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拖拉机


拖拉机示意图

轨迹线出现在向莱布尼茨提出的以下问题中:当一个物体被一条等长的线沿着一条水平直线拖曳时,以垂直偏移开始的物体的路径是什么(斯坦豪斯1999年,第250-251页)?通过将物体与狗联系起来,将绳子与皮带联系起来,并将沿水平线的拉力与狗的主人联系起来,曲线在德语中具有描述性名称“hundkurve”(狗曲线)。莱布尼茨利用轴是轨迹线的渐近线这一事实发现了这条曲线(MacTutor Archive)。

从定义上看,轨迹线就是悬链线渐开线最初由顶点上的一个点描述(因此接触网渐屈曲线). 牵引线有时称为牵引或等切线曲线。惠更斯首先研究了牵引线1692年,他将其命名为“tractrix”。后来,莱布尼茨、约翰·伯努利、,其他人研究了曲线。

笛卡尔坐标,牵引车有方程式

 x=基准^(-1)(y/a)-sqrt(a^2-y^2)。
(1)

一个参数形式是

x(吨)=a(t-tanht)
(2)
y(吨)=阿塞赫特。
(3)

这个弧长,曲率、和切向角用于此参数化具有a=1

秒(t)=aln(cosht)
(4)
κ(t)=(cscht)/a
(5)
φ(t)=gd(t),
(6)

哪里gd(吨)古德曼语.

相当令人惊讶的是,地区曲线下由

 A=1/2pia^2。
(7)

第二个参数形式 θ可以找到与牵引线相切的直线通过计算

θ(t)=tan^(-1)(((dy)/(dt))/((dx)/(dt))
(8)
=tan^(-1)((-sechttanht)/(tanh^2t))
(9)
=-tan ^(-1)(cscht),
(10)

然后求解吨并重新插入以获得

x个=a{ln[tan(1/2θ)]+costheta}
(11)
={-csch^(-1)(坦陀罗)+肋舍塔}
(12)
年=菊花
(13)

(Gray 1997)。此参数化具有曲率

 kappa(θ)=坦切塔。
(14)

就角度而言θ^'=pi/2+θ,这个参数方程可以写入

x个=agd^(-1)θ^'-sintheta
(15)
=a[ln(sectheta ^'+tantheta ^')-sintheta ^']
(16)
={ln[tan(1/2θ^'+1/4pi)]-正弦^'}
(17)
年=acosheta(音符)^'
(18)

(洛克伍德1967年,第123页),其中gd^(-1)x是相反的古德曼语.

以恒定速度穿过牵引线的参数化一由提供

x(吨)={ae^(-v/a)用于[0,infty)中的v;ae^
(19)
y(吨)={a[tanh^(-1)(sqrt(1-e^(-2v/a。
(20)

当轨迹线绕其渐近线旋转时伪球体结果。这是一个常数曲面消极的 曲率.对于牵引线切线从它的角度渐近线的接触是常数。这个地区之间轨迹线及其渐近线是有限的。


另请参见

曲率,迪尼曲面,古德曼语,老鼠问题,伪球体,追求曲线,Tractrix螺旋

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Beyer,W.H。CRC标准数学表,第28版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第226页,1987几何中心。“拖拉机。”http://www.geom.umn.edu/zoo/diffgeom/pseudosphere/tractrix.html.灰色,答:“牵引线”和“牵引线的演变是一个悬链线。”§3.6和5.3英寸现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica,第二版。博卡佛罗里达州拉顿:CRC出版社,第61-64页和第102-1031997页。J.D.劳伦斯。A类特殊平面曲线目录。纽约:多佛,199-2001972年。洛克伍德,E.H.公司。《牵引线和接触网》第13章A类曲线书。英国剑桥:剑桥大学出版社,第118-124页,1967MacTutor数学历史档案。“拖拉机。”http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Tractrix.html.史密斯,D.E.博士。历史数学,第2卷:初等数学专题。新建约克:多佛,第330页,1958年。H.斯坦豪斯。数学快照,第三版。纽约:多佛,第249-2511999页。耶茨,钢筋混凝土。“拖拉机。”A类曲线及其特性手册。密歇根州安娜堡:J.W。爱德华兹,第221-2241952页。

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Tractrix”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Tractrix.html

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