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摆线


摆线Cycloid框架独眼巨人

摆线是在圆圈属于半径 一沿着直线滚动线.它1599年由伽利略研究并命名。伽利略试图找到地区通过称重切割成摆线形状的金属块。费马特·托里切利,笛卡尔都发现了地区.还研究了摆线1634年罗贝瓦尔,1658年雷恩,1673年惠更斯,1696年约翰·伯努利。罗伯瓦尔和雷恩找到了弧长(MacTutor档案)。齿轮齿也由摆线组成,这是Desargues在年首次提出的16世纪30年代(Cundy和Rollett,1989年)。

1696年,约翰·伯努利(Johann Bernoulli)向其他数学家提出挑战,要求他们找到解决臂色问题,知道解决方案是摆线。莱布尼茨、牛顿、雅各布·伯努利和L'Hospital解决了伯努利的挑战。摆线还解决了等时线问题,如以下段落所述莫比·迪克:“[try-pot也是一个进行深刻数学冥想的地方。它在左手边试一试裴廓德号肥皂石在我周围盘旋我首先间接地被这个非凡的事实所打动,即在几何学中所有的物体例如,沿着摆线滑行,我的滑石将从完全相同的时间”(梅尔维尔1851)。因为它在17世纪引发了数学家之间的争论,摆线变成了被称为“几何海伦”(Boyer 1968,第389页)。

这个摆线卡塔什当光线平行于-轴线是有两次的摆线同样多的拱门。这个径向曲线摆线的圆圈. The渐屈线渐开线摆线是相同的摆线。

如果摆线有尖头起源并且它的隆起向上,它的参数方程为

x个=a(t-分)
(1)
年=a(1-成本)。
(2)

驼峰完工于吨对应于连续倍数的值2π、和具有高度2a个和长度2个.消除吨在上述方程式中,给出了笛卡尔方程式

 x=acos^(-1)(1-y/a)-sqrt(2ay-y^2)
(3)

对以下情况有效[0.2a]中的y并给出摆线第一个驼峰的前半部分。隐式笛卡尔方程式如下所示

 |x/a+2pi[1/2-2/(2pi)x/a]-1|=cos^(-1)(1-y/a)-2sqrt(2y/a-(y/a)^2)。
(4)

这个弧长曲率、和切向角第一个驼峰摆线

秒(t)=4a{(-1)^(|_t/(2pi)+1/2_|)[1-|cos(1/2t)|]|sin
(5)
卡帕(吨)=-(|csc(1/2t)|)/(4a)
(6)
φ(t)=1/2(pi-t+2pi|_t/(2pi)_|)。
(7)

对于第一个驼峰,

 s(t)=8asin^2(1/4吨)。
(8)

对于摆线的单个凸起弧长地区因此,曲线下

L(左)=第8页a
(9)
一个=3pia^2。
(10)

另请参见

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引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“摆线。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html

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