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拖拉机

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拖拉机示意图

轨迹线出现在向莱布尼茨提出的以下问题中：当一个物体被一条等长的线沿着一条水平直线拖曳时，以垂直偏移开始的物体的路径是什么（斯坦豪斯1999年，第250-251页）？通过将物体与狗联系起来，将绳子与皮带联系起来，并将沿水平线的拉力与狗的主人联系起来，曲线在德语中具有描述性名称“hundkurve”（狗曲线）。莱布尼茨利用轴是轨迹线的渐近线这一事实发现了这条曲线（MacTutor Archive）。

从定义上看，轨迹线就是悬链线渐开线最初由顶点上的一个点描述（因此接触网是轨迹渐屈线). 牵引线有时称为牵引或等切线曲线。惠更斯首先研究了牵引线1692年，他将其命名为“tractrix”。后来，莱布尼茨、约翰·伯努利、，其他人研究了曲线。

在笛卡尔坐标，牵引车有方程式

x=基准^（-1）（y/a）-sqrt（a^2-y^2）。
（1）

一个参数形式是

x（吨）=a（t-tanht）
（2）
y（吨）=阿塞赫特。
(3)

这个弧长,曲率、和切向角用于此参数化具有a=1是

秒（t）=aln（cosht）
(4)
卡帕（吨）=（cscht）/a
(5)
φ（t）=gd（t），
(6)

哪里gd（吨）是古德曼语.

相当令人惊讶的是，地区曲线下为

A=1/2pia^2。
(7)

第二个参数形式角 θ可以找到与牵引线相切的直线通过计算

θ（t）=tan^（-1）（（（dy）/（dt））/（（dx）/（dt））
(8)
=tan^（-1）（（-sechttanht）/（tanh^2t））
(9)
=-tan ^（-1）（cscht），
(10)

然后求解t吨并重新插入以获得

x个=a{ln[tan（1/2θ）]+costheta}
(11)
={-csch^（-1）（坦陀罗）+肋舍塔}
(12)
年=菊花
(13)

（Gray 1997）。此参数化具有曲率

kappa（θ）=坦切塔。
(14)

就角度而言θ^'=pi/2+θ,这个参数方程可以写入

x个=agd^（-1）θ^'-sintheta
(15)
=a[ln（sectheta ^'+tantheta ^'）-sintheta ^']
(16)
={ln[tan（1/2θ^'+1/4pi）]-正弦^'}
(17)
年=acosheta（音符）^'
(18)

（洛克伍德1967年，第123页），其中gd^（-1）x是相反的古德曼语.

以恒定速度穿过牵引线的参数化一由提供

x（吨）={ae^（-v/a）用于[0，infty）中的v；ae^
(19)
y（吨）={a[tanh^（-1）（sqrt（1-e^（-2v/a。
(20)

当牵引线绕其渐近线旋转时伪球结果。这是一个常数曲面消极的 曲率.对于牵引线切线从它的角度渐近线的接触是常数。这个地区之间轨迹线及其渐近线是有限的。

另请参见

曲率,迪尼曲面,古德曼语,小鼠问题,伪球体,追求曲线,Tractrix螺旋

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Beyer，W.H。CRC标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第226页，1987几何中心。“拖拉机。”http://www.geom.umn.edu/zoo/diffgeom/pseudosphere/tractrix.html.灰色，答：“牵引线”和“牵引线的演变是一个悬链线。”§3.6和5.3英寸现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica，第二版。博卡佛罗里达州Raton：CRC出版社，第61-64和102-1031997页。J.D.劳伦斯。A类特殊平面曲线目录。纽约：多佛，199-2001972年。洛克伍德，E.H.公司。《牵引线和接触网》第13章A类曲线书。英国剑桥：剑桥大学出版社，第118-124页，1967MacTutor数学历史档案。“拖拉机。”网址：http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Tractrix.html.史密斯，D.E.博士。历史数学，第2卷：初等数学专题。新建约克：多佛，第330页，1958年。H.斯坦豪斯。数学快照，第三版。纽约：多佛，第249-2511999页。耶茨，钢筋混凝土。“拖拉机。”A类曲线及其特性手册。密歇根州安娜堡：J.W。爱德华兹，第221-2241952页。

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Tractrix”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Tractrix.html

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