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凯莱图


凯莱图表

G公司成为,然后让S子集=G是一组组元素,以便身份要素 我不在S.与关联的Cayley图(G、S)则定义为定向的图表有一个顶点与每个群元素和有向边相关联(克,小时)无论何时S中的gh^(-1)Cayley图可能取决于发电机组,并且是有联系的 若(iff) S公司生成G公司(即集合S公司群生成器属于G公司).

由于术语“凯利图”也用于以下情况,因此需要小心S公司隐式理解为组,在这种情况下,图形始终是连接的(但通常仍依赖于发电机的选择)。这类群的Cayley图G公司可以在中计算沃尔夫拉姆语言使用凯莱图表[G公司],使用的发电机是由组生成器[G公司].

为了使事情进一步复杂化,正确有向Cayley图的无向版本也称为Cayley图形。

特定生成集的无向Cayley图交替群 自动(_n)有时被称为交替组图.的Cayley图循环群 C_n(_n)循环图 C_n(_n)、和的二面体群 编号(_n)棱镜图表 Y_n(年_月).Cayley图的其他类别是循环的(如果需要发电机组,则连接;如果不需要,则可能断开),立方体连接循环,汉明、和超立方体图.

有向图Cayley图具有相同的边缘多重性对于每个节点。(有向或无向)Cayley图总是顶点传递的,但反过来需要不保持。然而顶点传递的是凯利图(McKay和Royle 1990)。

Royle维护了一个不需要连接的顶点传递图列表,其中Cayley或非Cayley指定最多31个顶点,尽管值为27,28和30个顶点尚未独立验证(尽管组中存在错误只有在忽略了最小传递组的情况下,才能影响图形,因此不太可能出错)。上非必要连通Cayley图的个数n=1, 2, ... 节点为1、2、2、4、3、8、,4, 14, 9, 20, 8, 74, ... (组织环境信息系统A185959号; 麦凯和Royle 1990,McKay和Praeger 1994),以及非Cayley存在的顶点传递图有10、15、16、18、20、24、26、28、30。。。。

最小的顶点传递非Cayley图是彼得森图 P(P)(McKay和Praeger 1994)和最小的不连通顶点传递非Cayley图是的两个副本P(P).

Cayley立体图

Cayley图可以从一组生成器排列开始生成{PI}(_i)(不包括身份排列)和相互排列的元素,直到没有新的排列。这将生成一组S公司其在元素的排列下是封闭的。连接每对排列(P_i,P_j)如果P_k(P_i)=P_j对一些人来说S中的_k然后给出一个Cayley图。

