凯莱图

让成为组,然后让是一组组元素，使得身份要素 .关联的Cayley图则定义为定向的图表有一个顶点与每个群元素和有向边相关联无论何时Cayley图可能取决于发电机组，并且是有联系的 若（iff） 生成（即集合是群生成器属于).

由于术语“凯利图”也用于以下情况，因此需要小心隐式理解为组，在这种情况下，图总是连接的（但一般情况下，仍然依赖发电机的选择）。这类群的Cayley图可以在中计算沃尔夫拉姆语言使用凯莱图表[G公司],使用的发电机是由组生成器[G公司].

为了使事情进一步复杂化，正确有向Cayley图的无向版本也称为Cayley图形。

特定生成集的无向Cayley图交替群 有时被称为交替群图.的Cayley图循环群 是循环图 和的二面体群 是棱镜图表 .其他类别的图是Cayley图循环的图（如果需要发电机组，则连接；如果不需要，则可能断开），立方体连接循环,汉明图、和超立方体图.

有向图Cayley图具有相同的边缘多重性对于每个节点。（有向或无向）Cayley图总是顶点传递的，但反过来需要不保持。然而顶点传递的图是凯利图（McKay和Royle 1990）。

Royle维护了一个不需要连接的顶点传递图列表，其中Cayley或非Cayley指定最多31个顶点，尽管值为27，28和30个顶点尚未独立验证（尽管组中存在错误只有在忽略了最小传递组的情况下，才能影响图形，因此不太可能出错）。上非必要连通Cayley图的个数, 2, ...节点为1、2、2、4、3、8、，4, 14, 9, 20, 8, 74, ...（OEIS）A185959号；麦凯和Royle 1990，McKay和Praeger 1994），以及非Cayley存在的顶点传递图有10、15、16、18、20、24、26、28、30、。...

最小的顶点传递非Cayley图是彼得森图 （McKay和Praeger 1994）和最小的不连通顶点传递非Cayley图是的两个副本.

Cayley图可以从一组生成器排列开始生成（不包括身份排列）和相互排列的元素，直到没有新的排列。这将生成一组在元素排列下是闭合的。连接每对排列带边缘，如果对一些人来说然后给出一个Cayley图。

