话题
搜索

下摆线

下载Mathematica笔记本下载沃尔夫拉姆笔记本
下环图

定点生成的曲线对上圆周属于一个小的圆圈属于半径 b条在一个大的圆圈属于半径 a> b.因此，内摆线是下旋肌具有h=b.

要导出内摆线方程，请调用角通过它一点就小了圆圈围绕其旋转中心θ,和角从大的中心圆圈到小的圆圈 φ.然后

（a-b）φ=btheta，
(1)

所以

θ=（a-b）/bpi。
(2)

呼叫ρ=a-2b.如果x（0）=ρ，则第一个点位于最小半径处内摆线的笛卡尔参数方程为

x个=（a-b）cosphi-bcosheta
(3)
=（a-b）cosphi-bcos
(4)
年=（a-b）sinphi+bsintheta
(5)
=（a-b）sinphi+bsin（（a-b）/bphi）。
(6)

如果x（0）=a相反，第一点是最大半径（在圆圈)，那么方程内摆线是

x个=（a-b）cosphi+bcos（（a-b）/bphi）
(7)
年=（a-b）sinphi-bsin（（a-b）/bphi）。
(8)

这个曲率,弧长、和切向角给出了内摆线的通过

卡帕（φ）=（2b-a）/（4b（a-b））csc（（蚜虫）/（2b））
(9)
s（φ）=（8（a-b）b）/asin^2（（aphi）/（4b））
(10)
phi_t（φ）=φ（1-a/（2b））。
(11)
次环整数具有$a/b$an整数的次摆线

安n个-尖头内摆线a/b=n。对于n=a/b整数和x（0）=a，内摆线方程因此变成

x个=a/n[（n-1）cosphi-cos[（n-1）phi]
(12)
年=a/n[（n-1）sinphi+sin[（n-1）phi]，
(13)

和弧长因此，面积为

序号=8b（n-1）=（8a（n-1
(14)
自动（_n）=（n-1）（n-2））/（n^2）pia^2。
(15)

二尖内摆线是线段（斯坦豪斯1999年，第145页；卡纳斯2003年），可以通过设置a=2b个在方程（◇）和（◇）中，并注意到方程式简化为

x个=阿辛菲
(16)
年=0
(17)

这一结果被波斯天文学家和数学家Nasir Al-Din Al-Tusi（1201-1274）注意到，有时被称为“土司夫妇"是他的荣誉（Sotiroudis and Paschos 1999，p.60；Kanas 2003）。

下表总结了此内摆线和其他内摆线的名称，其特殊整数值为账户.

n=a/b内摆线
2线段(土司夫妇)
三三角肌
4星形线
次摆线理性具有$a/b$rational的次环类

如果n=a/b是合理的，然后曲线最终关闭自身并具有一尖角。一些次环类理性的值属于账户如上图所示。

次环素不合理

如果账户是不合理的,那么曲线就不会自动闭合。一些次环类不合理的的值账户如上图所示。

次环结构

n个-也可以构造尖头内摆线通过从直径的圆圈,通过一系列步骤偏移一端，同时偏移另一端以台阶结束n-1个相反方向的倍大，并延伸到圆圈。在游览完圆圈一次，一次n个-尖头的如上图所示，产生了内摆线（Madachy，1979年）。

让第页是距固定点的径向距离。对于扭转半径 ρ和弧长 秒，内摆线可以由方程式给出

s^2+rho^2=16r^2
(18)

（Kreyszig，1991年，第63-64页）。内摆线也满足

sin^2psi=（rho^2）/（a^2-rho^2）（a^2-r^2）/（r^2），
(19)

哪里

r（dr）/（dtheta）=tanpsi
(20)

和磅/平方英寸是角在半径向量和切线曲线。

内摆线方程可以用一种形式表示，这种形式在求解变分法的问题径向对称。考虑一下这个案例x（0）=ρ，然后

r^2=x^2+y^2=[（a-b）^2cos^2phi-2（a-b）b膦酸（（a-b）/bphi）+b^2cos^2（（a-b）/bphi）+（a-b）^2sin^2phi+2（a-b）bsinphisin（（a-b）/bphi）+b^2 sin^2（（a-b）/bphi）]={（a-b）^2+b^2-2=（a-b）^2+b^2-2（a-b”bcos（a/bphi）。
(21)