唯一能给出平面Cayley图的群是Z(_n),Z_2×Z_n,编号(_n),S_4号机组,A_4类,答_5正如Maschke(1896)所证明的那样。

下表列出了一些由少量小排列生成的Cayley图的无向版本的图。

图表发电机
16芯图表{{1,2,4,3},{2,1,3,4},{2,1,4,3},{3,4,1,2},{3,4,2,1}}
循环图 顺式_(12)(1,3){{1,2,3,5,4},{1,2,4,3,5},{2,1,3,5,4},{2,1,5,4,3}}
完成二部图 K_(4,4){{1,2,4,3},{2,1,3,4},{3,4,2,1}}
{{1,2,4,3},{2,1,3,4},{3,4,1,2},{4,3,2,1}}
{{1,2,4,5,6,3},{2,1,4,5,6,3}}
完全图 K_6公司{{1,3,2},{2,1,3},{2,3,1},{3,2,1}}
{{1,2,4,3},{1,3,2,4},{1,3,4,2},{1,4,3,2}}
{{1,2,4,3},{1,3,2,4},{1,3,4,2},{1,4,2,3},{1,4,3,2}}
立方的图表{{1,2,4,3},{3,4,2,1}}
{{1,2,4,3},{2,1,3,4},{3,4,1,2}}
{{1,2,3,5,4},{1,4,5,3,2}}
立方体的对称图 F_(24)甲{{1,2,4,3},{1,3,2,4},{3,2,1,4}}
{{1,2,3,4,6,5},{2,5,4,6,3,1}}
三次对称图 F_(60)安{{1,3,2,5,4},{2,1,43,5},{4,5,3,1,2}}
立方体的顶点传递图19区{{1,2,3,4,6,5},{1,2,4,3,6,5},{5,6,3,4,1,2}}
立方体的顶点传递图23区{{1,2,3,4,6,5},{2,3,1,5,6,4}}
三次顶点传递图表28区{{1,3,2,5,4},{2,3,4,1,5}}
三次顶点传递图表Ct37电话{{1,2,4,3},{1,3,2,4},{3,4,1,2}}
立方体的顶点传递图Ct38电话{{1,2,3,4,5,7,6},{2,3,1,6,7,4,5}}
三次顶点传递图表第41页{{1,2,4,3},{1,3,2,4},{2,1,4,3}}
立方体的顶点传递图Ct42电话{{1,2,3,4,5,7,6},{2,3,4,1,6,5,7}}
立方八面体图{{1,3,4,2},{2,3,1,4}}
{{1,3,4,2},{1,4,2,3},{2、3、1、4}}
{{1,3,4,2},{1,4,2,3},{2,3,1,4},{3,1,2,4}}
{{1,2,4,5,3},{1,3,4,2,5}}
5-循环图{{2,3,4,5,1},{5、2、3、4}}
6-周期图表{{1,3,2},{2,1,3}}
{{1,2,4,3},{1,3,2,4}}
{{1,2,3,5,4},{1,2,4,3,5}}
8个-循环图{{1,2,4,3},{3,4,1,2}}
{{1,2,3,5,4},{1,4,5,2,3}}
10-周期图表{{1,3,2,5,4},{2,1,4,3,5}}
12-循环图{{1,2,3,5,4},{2,1,4,3,5}}
富兰克林图表{{1,2,3,5,4},{1,2,4,3,5},{2,1,3,5,4}}
{{1,2,3,4,5,7,6},{1,2,3,4,6,5,7},{1,2,4,3,5,7,6}}
大菱形八面体图表{{1,2,3,4,5,7,6},{1,2,3,4,6,5,7},{1,3,2,5,4,7,6}}
二十面体的图表{{1,3,4,2},{2、1、4、3},{2,3,1,4}}
{{1,3,4,2},{1,4,2,3},{2,1,4,3},{2,3,1,4}}
{{1、3、4、2},{1,4,2,3},{2,1,4,3},{2、3、1、4},{3,1,2,4}}
4-莫比乌斯梯子{{1,2,4,3},{2,1,4,3},{3,4,1,2}}
八面体图{{1,3,2},{2,1,3},{2,3,1}}
{{1,2,4,3},{1,3,2,4},{1,3,4,2}}
{{1,2,4,3},{1,3,2,4},{1,3,4,2},{1,4,2,3}}
{{1,2,4,5,3},{2,1,4,5,3}}
{{1,2,4,5,3},{2,1,4,5,3}}
帕普斯图表{{1,2,3,4,6,5},{2,3,1,5,4,6}}
2-路径图{{2,1}}
{{1,3,2}}
五角星图表{{2,3,4,5,1},{3、4、5、1、2}}
5-棱镜图表{{1,3,2,5,4},{2,4,1,5,3}}
{{1,3,2,5,4},{2,4,1,5,3}}
6-棱镜图{{1,2,3,5,4},{2,1,4,5,3}}
{{1,2,3,5,4},{2,1,4,5,3个}}
小的菱形十二面体图{{1,2,4,5,3},{3,4,2,5,1}}
小菱形八面体图表{{1,3,4,2},{2,3,4,1}}
{{1,3,4,2},{1,4,2,3},{2,3,4,1}}
{{1,3,4,2},{1,4,2,3},{2,3,4,1},{4,1,2,3}}
{{1,2,4,5,3},{1,3,4,5,2}}
冷落,怠慢立体图{{1,2,4,3},{2,3,1,4},{2,3,4,1}}
{{1,2,4,3},{2,3,1,4},{2,3,4,1},{3,1,2,4}}
{{1,2,4,3},{2,3,1,4},{2,3,4,1},{3,1,2,4},{4,1,2,3}}
广场反棱镜图{{1,2,4,3},{3,4,1,2},{3,4,2,1}}
{{1,2,4,3},{3、4、1、2},{3,4,2,1},{4,3,1,2}}
正方形图{{1,2,4,3},{2,1,3,4}}
{{1,2,3,5,4},{1,3,2,4,5}}
tesseract公司图表{{1,2,3,4,6,5},{1,2,4,3,5,6},{3,4,2,1,5,6}}
四面体的图表{{2,1,4,3},{3,4,2,1}}
{{1,2,4,3},{2,1,3,4},{2,1,4,3}}
{{1,3,2,5,4},{1,4,5,3,2}}
三角形图表{{2,3,1}}
{{1,3,4,2},{1,4,2,3}}
{{1,2,4,5,3},{1,2,5,3,4}}
三角形棱镜图表{{1,3,2},{2,3,1}}
{{1,2,4,3},{1,3,4,2}}
{{1,2,4,3},{1,3,4,2},{1,4,2,3}}
{{1,2,3,5,4},{1,2,4,5,3}}
截断的立体图{{1,2,4,3},{2,3,1,4}}
{{1,2,4,3},{2,3,1,4},{3、1、2、4}}
{{1,2,3,5,4},{1,3,4,2,5}}
截断的十二面体图{{1,2,4,5,3},{3,4,1,2,5}}
截二十面体图表{{1,3,2,5,4},{2,3,4,5,1}}
截角八面体图表{{1,2,4,3},{2,3,4,1}}
{{1,2,4,3},{1,3,2,4},{2,1,3,4}}
{{1,2,3,5,4},{1,3,4,5,2}}
截断的四面体图{{1,3,4,2},{2,1,4,3}}
{{1,3,4,2},{1,4,2,3},{2,1,4,3}}
{{1,2,4,5,3},{1,3,2,5,4}}
效用图表 K_(3,3){{1,3,2},{2,1,3},{3,2,1}}
{{1,2,4,3},{1,3,2,4},{1,4,3,2}}
{{1,2,3,5,4},{2,3,1,5,4}}
{{1,2,3,5,4},{2,3,1,5,4}}
凯莱图D7