唯一能给出平面Cayley图的群是,,,,,和正如Maschke（1896）所证明的那样。

下表列出了一些由少量小排列生成的Cayley图的无向版本的图。

图表	发电机
16芯图表	1,2,4,3,2,1,3,4,2,1,4,3,3,4,1,2,3,4,2,1
循环图	1,2,3,5,4,1,2,4,3,5,2,1,3,5,4,2,1,5,4,3
完成二部图	1,2,4,3,2,1,3,4,3,4,2,1
	1,2,4,3,2,1,3,4,3,4,1,2,4,3,2,1
	1,2,4,5,6,3,2,1,4,5,6,3
完全图	1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,2,1
	1,2,4,3,1,3,2,4,1,3,4,2,1,4,3,2
	1,2,4,3,1,3,2,4,1,3,4,2,1,4,2,3,1,4,3,2
立方的图表	1,2,4,3,3,4,2,1
	1,2,4,3,2,1,3,4,3,4,1,2
	1,2,3,5,4,1,4,5,3,2
立方体的对称图	1,2,4,3,1,3,2,4,3,2,1,4
	1,2,3,4,6,5,2,5,4,6,3,1
三次对称图	1,3,2,5,4,2,1,4,3,5,4,5,3,1,2
立方体的顶点传递图19区	1,2,3,4,6,5,1,2,4,3,6,5,5,6,3,4,1,2
立方体的顶点传递图23区	1,2,3,4,6,5,2,3,1,5,6,4
三次顶点传递图表28区	1,3,2,5,4,2,3,4,1,5
三次顶点传递图表Ct37电话	1,2,4,3,1,3,2,4,3,4,1,2
立方体的顶点传递图Ct38电话	1,2,3,4,5,7,6,2,3,1,6,7,4,5
三次顶点传递图表第41页	1,2,4,3,1,3,2,4,2,1,4,3
立方体的顶点传递图Ct42电话	1,2,3,4,5,7,6,2,3,4,1,6,5,7
立方八面体图	1,3,4,2,2,3,1,4
	1,3,4,2,1,4,2,3,2,3,1,4
	1,3,4,2,1,4,2,3,2,3,1,4,3,1,2,4
	1,2,4,5,3,1,3,4,2,5
5-循环图	2,3,4,5,1,5,1,2,3,4
6-周期图表	1,3,2,2,1,3
	1,2,4,3,1,3,2,4
	1,2,3,5,4,1,2,4,3,5
8-循环图	1,2,4,3,3,4,1,2
	1,2,3,5,4,1,4,5,2,3
10-周期图表	1,3,2,5,4,2,1,4,3,5
12-循环图	1,2,3,5,4,2,1,4,3,5
富兰克林图表	1,2,3,5,4,1,2,4,3,5,2,1,3,5,4
	1,2,3,4,5,7,6,1,2,3,4,6,5,7,1,2,4,3,5,7,6
大菱形八面体图表	1,2,3,4,5,7,6,1,2,3,4,6,5,7,1,3,2,5,4,7,6
二十面体图表	1,3,4,2,2,1,4,3,2,3,1,4
	1,3,4,2,1,4,2,3,2,1,4,3,2,3,1,4
	1,3,4,2,1,4,2,3,2,1,4,3,2,3,1,4,3,1,2,4
4-莫比乌斯梯子	1,2,4,3,2,1,4,3,3,4,1,2
八面体图	1, 3, 2,2,1,3,2,3,1
	1,2,4,3,1,3,2,4,1,3,4,2
	1,2,4,3,1,3,2,4,1,3,4,2,1,4,2,3
	1,2,4,5,3,2,1,4,5,3
	1,2,4,5,3,2,1,4,5,3
帕普斯图表	1,2,3,4,6,5,2,3,1,5,4,6
2-路径图	2,1
	1, 3, 2
五角星图表	2,3,4,5,1,3,4,5,1,2
5-棱镜图表	1,3,2,5,4,2,4,1,5,3
	1,3,2,5,4,2,4,1,5,3
6-棱镜图	1,2,3,5,4,2,1,4,5,3
	1,2,3,5,4,2,1,4,5,3
小的菱形十二面体图	1,2,4,5,3,3,4,2,5,1
小菱形八面体图表	1,3,4,2,2,3,4,1
	1,3,4,2,1,4,2,3,2,3,4,1
	1,3,4,2,1,4,2,3,2,3,4,1,4,1,2,3
	1,2,4,5,3,1,3,4,5,2
冷落，怠慢立体图	1,2,4,3,2,3,1,4,2,3,4,1
	1,2,4,3,2,3,1,4,2,3,4,1,3,1,2,4
	1,2,4,3,2,3,1,4,2,3,4,1,3,1,2,4,4,1,2,3
广场反棱镜图	1,2,4,3,3,4,1,2,3,4,2,1
	1,2,4,3,3,4,1,2,3,4,2,1,4,3,1,2
正方形图	1,2,4,3,2,1,3,4
	1,2,3,5,4,1,3,2,4,5
tesseract公司图表	1,2,3,4,6,5,1,2,4,3,5,6,3,4,2,1,5,6
四面体的图表	2,1,4,3,3,4,2,1
	1,2,4,3,2,1,3,4,2,1,4,3
	1,3,2,5,4,1,4,5,3,2
三角形图表	2,3,1
	1,3,4,2,1,4,2,3
	1,2,4,5,3,1,2,5,3,4
三角形棱镜图表	1,3,2,2,3,1
	1,2,4,3,1,3,4,2
	1,2,4,3,1,3,4,2,1,4,2,3
	1,2,3,5,4,1,2,4,5,3
截断的立体图	1,2,4,3,2,3,1,4
	1,2,4,3,2,3,1,4,3,1,2,4
	1,2,3,5,4,1,3,4,2,5
截断的十二面体图	1,2,4,5,3,3,4,1,2,5
截二十面体图表	1,3,2,5,4,2,3,4,5,1
截角八面体图表	1,2,4,3,2,3,4,1
	1,2,4,3,1,3,2,4,2,1,3,4
	1,2,3,5,4,1,3,4,5,2
截断的四面体图	1,3,4,2,2,1,4,3
	1,3,4,2,1,4,2,3,2,1,4,3
	1,2,4,5,3,1,3,2,5,4
效用图表	1,3,2,2,1,3,3,2,1
	1,2,4,3,1,3,2,4,1,4,3,2
	1,2,3,5,4,2,3,1,5,4
	1,2,3,5,4,2,3,1,5,4

例如二面体群 是一个置换群由对应于反转的两个元素生成的14个元素和旋转。因此，任何两个这样的元素都会产生一个连通的Cayley具有14个节点和28条边的图。上图左侧显示了Cayley图对于（7，1，2，3，4，5，6）和（7，6，5，4，3，2）给出的发电机的选择，1） ，反转显示为红色，旋转显示为蓝色。对应的任意两个元素只有给定一个不连通图才能进行旋转，并且正好有15对因为有从六个可能的旋转中选择两个元素的方法。（此处显示数字6而不是7，因为单元元素可能不是成员给出Cayley图的子集。)右图显示了的Cayley图由元素（7、1、2、，3、4、5、6）和（6、7、1、2、3、4和5），由于这些元件的作用而断开不要生成组（特别是，如果没有翻转，就无法进行排列用正序转换成负序；因此，两个独立的环是获得）。

上图显示了交替群 使用元素（2、1、4、3）和（2、3、1、四）作为生成器，这是一个定向的形式截断四面体图.

如果完全图 上面覆盖着不同颜色的石头和任何石头可以移动到空顶点，然后所有位置的图形形成一个Cayley边缘指示相邻位置的图形（左图）。这对应于到的Cayley图对称群 使用元素（2，1，3，4），（3，2、1、4）和（4、2、3、1）作为发电机。事实证明，这个图是有向的唯一的版本三次对称图在24个顶点上（右图）。

Royle构建了所有多达1000个顶点的立方Cayley图，不包括512和768个顶点上的那些。

无限群的Cayley图提供了有趣的几何图形。例如自由群在两台发电机上如上图所示（绘制成连续的层次），表示水平和垂直位移。每个新边的绘制尺寸为给定尺寸的一半分形图像。