但是ρ=a-2b，所以b=（a-rho）/2，它提供

（a-b）^2+b^2=[a-1/2（a-rho）]^2+[1/2（a-rho）]^2
(22)
=[1/2（a+rho）]^2+[1/2（a-rho）]^2
(23)
=1/2（a^2+rho^2）
(24)
2（a-b）b=2[a-1/2（a-rho）]1/2（a-rro）
(25)
=1/2（a+rho）（a-rho）
(26)
=1/2（a^2-rho^2）。
(27)

现在让我们

2百万吨=a/bphi，
(28)

所以

φ=（a-rho）/aOmegat
(29)
φ/（a-rho）=（欧米茄）/a，
(30)

然后

第^2页=1/2（a^2+rho^2）-1/2（a^2-rho^ 2）cos（a/bphi）
(31)
=1/2（a^2+rho^2）-1/2（a^2-rho^ 2）cos（2Omegat）。
(32)

这个极角是

tantheta=y/x=（（a-b）sinphi+bsin（（a-b）/aph））/（（a-a b）cosphi-bcos（（a-b）/aphi））。
(33)

但是

b条=1/2（a-rho）
(34)
a-b公司=1/2（a+rho）
(35)
（a-b）/b=（a+rho）/（a-rho），
(36)

所以

坦提塔舞=（1/2（a+rho）sinphi+1/2（a-rho）sin（（a+rho）/（z-rho）phi））/（1/2（a+rho）cosphi-1/2（a-rho）cos（（a+rho）/（a-rho）phi））
(37)
=（（（a+rho）sin（（a-rho）/aOmegat）+（a-rho）sin
(38)
=（a[正弦（（a-rho）/aOmegat）+正弦（（a+rho）/a欧米茄）]+rho[正弦（a-rho/aOmega）-sin
(39)
=（2asin（Ω）cos（rho/aOmegat）-2rhocos（Ω）sin（rho/aΩ））/（2asine（Ω）正弦（rho/aOmegat）+2rhocas（Ω）cos（rho/aOmega））
(40)
=（atan（欧米茄）-rhotan（rho/aOmegat））/（atan。
(41)

计算

tan（θ+ρ/aOmegat）=（[atan（欧米茄）-rhotan（rho/aOmegat）+棕褐色（rho/a Omegat）][atan
(42)
=（atan（欧米茄）[1+tan^2（rho/aOmegat）]）
(43)
=a/rhotan（欧米茄），
(44)

然后给出

θ=tan^（-1）[a/rhotan（欧米茄）]-rho/aOmegat。
(45)

最后，重新接通电源

θ=tan^（-1）[a/rhotan（a/（a-rho）phi）]-rho/aa/（α-rho）phi
(46)
=tan ^（-1）[a/rhotan（a/（a-rho）φ）]-rho/（a-rho）φ。
(47)

此形式在解决带隧道的球体问题，这是臂色酮问题，以找到穿过球（重力根据高斯定律变化）在重力场中曲面上两点之间的移动时间球在重力作用下被最小化。

另请参阅

星形线,摆线,三角肌,外摆线,下摆线演化,下摆线渐开线,下摆线踏板曲线,图斯双圆

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Bogomolny，A.“旋风”http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/cycloids.shtml网站.Borwein，J.和Bailey，D。数学实验：21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利：AK Peters，第83页，2003年。Kanas，N.“从托勒密到文艺复兴：古典天文学是如何在黑暗时代幸存下来的。"天空与望远镜 105,2003年1月50-58日。Kreyszig，E。有差别的几何图形。纽约：多佛，1991年。J.D.劳伦斯。一特殊平面曲线目录。纽约：多佛，第171-173页，1972年。勒迈尔，J。下旋回和外旋回。巴黎：阿尔伯特·布兰查德，1967年。MacTutor公司数学档案历史。“下摆线。”http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Hypocyclid.html.马达奇，J.S.公司。马达西的数学娱乐。纽约：多佛，第225-2311979页。Sotiroudis，P.和Paschos，E.A。这个星图：公元1300年的拜占庭天文学。新加坡：世界《科学》，1999年。H.斯坦豪斯。数学快照，第三版。纽约：多佛，1999年。货车，S。数学软件正在运行。纽约：W.H。弗里曼，第50-521991页。耶茨，钢筋混凝土。“外摆线和次摆线。”一曲线及其特性手册。密歇根州安娜堡：J.W。爱德华兹，第81-851952页。

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“下摆线。”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Hypocyclid.html

主题分类