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下摆线


下环图

定点生成的曲线P(P)圆周属于一个小的圆圈属于半径 b条在一个大的圆圈属于半径 a> b条.因此,内摆线是下旋肌具有h=b.

要导出内摆线方程,请调用通过它一点就小了圆圈围绕其旋转中心θ,从大的中心圆圈到小的圆圈 φ.然后

 (a-b)φ=btheta,
(1)

所以

 θ=(a-b)/bpi。
(2)

呼叫ρ=a-2b.如果x(0)=ρ,则第一个点位于最小半径处内摆线的笛卡尔参数方程为

x个=(a-b)科斯菲
(3)
=(a-b)cosphi-bcos
(4)
年=(a-b)sinphi+bsintheta
(5)
=(a-b)sinphi+bsin((a-b)/bphi)。
(6)

如果x(0)=a相反,第一点是最大半径(在圆圈),然后是内摆线是

x个=(a-b)cosphi+bcos((a-b)/bphi)
(7)
年=(a-b)sinphi-bsin((a-b)/bphi)。
(8)

这个曲率,弧长、和切向角给出了内摆线的通过

卡帕(φ)=(2b-a)/(4b(a-b))csc((蚜虫)/(2b))
(9)
s(φ)=(8(a-b)b)/asin^2((aphi)/(4b))
(10)
phi_t(φ)=φ(1-a/(2b))。
(11)
次环整数具有$a/b$an整数的次摆线

n个-尖头内摆线a/b=n。对于n=a/b整数和x(0)=a,内摆线方程因此变成

x个=a/n[(n-1)cosphi-cos[(n-1)phi]
(12)
年=a/n[(n-1)sinphi+sin[(n-1)phi],
(13)

弧长因此,面积为

序号=8b(n-1)=(8a(n-1
(14)
n(_n)=(n-1)(n-2))/(n^2)pia^2。
(15)

二尖内摆线是线段(Steinhaus,1999年,第145页;Kanas,2003年),通过设置可以看出a=2b个在方程式中(◇) 和(◇) 并注意到方程式简化为

x个=阿辛菲
(16)
年=0
(17)

这一结果被波斯天文学家和数学家Nasir Al-Din Al-Tusi(1201-1274)注意到,有时被称为“土司夫妇"是他的荣誉(Sotiroudis and Paschos 1999,p.60;Kanas 2003)。

下表总结了此内摆线和其他内摆线的名称,其特殊整数值为账户.

低环类原理具有$a/b$rational的次环类

如果n=a/b是合理的,然后曲线最终关闭自身并具有一尖角。一些次环类理性的属于账户如上图所示。

次环素不合理

如果账户不合理的,那么曲线就不会自动闭合。一些次环类不合理的的值账户如上图所示。

次环结构

n个-也可以构造尖头内摆线直径圆圈,通过一系列步骤偏移一端,同时偏移另一端以台阶结束n-1个相反方向的倍大,并延伸到圆圈。在游览完圆圈一次,一次n个-尖头的如上图所示,产生了内摆线(Madachy,1979年)。

第页是距固定点的径向距离。对于扭转半径 ρ弧长 秒,内摆线可以由方程式给出

 s^2+rho^2=16r^2
(18)

(Kreyszig,1991年,第63-64页)。内摆线也满足

 sin^2psi=(ρ^2)/(a^2-rho^2)(a^2-r^2),
(19)

哪里

 r(dr)/(dtheta)=tanpsi
(20)

磅/平方英寸半径矢量切线曲线。

内摆线方程可以用一种形式表示,这种形式在求解变分法的问题径向对称。考虑一下这个案例x(0)=ρ,然后

 r^2=x^2+y^2=[(a-b)^2cos^2phi-2={(a-b)^2+b^2-2=(a-b)^2+b^2-2(a-b”bcos(a/bphi)。
(21)

但是ρ=a-2b,所以b=(a-rho)/2,它提供

(a-b)^2+b^2=[a-1/2(a-rho)]^2+[1/2(a-rho)]^2
(22)
=[1/2(a+rho)]^2+[1/2(a-rho)]^2
(23)
=1/2(a^2+rho^2)
(24)
2(a-b)b=2[a-1/2(a-rho)]1/2(a-rho)
(25)
=1/2(a+rho)(a-rho)
(26)
=1/2(a^2-rho^2)。
(27)

