\脚本样式f\，}$^第个从右侧对角线下降，${\显示样式\脚本样式f\，\geq\，0\，}$，生成${\显示样式\脚本样式（f+1）\，}$^第个对角线下降，从而产生${\显示样式\脚本样式（d+1）\，}$-由${\显示样式\脚本样式f\，}$-维度的

${\显示样式\sum_{i=0}^{n} T型（i，n-f）=和{i=f}^{n} 吨（i，n-f）=T（n+1，n-（f+1））=\左（{压裂{n+1}{f+1}}\右）~T（n，n-f{n} T型（i，n-f）=和{i=f}^{n} 吨（i，n-f）=T（n+1，n-（f+1））=\左（{压裂{n+1}{f+1}}\右）~T（n，n-f$

这个${\显示样式\脚本样式d\，}$^第个列给出了${\显示样式\脚本样式d\，}$-尺寸（${\显示样式\脚本样式f\，}$^第个从右边对角线下降${\显示样式\脚本样式f\，}$-尺寸）单形多面体数，正在形成单多边形,例如

d=0，f=0	0维单纯形数	点编号	（1（-1）-细胞面）	（0-单工）
d=1，f=1	一维单纯形数	三角gnomonic数	（2个0单元面）	（1-单工）
d=2，f=2	二维单纯形数	三角形数字	（3个单细胞面）	（2-简单）
d=3，f=3	三维单纯形数	四面体数	（4个2单元面）	（3-单工）
d=4，f=4	四维单纯形数	五角龙数	（5个3细胞面）	（4-单工）
d=5，f=5	5维单纯形数	六元数	（6个4单元面）	（5-单工）
d=6，f=6	6维单纯形数	Heptapeton数	（7个5细胞面）	（6-单工）
d=7，f=7	7维单纯形数	八外显子数	（8个6细胞面）	（7-单工）
d=8，f=8	8维单纯形数	Nonahepton数	（9个7细胞小平面）	（8-单工）

其中（-1）-单元格对应于空集，0个单元格是顶点，1个单元格是边，2个单元格是面，依此类推。。。

Pascal（矩形）三角形第三列（d=2）或从右起的下降对角线（f=2）和平方数

在3中^第个立柱(${\显示样式\脚本样式d\，=\，2\，}$，）两个堆叠单元的和给出平方数

${\显示样式T（2+j，2）+T（2+/j+1,2）=（2+j+2）^{2}，\quad j\geq 0.\，}$

同样，在3^第个从右侧对角线下降(${\显示样式\脚本样式f\，=\，2\，}$，）两个堆叠单元的和给出平方数

${\显示样式T（2+j，j）+T（2+j+1，j+1）=（2+j+2）^{2}，\quad j\geq 0.\，}$

帕斯卡（矩形）三角形上升对角线和斐波那契数

${\显示样式\脚本样式n\，}$= 0	1
1	1	1
2	1	2	1
三	1	三	三	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1
11	1	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1
12	1	12	66	220	495	792	924	792	495	220	66	12	1
	${\显示样式\脚本样式d\，}$= 0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12

上升对角线（从0开始^第个对角）给出有限序列的无限序列

{{1}, {1}, {1, 1}, {1, 2}, {1, 3, 1}, {1, 4, 3}, {1, 5, 6, 1}, {1, 6, 10, 4}, {1, 7, 15, 10, 1}, {1, 8, 21, 20, 5}, ... }

他们各自的金额

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ...}.

哪些是${\显示样式\脚本样式k+1 \，}$^第个 斐波那契数（参见。A000045号${\显示样式\脚本样式（k+1）\，}$)

${\显示样式\sum_{n+d=k}T（n，d）=\和{n+d=k}{\binom{n}{d}}=F{k+1}，\quad k\geq0.\，}$

有限序列的串联无限序列给出了无限序列（参见。A011973美元)

{1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 5, 6, 1, 1, 6, 10, 4, 1, 7, 15, 10, 1, 1, 8, 21, 20, 5, 1, 9, 28, 35, 15, 1, 1, 10, 36, 56, 35, 6, ...}

帕斯卡三角形中心元素

中心（或几乎/准中心${\显示样式\脚本样式n\，}$奇数）元素给出序列（参见。A001405号${\显示样式\脚本样式（n）\，}$)

{1, 1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, 126, 252, 462, 924, 1716, 3432, 6435, 12870, 24310, 48620, 92378, 184756, 352716, 705432, 1352078, 2704156, 5200300, 10400600, 20058300, 40116600, ...}

由公式给出

$显示样式T_{（1,1）}（2m-1，m-1）={\binom{2m-1}{m-1}}=T_{$

${\显示样式T_{（1,1）}（2m，m）={\二进制{2m}{m}}={\分形{（2m）！}{（m！）^{2}}=（m+1）C_{m}，\quad m\geq1\，}$

哪里

${\显示样式C_{m}={\压裂{T_{（1,1）}（2m，m）}{m+1}={\压裂{\binom{2m}{m}}{m+1}}={压裂{（2m）！}{m！（m+1）！}}\，}$

是${\显示样式\脚本样式m\，}$^第个,${\显示样式\脚本样式m\，\geq\，0\，}$,加泰罗尼亚数字（也称为塞格纳数)（参见。A000108号${\显示样式\脚本样式（m）\，}$)

{1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, ...}

生成函数为

$显示样式G{{T_{（1,1）}^{2} C类（x^｛2｝）｝＝｛\frac｛1｝｛\frac｛1｝｛2｝｝-x+｛\frac｛1｝｛4｝｝-x^｛2｝，\，｝{2} C类（x^｛2｝）｝＝｛\frac｛1｝｛\frac｛1｝｛2｝｝-x+｛\frac｛1｝｛4｝｝-x^｛2｝，\，｝$

哪里${\显示样式\脚本样式C（x）\，}$是生成函数的加泰罗尼亚数字

${\显示样式C（x）={\ frac{1-{\sqrt{1-4x}}}{2x}}\，}$

概括

帕斯卡三角形有高维推广三维版本称为帕斯卡金字塔或帕斯卡四面体，而常规版本称为帕斯卡单纯形.

另请参见

• A007188号帕斯卡三角形的乘法编码：乘积p（i+1）^C（n，i）。
• A003590号以单个十进制数写入的行（该序列的前五项匹配11的权力; 一般来说，我们可以说第一个b条/两行写为一个数字，表示b条+1英寸底座b条.
• A006046号第一个中的奇数条目总数n个帕斯卡三角形的行。
• A003015号在帕斯卡三角形中出现五次或五次以上的数字（目前还不知道是否有任何术语正好出现五次。）

• （1,1）-Pascal三角形或帕斯卡三角形
• （1,2）-Pascal三角形或卢卡斯三角形
• （1，k）-Pascal三角形
• （2,1）-Pascal三角形
• （k，1）-Pascal三角形
• （a，b）-帕斯卡三角形
• （a（n），b（n））-帕斯卡三角形
• 伯努利三角形

• 帕斯卡金字塔或帕斯卡四面体
• 帕斯卡单纯形

外部链接

• Eric W.Weisstein，帕斯卡三角形，来自MathWorld。。
• 帕斯卡、布莱斯、，帕斯卡三角图《三角算术特征》，1665年。