例如二面体群 第7天是一个置换群由对应于反转的两个元素生成的14个元素和旋转。因此,任何两个这样的元素都会产生一个连通的Cayley具有14个节点和28条边的图。上图左侧显示了Cayley图对于(7,1,2,3,4,5,6)和(7,6,5,4,3,2)给出的发电机的选择,1) ,反转显示为红色,旋转显示为蓝色。对应的任意两个元素只有给定一个不连通图才能进行旋转,并且正好有15对因为有(6; 2)从六个可能的旋转中选择两个元素的方法。(此处显示数字6而不是7,因为单元元素可能不是成员给出Cayley图的子集。)右图显示了的Cayley图D_7由元素(7、1、2、,3、4、5、6)和(6、7、1、2、3、4和5),由于这些元件的作用而断开不要生成组(特别是,如果没有翻转,就无法进行排列用正序转换成负序;因此,两个独立的环是获得)。

凯莱图表A4

上图显示了交替群 A_4类使用元素(2、1、4、3)和(2、3、1、四)作为生成器,这是一个定向的形式截断四面体图.

凯莱图形K4

如果完全图 K_4型覆盖着不同颜色的石头和任何石头可以移动到空顶点,然后所有位置的图形形成一个Cayley边缘指示相邻位置的图形(左图)。这与到的Cayley图对称群 S_4使用元素(2,1,3,4),(3,2、1、4)和(4、2、3、1)作为发电机。事实证明,这个图是有向的唯一的版本三次对称图在24个顶点上(右图)。

Royle构建了所有多达1000个顶点的立方Cayley图,不包括512和768个顶点上的那些。

凯利图

无限群的Cayley图提供了有趣的几何图形。例如自由群在两台发电机上如上图所示(绘制成连续的层次),表示水平和垂直位移。每个新边的绘制尺寸为给定尺寸的一半分形图像。


另请参见

交替组图,笼形图,凯利树,离散组,免费集团,图表,集团,集团发电机,Noncayley图,卢比克氏图表,顶点传递图,

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本条目的部分内容由预计起飞时间小佩格。(作者链接)

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D.A.霍尔顿。和J.Sheehan。彼得森图表。英国剑桥:剑桥大学出版社,第292-293页,1993有限群的表示”阿默尔。数学杂志。 16, 156-194, 1896.B.D.麦凯。和Praeger,C.E.公司。“不是凯莱图的顶点传递图I.”J。南方的。数学。Soc.序列号。A类 561994年第53页至第63页。B.D.麦凯。和Royle,G.“至多26个顶点和传递自同构群。"阿瑟。组合。 30, 161-176, 1990.罗伊尔,G.“凯利图”http://school.maths.uwa.edu.au/~戈登/远程/凯利/.罗伊尔,G.“传递图”http://school.maths.uwa.edu.au/~戈登/trans/.斯隆,N.J。答:。顺序A185959号在“整数序列在线百科全书。"沃尔夫拉姆,S。A类新型科学。伊利诺伊州香槟市:Wolfram Media,p938,2002

参考Wolfram | Alpha

凯莱图

引用如下:

佩格,小埃德。;托德·罗兰; 埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Cayley Graph。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CayleyGraph.html

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