现在让我们

 2百万吨=a/bphi,
(28)

所以

 φ=(a-rho)/aOmegat
(29)
 φ/(a-rho)=(欧米茄)/a,
(30)

然后

第^2页=1/2(a^2+rho^2)-1/2(a^2-rho^ 2)cos(a/bphi)
(31)
=1/2(a^2+rho^2)-1/2(a^2-rho^ 2)cos(2Omegat)。
(32)

这个极角

 tantheta=y/x=((a-b)sinphi+bsin((a-b)/aph))/((a-a b)cosphi-bcos((a-b)/aphi))。
(33)

但是

b条=1/2(a-rho)
(34)
a-b公司=1/2(a+rho)
(35)
(a-b)/b=(a+rho)/(a-rho),
(36)

所以

坦提塔舞=(1/2(a+rho)sinphi+1/2(a-rho)sin((a+rho)/(z-rho)phi))/(1/2(a+rho)cosphi-1/2(a-rho)cos((a+rho)/(a-rho)phi))
(37)
=(((a+rho)sin((a-rho)/aOmegat)+(a-rho)sin
(38)
=(a[正弦((a-rho)/aOmegat)+正弦((a+rho)/a欧米茄)]+rho[正弦(a-rho/aOmega)-sin
(39)
=(2asin(Ω)cos(rho/aOmegat)-2rhocos(Ω)sin(rho/aΩ))/(2asine(Ω)正弦(rho/aOmegat)+2rhocas(Ω)cos(rho/aOmega))
(40)
=(atan(欧米茄)-rhotan(rho/aOmegat))/(atan。
(41)

计算

tan(θ+ρ/aOmegat)=([atan(欧米茄)-rhotan(rho/aOmegat)+棕褐色(rho/a Omegat)][atan
(42)
=(atan(欧米茄)[1+tan^2(rho/aOmegat)])/(rho[1+tan*2(rho/aOmega)])
(43)
=a/rhotan(欧米茄),
(44)

然后给出

 θ=tan^(-1)[a/rhotan(欧米茄)]-rho/aOmegat。
(45)

最后,重新插拔可以

θ=tan^(-1)[a/rhotan(a/(a-rho)phi)]-rho/aa/(α-rho)phi
(46)
=tan ^(-1)[a/rhotan(a/(a-rho)φ)]-rho/(a-rho)φ。
(47)

此形式在解决带隧道的球体问题,这是臂色酮问题,以找到穿过(重力根据高斯定律变化)在重力场中表面上两点之间的旅行时间在重力作用下被最小化。


另请参见

星形线,摆线,三角肌,外摆线,下摆线演化,下摆线渐开线,下摆线踏板曲线,图斯双圆

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工具书类

Bogomolny,A.“旋风”http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/cycloids.shtml网站.Borwein,J.和Bailey,D。数学实验:21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利:AK Peters,第83页,2003年。Kanas,N.“从托勒密到文艺复兴:古典天文学如何在黑暗时代幸存下来。"天空与望远镜 105,2003年1月50-58日。Kreyszig,E。有差别的几何学。纽约:多佛,1991年。J.D.劳伦斯。A类特殊平面曲线目录。纽约:多佛,第171-173页,1972年。勒迈尔,J。下旋回和外旋回。巴黎:阿尔伯特·布兰查德,1967年。MacTutor公司数学档案史。“下摆线。”http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Hypocyclid.html.马达西,J.S.公司。马达西的数学娱乐。纽约:多佛,第225-2311979页。Sotiroudis,P.和Paschos,E.A。这个星图:公元1300年的拜占庭天文学。新加坡:世界《科学》,1999年。H.斯坦豪斯。数学快照,第三版。纽约:多佛,1999年。货车,S。数学软件正在运行。纽约:W.H。弗里曼,第50-521991页。耶茨,钢筋混凝土。“外摆线和次摆线。”A类曲线及其特性手册。密歇根州安娜堡:J.W。爱德华兹,第81-851952页。

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“下摆线。”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Hypocyclid.html

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