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循环组


循环群是可以由单个元素生成X(该群发生器). 循环群是阿贝尔(Abelian).

有限循环群集团订单 n个表示为C_n(_n),Z(_n),Z(_n),或C_n(_n); Shanks 1993,第75页)及其发电机X满足

 X^n=I,
(1)

哪里我身份元素.

这个整数环 Z轴在加法下形成无限循环群,整数0, 1, 2, ...,n-1个(Z(_n))形成循环序组n个添加不足(modn个). 在这两种情况下,0都是身份要素.

每个阶都存在唯一的循环群n> =2,所以相同阶的循环群总是同构的(Scott 1987,第34页;Shanks 1993,第74页)。此外,循环的子群组是循环的,并且所有属于首要的 集团订单是循环的。事实上,只有简单的 阿贝尔群是顺序的循环群n=1n个首要的(斯科特1987年,第35页)。

这个n个第个循环群表示为Wolfram语言作为循环组[n个].

循环群的示例包括C_2型,C3型,C_4号机组。。。,乘法群 M_米这样的话m=2,4,第^n页,或2便士,用于第页一个奇素数n> =1(Shanks 1993年,第92页)。

周期分组表

循环群都具有相同的乘法表结构。用于的表格C_(20)如上图所示。

通过计算特征因子,任何阿贝尔群可以表示为直接产品的循环子组例如,有限群C2×C4有限的,有限的C2×C2×C2组。通常将最高指数合并组的直接积表示的基本因子,因为这提供了符号更短,不会产生歧义。例如C_2×C_3通常是写的C_6.

这个周期指数循环群的(_p)由提供

 Z(C_p)=1/psum_(k|p)φ(k)a_k^(p/k),
(2)

哪里k|p(千磅)方法k个 划分 第页φ(k)指向函数(哈拉里,1994年,第184页)。前几项由

Z(C_1)=x_1
(3)
Z(C_2)=1/2x_1^2+1/2x_2
(4)
Z(C_3)=1/3x_1^3+2/3x_3
(5)
Z(C_4)=1/4x_1^4+1/4x_2^2+1/2x_4
(6)
Z(C_5)=1/5x_1^5+4/5x_5。
(7)

另请参见

阿贝尔集团,特征系数,循环群C2,循环(Cyclic)C3组,循环群C4,循环(Cyclic)C5组,环族C6,循环(Cyclic)组C7,循环群C8,循环(Cyclic)C9组,循环群C10,循环(Cyclic)C11组,循环群C12,元环状,模乘组,简单组 在数学世界课堂上探索这个主题

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Harary,F.In公司图论。马萨诸塞州雷丁:Addison-Wesley,第181和184页,1994年。洛蒙,J.S.公司。《循环群》§3.10.A应用有限群。纽约:多佛,第78页,1987年。斯科特·W·R·。《循环群》§2.4理论。纽约:多佛,第34-351987页。Shanks,D。解决了的《数论中未解决的问题》,第四版。纽约:切尔西,1993年。

引用的关于Wolfram | Alpha

循环组

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“循环组”。来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CyclicGroup.html

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